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令P表示平面上处于一般位置的n-点集.设T()P,若T的凸包CH(T)中无P的点,则称CH(T)所确定的凸多边形为空凸多边形,简称T为空凸多边形.|T|≤2时,我们也认为T是空凸多边形.设点集P被分划成t个不交的子集S1,S2……St,若对于任意i=1,2……t,CH(Si)是一个凸|Si|-边形,称此分划为P的凸分划;这时,若对于任意的i≠j,有CH(Si)∩CH(Si)=φ,则称此分划为P的不交凸分划;若对于任意的i,CH(Si)的内部不含P的点,记为CH(Si)≌φ(P),则称此分划为P的空凸分划,这里允许CH(Si)与CH(Sj)相交.
令Nπк(P)表示P的分划π中凸k-边形的个数,k为正整数;Nπ(P)表示P的分划π中凸多边形的个数,记:f(P)=:min{Nπ(P):π是P的不交凸分划},F(n)=:max{f(P):|P|=n};g(P)=:min{Nπ(P):π是P的空凸分划},G(n)=:max{g(P):|P|=n};fκ(P)=:max{Nπк(P):π是P的不交凸分划}Fκ(n)=:min{fκ(P):|P|=n}相关文献对这些计数函数作了广泛的研究,并获得了若干重要结果.本文引入下列记法:gκ(P)=:max{Nπκ(P):π是P的空凸分划},Gk(n)=:min{gκ(P):|P|=n}.并得到了一些颇有意义的结果:G4(13)=3.
Q(n)≥「7n/30」.G4(n)≥4n-1/17(n=17·2k-1-4,k≥1).对于15-点集P,若|V(P)|=i(8≤i≤15),则g5(P)≥2.同时我们给出了两个著名结果F(7)≤2,G(11)≤3的新的简捷的证明.