本文研究带跳Feller过程的周期均匀化问题.具体来说有两个问题:一是非线性Poisson-型噪声驱动的随机微分方程与相应的非局部抛物偏微分方程的均匀化问题,其中,对比周期环境的小尺度,非线性噪声强度系数关于噪声变量为正常尺度;二是非对称类稳定过程的均匀化问题,其强度函数关于噪声分量既允许有周期和非周期成分,也允许有快慢两个尺度.两个问题中都含有奇异且快速震荡的漂移项.而第二个问题的结论更加一般,可包含第一个问题及多个其它文章中的结论.另外,也利用该均匀化结果,对二维变阶数类稳定过程的首次逃逸时进行了数值模拟和收敛分析.
　　本文共分为五个部分.
　　在介绍了Feller过程的周期均匀化问题的研究背景和现状之后,在第一部分进行了一些准备工作,以备主体使用.首先将It(o)公式推广至函数的导数仅为H(o)lder连续的情形,且Lebesgue积分中的算子为乘性Lévy噪声驱动的随机微分方程的生成元或者为类稳定算子.其次指出了关于随即测度的随机积分的半鞅特征.
　　第二部分中,研究了带非线性Poisson-型噪声的随机微分方程的强适定性及其解过程的遍历性.作为推论,也得到了相应的抛物非局部偏微分方程解的Feynman-Kac表示,以及非局部Poisson方程的适定性.
　　第三部分处理一类带震荡系数的抛物型非局部偏微分方程的均匀化,该方程与乘性的各向同性α-稳定Lévy噪声(1＜α＜2)驱动的随机微分方程对应,其中噪声系数关于噪声变量为非线性的.从而噪声来自于外部环境.使用的方法既有分析方法,也有概率方法.最终得到在适当的正则性假设下,当尺度参数趋于0时,非局部偏微分方程的解的极限满足一个常系数非局部偏微分方程,而极限方程与一个对称的α-稳定Lévy过程对应.
　　第四部分研究带梯度扰动的Lévy-型算子的热核估计问题以及这些算子及其生成半群的正则性,并由此得到了算子对应的随机微分方程的弱适定性及Poisson方程的适定性.
　　最后一部分研究了非对称类稳定过程的周期均匀化问题,并展示了其在首次逃逸时的数值逼近中的应用.跳强度函数既包含周期和非周期成分,也包含震荡和非震荡成分.这意味着噪声来源于周期结构和外部环境的叠加,从而允许有两个不同的空间尺度.也加入了飘移项且允许其有奇异.最终得到类稳定过程依分布收敛到一个Lévy过程.一些前人的工作中的均匀化结果,包括本文的第一个均匀化结果,都可作为该结果的特例.此外,也进行了一些数值实验,演示了原过程的首次逃逸时可用极限过程的首次逃逸时逼近,从而阐释了该均匀化结果.最后,对本文进行了简要总结,并讨论了可进一步研究的问题.