常微分方程在探索物理世界的过程中处于核心地位。然而大多数微分方程的解不能够析解求出，故最为实际的方法是求数值解。至今已经出现许多非常有效的数值方法，包括Runge—Kutta(-Nystr(o)m)以及线性多步法。常微分方程数值方法分为两大类：非刚性问题及刚性问题。然而，大多数已有的数值方法是针对一般的常微分方程初值问题设计的，也就是说它们可以用于求解一般的微分方程。但是在现实世界当中所出现的微分方程往往是具有一定特殊结构的。因此，根据方程本身的特殊结构去分析和构造针对这些特殊结构的微分方程的数值方法是非常有意义的。正如著名数值分析家Lambert教授所说“对于方程本身的特殊结构，我们在构造相应的数值方法时应加以利用”。这里我们将考虑一类特殊而应用上十分重要的微分方程问题：振荡微分方程或周期初值问题。这类方程往往出现在经典力学、天文学、分子动力学、电子学、声学等方面。目前已有许多有效的数值方法可以用来处理振荡微分方程问题。求解这类问题的数值方法可分为两类。其中一类是变系数的，即利用指数拟合技术。指数拟合方法适用于当方程解的主频率能够获得好的估计的情形，此时方法的的系数依赖于频率与积分步长的乘积[65，67，68，69，73]。指数拟合方法的一个主要性质是当频率趋于零时，它可以退化到原来的经典方法。目前，指数拟合已经积累了丰富的研究成果(例如，[38，41，42，59，65，66，67，68，69，70])。另一类是常系数的，即方法的系数不依赖于频率和步长。它的构造原则是尽可能提高方法的相延迟阶和耗散阶。这类方法的显著特点是适合于求解任何一种振荡问题，它们不依赖于主频率的估计。这篇博士论文包含指数拟合方法的一般的理论，构造方法以及实际应用。 第一章考虑关于扰动振子变步长的数值积分方法。Gonzαlez构造了解扰动振子的四阶自适应Runge—Kutta-Nystr(o)m方法，之后Franco改进了这个结果，导出了解这类方程的阶条件，并给出了一类自适应Runge—Kuttn-Nystr(o)m定步长方法和变步长方法。然而所有变步长方法都只能用来求解特殊的微分方程(右端的函数不显含y1)。借助于Franco给出的阶条件我们针对一般问题导出了一个变步长的显式自适应Runge—Kutta-Nystr(o)m方法，这个方法不仅能够用来处理一般的扰动问题而且也能够用来计算特殊的扰动方程。这个新方法的代数阶为四和三。本章给出的几个经典的数值例子说明新方法明显优于已有的数值方法。 第二章研究了解振荡微分方程的指数拟合的Numerov型方法。基于Franco提出的经典的两步Numerov型方法，利用指数拟合技术我们得到了新的指数拟合Numerov型方法。我们分析了这个新方法的稳定性、相延迟性以及耗散性质，并给出了它的绝对稳定性区域。本章提供的对比数值试验表明了新方法不仅优于同价的经典的数值方法而且也优于比它高阶的经典的数值方法。 第三章研究了解薛定谔方程的Numerov方法以及多导数方法。Wang对经典的Numerov方法利用指数拟合精确积分sin(ωt)和cos(ωt)的线性组合，得到了P—稳定的Numerov方法。我们要求这个方法能够精确积分｛sin(ωt)，cos(ωt)，xsin(ωt)，x cos(ωt))的线性组合。我们证明了基于这个原则所构造的数值方法也是P—稳定的。此外，Wang构造了多导数的指数拟合单步方法，并证明了这个方法是P—稳定的。我们给出了更高阶的指数拟合单步方法，并且证明了新方法是P—稳定的。本章给出的数值试验表明了所构造的新方法在精度和有效性上都优于Wang给出的方法。 第四章考虑了解振荡微分方程的Runge—Kutta法以及变步长的嵌入方法。Franco提出了自适应Runge—Kutta法，并给出了方法的阶条件。我们构造了基于FSAL技术(即第n步上内级的最后一个计算值和第n+1步上内级的第一个计算值相同)的高阶嵌入方法并分析了该方法的稳定性，给出了稳定区域并作了数值试验。 第五章是关于解振荡哈密尔顿方程的显式辛Runge—Kutta-Nystr(o)m方法的研究。基于Van de Vyver新近提出的构造辛的Runge—Kutta-Nystr(o)m方法以考虑尽可能提高该方法的相延迟阶[93]为原则，我们研究四级辛Runge—Kutta-Nystr(o)m方法。首先我们构造了代数阶为四相延迟阶为六的显式辛方法，该方法在精度上如所期望的比原来三阶的辛方法要好。但是由于方法的内级为四，故在总体计算效率上没有预期的那么理想。这就提示我们对于周期初值问题，在方法的构造上需要更多地考虑提高方法的相延迟阶。因此我们研究了在牺牲代数阶的前提下尽量提高方法的相延迟阶。我们拟构造的辛RKN方法的代数阶为三而相延迟阶提高到八阶。在系数的求解过程中，应用了极小化误差常数的技术以及涉及到求解非线性方程组的时候遇到了一些技术上的困难。如何证明这类非线性方程组解的存在性以及如何获得非线性方程组的解是目前正在研究的问题。