本文应用变分方法和临界点理论讨论了三类椭圆方程变号解的存在性和多重性．首先我们研究如下一类含非齐边值条件的椭圆方程：其中ΩcRN(N≥3)是一个具有光滑边界aΩ的有界区域，g(x)是定义在aQ上的连续函数，非线性项f(z，u)和h(x)是分别定义在Ω×R上和Q上的连续函数，A>O是参数．我们在第二、三章中分别研究上述方程在，(χ，u)关于u是奇函数和非奇函数的情况下变号解的存在性．在第二章中，利用本章建立的一个基本引理（第二章的命题A）、下降流不变集方法和对称扰动方法，我们证明了当，(χ，u)关于u是奇函数并且A=1时，方程(I)有无穷多个变号解．在第三章中，利用上下解方法、下降流不变集方法和极大值原理，我们证明了当参数λ充分小，(χ，u)关于u是非奇函数以及h(x)-o时，上述方程有一到两个变号解，　　其次，我们研究如下一类拟线性椭圆方程变号解的存在性问题：其中Ω cRN(N≥3)是一个具有光滑边界aΩ的有界区域，一△pu=div(∣Δu∣p-2Δu)是 p-Laplace算子，lO为一个参数，P*=pN／(N-p)为临界Sobelev指数．利用在第四章中建立的一个新的形变引理，我们在该章中证明方程(II)有无穷多个变号解，　　最后，我们在第五、六章中研究如下一类Schrodinger方程变号解的存在性：其中V(x)，K(x)为位势函数，2O为参数．在第五章中，我们讨论当V(x)变号，K(z)>o，并且V(x)和K(x)在无穷远处可能消失(即当∣x∣→∞时，V(x)和K(x)都可能趋于零）时，方程(III)变号解的存在性．利用下降流不变集方法，我们证明了方程(III)在λ很小时有一个变号解和一个正解．在第六章中，我们考虑当A-l并且V(x)和K(x)都变号时，方程(III)变号解的存在性．利用我们在该章中设计的扰动方法和Nihari流形方法，我们证明了方程(III)至少有一个非负的极小能量解和一个极小能量的变号解．