本篇论文我们将研究下述问题：ut-diu(｜▽u｜p-2▽u)=-f(u)(x，t)∈QT≡Ω×(0，T)(1)u/n=g(u)(x,t)∈ST≡Ω×(0，T)(2)u(x，0)=u0(x)x∈Ω(3) 其中，p≥2；当空间维数N=1时，Ω=(0，l)是一个有限区间，当N≥2时，Ω()RN是一个半径为l的球；n是区域Ω的边界Ω的单位外法向量；对自变量u＞0，f(u)＞0，g(u)＞0是光滑函数；且u0(x)＞0满足一些光滑和相容性条件.我们仅考虑古典解.因此，我们说u是解总假设u∈C2，1(QT)∩C1，0((Q)T).而且，在全篇论文中，我们只考虑正解.所谓抛物方程或椭圆方程的正解是指解分别在QT或Ω内是严格正的. 本文共分为五个部分，第一部分介绍了本文的工具-比较原理； 后四个部分则介绍了本文得到的主要结果. (Ⅰ)比较原理. 首先，我们介绍下述方程的比较原理：ut-(|u′|p-2u′|′=-f(u)(x,t)∈(0,l)×(0,T)(4)-u′(0，t)=g(u)u′(l，t)=g(u)t∈(0，T)(5)u(x，0)=u0(x)x∈(0，l).(6) 引理1设u是(4)-(6)的解，(u)是(4)-(6)的∈-下解，且(u)(x，0)＜u0(x)，则对所有的x∈[0，l]和t∈(0，Tmax)，(u)(x，t)＜u(x，t)，其中Tmax是u存在的最大时间. 接着，利用径向解方法问题(1)-(3)可以写成下述形式：ut-(｜u′｜p-2u′)-N-1/x｜u′｜p-2u′=-f(u)(x，t)∈(0，l)×(0，T)(7)u′(0，t)=0u′(l，t)=g(u)t∈(0，T)(8)u(x，0)=u0(x)x∈(0，l)(9) 我们也介绍满足上述方程的比较原理. 引理2设u是(7)-(9)的解，(u)是(7)-(9)的∈-下解，且(u)(x，0)＜u0(x)，则对所有的x∈[0，l]和t∈(0，Tmax)，(u)(x，t)＜u(x，t)，其中Tmax是u存在的最大时间. 本文的主要结果如下. (Ⅱ)关于有限时刻爆破的结果. 首先，我们考虑下述问题解的存在性：(｜u′｜p-2u′)′=1+σx∈Ω=(0，l)(10)-u′(0)=βu′(l)=β.(11) 然后，我们介绍在N=1的情况下解有限时刻爆破的定理. 定理1设u(x，t)∈C2，1(QT)∩C1，0((Q)T)是(4)-(6)的正解.假设存在一连续可微函数m(u)，0≤u＜∞，s.t.m(0)=m0，0＜m0＜1，m(u)≥0，且对某个正常数σ＞1下式成立：1/σ-1f(u)≤[m(u)]p-1≤1/1+σ2/l[g(u)p-1. 若u0＞0足够大，且对上述正常数σ有∫∞0ds/m(s)＞a≡p-1(l/2)p/(p-1)(1+σ)1/(p-1)和∫∞ds/[m(s)]p-1＜∞成立，则解u(x，t)在有限时刻爆破. 为了证明上述定理成立，我们首先构造一个特殊形式的∈-下解(u)(x，t)=v(δ(t)+h(x))，由计算和问题(10)-(11)的解的存在性我们可知对足够大的u0(x)，(u)问题(4)-(6)的∈-下解，因为我们证明了下解v(s)在有限时刻爆破，我们由比较原理得出结论u(x，t)在有限时刻爆破.这就完成了定理的证明. 在N≥2的情况下，由径向解方法和直接计算可知径向解满足问题(7)-(9)，因此我们根据上述定理的证明得到下述定理. 定理2设u(x,t)∈C2,1(QT)∩C1，0((Q)T)是(1)-(3)的正解，假设存在一连续可微函数m(u)，0≤u＜∞，s.t.m(0)=m0，0＜m0＜1，m(u)≥0，且对某个正常数σ＞1下式成立：1/σ-1f(u)≤[m(u)]p-1≤1/1+σN/l[g(u)p-1. 若u0＞0足够大，且对上述正常数σ有∫∞0ds/m(s)＞a≡Np-1(l/N)p/(p-1)(1+σ)1/(p-1) 和∫∞ds/[m(s)]p-1＜∞成立，则解u(x，t)在有限时刻爆破. (Ⅲ)关于解整体有限的结果. 本结果中，我们总是假设存在一个充分小的ε＞0，s.t.f(u)≥2ε＞0.首先，我们设F(u)=∫u0f(t)dt.然后，我们介绍N=1时解的整体有限的定理. 定理3假设对任意固定的常数a，b＞0，存在一个常数A，使得若t≥A，则有agp(t)+b(F(√t)-F(t))＜0， 而且对任意v≥√t，t≥A,下述不等式成立：agp(t)+b(F(v)-F(t))≤[1/2f(v)-ε]p/(p-1). 则对(x，t)∈[0，l]×[0，∞)，问题(4)-(6)的每一个正解都是有限的. 我们的思路是找到问题(4)-(6)的足够大的∈-上解去证明解在所有时间上是有限的.通过计算和问题(12)-(13)的解的存在性，我们可以构造一个足够大的∈-上解，我们得出结论每个解在所有时间上是有限的.定理得证. 当N≥2时，我们由径向解方法和直接计算可以得到径向解满足问题(7)-(9).因此我们由上述定理的证明得到下述定理. 定理4假设对任意固定的常数a，b＞0，存在一个常数A，使得若t≥A,则有agp(t)+b(F(√t)-F(t))＜0，而且对任意u≥√t，t≥A，下述不等式成立：agp(t)+b(F(v)-F(t))≤[1/2f(v)-ε]p/(p-1). 则对(x，t)∈[0，l]×[0，∞)，问题(1)-(3)的每一个正解都是有限的. (Ⅳ)一个例子. 接着，我们举出一个具体的例子.由定理，我们得到在定理的条件下解在有限时刻爆破，因此这表明定理是可以应用的. (Ⅴ)一维情形下的结果. 在本文的最后一节我们研究了一维区域下相应的椭圆方程，并对特定的函数f(u)，g(u)得到了一些详细的分支结果.