【摘 要】
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图谱理论是图论研究的核心问题之一,主要通过矩阵理论、组合学、多项式理论和代数学理论,结合图论的方法对图的谱特征与谱的图特征等相关问题展开研究.图矩阵是图谱理论的重要组成部分,它能够反应图的参数性质,从而进一步揭示图的结构性质.设G是一个简单图,A（G）、D（G）和Q（G）分别为图G的邻接矩阵、度对角矩阵以及无符号Laplacian矩阵.为了研究A（G）和D（G）在多大程度上决定了Q（G）的性质,2
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图谱理论是图论研究的核心问题之一,主要通过矩阵理论、组合学、多项式理论和代数学理论,结合图论的方法对图的谱特征与谱的图特征等相关问题展开研究.图矩阵是图谱理论的重要组成部分,它能够反应图的参数性质,从而进一步揭示图的结构性质.设G是一个简单图,A（G）、D（G）和Q（G）分别为图G的邻接矩阵、度对角矩阵以及无符号Laplacian矩阵.为了研究A（G）和D（G）在多大程度上决定了Q（G）的性质,2017年,Nikiforov首次提出研究图G的Aα-矩阵,其定义为:Aα（G）=αD（G）+（1-α）A（G）,其中,α是一个实数并且α∈[0,1].由G的所有Aα-特征值构成的多重集合称为Aα-谱.近年来,Aα-谱的研究已经成为图谱理论中的热门课题.本文针对图的Aα-谱,主要进行了四部分内容的研究:三类积图的Aα-谱以及Aα-谱半径,三类六角系统的Aα-谱,具有最大Aα-谱半径的双圈图的刻画以及与图的Aα-谱相关的Laplacian-谱问题.本文的具体结构安排如下:第一章,首先介绍了图谱理论的研究背景,Aα-谱理论的起源及研究现状.其次,介绍了本文所用到的相关概念与符号.最后,简单介绍了本文所得的主要结论.第二章,考虑了半强积,特殊积和环矢积三类积图的Aα-谱.首先研究了任意图G和正则图H的半强积的Aα-谱半径.其次,当G和H是两个正则图时,分别给出了半强积G·H和特殊积图G⊕H的Aα-谱.此外,还得到了环矢积GρH的Aα-谱半径.最后,作为应用,构造了一些Aα-同谱无穷类.第三章,考虑了圈状六角系统图Fn、M?bius带状六角系统图Mn以及三层环状六角系统图Hn3的Aα-特征多项式.此外,作为应用,分别给出了凡和Mn的Aα-能量的上界.第四章,首先推广了一些给定度序列的双圈图中的A1/2-谱半径的极值结果.另外,在给定度序列的双圈图集合中,完整刻画了具有最大Aα-谱半径的极值双圈图.第五章,考虑了与Aα-谱相关的Laplacian-谱.主要针对单圈图进行研究,完整地刻画了 Laplacian-特征值1的重数为n-6的单圈图,以及一些Laplacian-特征值1的重数为n-7的单圈图.
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