本文主要针对两类具有鞍点结构的3×3块线性系统以及两类线性矩阵方程的数值求解展开研究.由于其广泛的应用背景,构造快速高效的数值求解方法解决这些问题具有重要的理论价值和实际意义.第二章中对于一类大型稀疏的3×3块鞍点线性系统,通过分析松弛维数分解（Relaxed dimensional factorization,简记为RDF）预处理子的性质,我们发展了一类参数化松弛维数分解（Parameterized RDF,简记为PRDF）预处理子去进一步改善RDF预处理子求解这类3×3块鞍点线性系统的预处理效果.类似于RDF预处理子,PRDF预处理子的预处理效果也密切地依赖于所含参数的取值.因此,为了使得PRDF预处理子的计算效率达到最佳,我们提出了一类快速而有效的方法用于计算PRDF预处理子中所含参数的最优值.最后,结合这些最优参数值并通过使用两个不同的数值算例,即Navier-Stokes方程和偏微分方程的约束优化问题,我们验证了PRDF预处理子求解大型稀疏3×3块鞍点线性系统的有效性和可行性.第三章中对于一类由液晶定向特性的连续介质模型离散而得的双鞍点线性系统,通过分析块三角（Block triangular,简记为BT）预处理子的性质,我们构造了一个两参数块三角（Two-parameter BT,简记为TPBT）预处理子,并证明了TPBT预处理矩阵的谱都是实的且完全落在了区间（0,2）上,与矩阵-1-1的谱半径取值无关.同时,还估计了TPBT预处理矩阵极小多项式次数的上界及其相应Krylov子空间的维数.此外,由于TPBT预处理子的预处理效果依赖于两个待定参数的取值,所以我们进一步推导出了一类快速而又实用的公式去估计这两个参数的拟最优值.最后,通过数值算例验证了含有拟最优参数值的TPBT预处理子对加速Krylov子空间方法的收敛速率是非常有效的.第四章中对于两类具有带状Topelitz结构的广义线性矩阵方程,通过利用Topelitz矩阵与循环矩阵之间的联系,我们提出了一种低秩并行化方法去求解这两类具有特殊结构的线性矩阵方程.同时,提出了一种有理扩展的Krylov子空间方法（Rational variant of extended Krylov subspace method,简记为REKSM）去求解相应的低秩校正方程,并且提供了一种非常实用的方法去计算REKSM中所含位移参数的最优值.此外,对于一类出现在2D线性波方程中的广义Sylvester方程来说,通过将单边扩展的Krylov子空间方法（EKSM）与Sherman-Morrison-Woodbury（SMW）公式结合起来,从而提出了一种新的方法（记为EKSM-SMW）求解相应的低秩校正方程及其压缩方程.最后,通过数值算例验证了所提出的低秩并行化方法用于求解这两类线性方程时的有效性.第五章我们考虑的是一类出现在时间依赖偏微分方程的时空离散化中的线性矩阵方程,例如,在并行时间积分的背景下,一类Para Diag算法已经被提出用于求解这类矩阵方程.我们发展了两类新的方法求解此类方程.第一种方法主要依赖于这样的一个观察,即Para Diag算法为了并行求解这些方程而对其系数矩阵所做的校正具有较低的秩.基于之前对矩阵方程低秩更新所做的工作,这使得我们可以利用张量化Krylov子空间方法来求解相应的低秩更新方程.第二种方法主要利用几个校正方程的解的线性组合来逼近初始线性矩阵方程的解.这两种方法都避免使用Para Diag及其相关的时空方法为了获得较高的计算精度而产生的迭代加细.反过来,我们的新方法有可能显著地优于现有的方法.最后,通过几个不同的数值算例验证了所提出的方法总是非常有效的.