本文主要研究了欧氏空间中含有奇点的曲线与曲面的微分几何.在欧氏平面上,一个单参数曲线族的包络是与这族曲线中的每条曲线在交点处都“相切”的曲线.如果将“相切”的关系变为“成固定角度”的关系,那么我们称这样的曲线为曲线族的广义包络.广义包络理论在微分几何、微分方程、几何光学、物理学以及工程学等诸多领域均有着重要的应用.但是,以往对于广义包络的研究只针对于正则情形.对于奇异曲线,一方面,由于曲线在奇点处切方向的不确定性,使得我们无法在奇点处确定曲线之间的角度关系,因而无法定义奇异曲线族的广义包络.另一方面,作为研究曲线微分几何性质的经典工具“Frenet-Serret型活动标架”也无法利用传统的方法在奇点处建立.因此,以往对于正则情形下的广义包络的研究结果和研究方法无法推广到奇异情形.在本文中,我们利用光滑映射的奇点理论,建立了单位切丛与单位球丛上的单参数Legendre曲线族的广义包络理论,解决了以往无法对于奇异曲线族的广义包络进行研究的问题.同时,我们考虑了广义包络理论在微分几何以及几何光学中的应用.进一步,我们将广义包络理论的思想应用于研究三维欧氏空间中的奇异几何对象,引入了单参数标架曲面族的法曲线的概念并考虑了法曲线的应用.本文的主要研究结果如下:第一.在奇点理论的视角下,我们建立了单参数Legendre曲线族的广义包络理论,并且利用广义包络理论揭示了广义包络与常微分方程之间的关系.第二.我们给出了球面Legendre曲线与平面Legendre曲线之间的关系.进一步,我们给出了两者对应的广义包络之间的关系.第三.作为广义包络理论的应用,我们引入了球面Legendre曲线的渐开线的概念,并且给出了它的奇点分类.进一步,我们引入了广义渐开线与广义渐屈线的概念,并且讨论了两者之间的对偶关系.第四.作为广义包络在高维空间中的推广,我们引入了欧氏空间中单参数标架曲面族的法曲线的概念.作为法曲线的应用,我们给出了标架曲线的平行曲线的判定定理以及几何解释.我们还引入了标架曲线的渐开线的概念,并且讨论了渐开线、渐屈线以及平行曲线之间的关系.