自适应有限元方法是现代计算科学与工程中用来求解偏微分方程的一种高效数值方法,并逐渐成为一个重要的研究领域,其中后验误差估计子为自适应算法的设计提供重要的反馈.重构型后验误差估计子一般基于超收敛恢复技术来构造,因其构造简单、具有鲁棒性且易于编程实现等优点受到广大学者的青睐.本文研究频域电磁场问题基于重构型后验误差估计子的自适应有限元方法.接着,我们将自适应有限元方法推广到亥姆霍兹方程以及Allen-Cahn方程,本文的主要内容主要包括以下四个部分:第一部分:研究超材料中时谐麦克斯韦方程组的自适应棱有限元方法.首先提出重构型和残量型两类后验误差估计子,基于此设计自适应棱有限元方法,并应用于反向波、电磁分离装置、旋转装置、集中装置的模拟.最后,给出数值算例来验证我们提出的后验误差估计子是可靠的、有效的.第二部分:基于变换光学理论和互补介质的思想,我们对信息开放的隐身装置提出可靠有效的等级分层设计方法.首先,基于线性与非线性坐标变换,可得到信息开放的圆柱形隐身装置的材料参数.接着,我们分别对这两种装置采用等距分层与等级分层来简化材料构造.最后,通过大量的数值模拟,我们得出:基于非线性坐标变换得到的信息开放的圆柱形隐身装置,采用等级分层设计方法可以在较少层数下得到具有良好隐身性能的信息开放的隐身装置.第三部分:因为磁通密度B是物理上关心的基本量,其地位相当于电场E.现阶段关于磁通密度B的数学理论和数值算法还很少,因此本文建立如下的时谐磁通密度模型方程:进一步,我们推导其与完美匹配层方程耦合的模型方程.基于霍奇分解方法,将它们转化为两个标量椭圆型边值问题,并给出相应的误差分析.最后,通过数值算例来验证理论分析结果并求解出物理中的两个基本场B和E的近似解.第四部分:我们将自适应有限元算法推广到声波问题与相场中的Allen-Cahn方程.一方面,我们考虑线性、非线性声学材料介质的声波传播问题.基于残量型与重构型后验误差估计子,针对不同介质中的亥姆霍兹方程,通过大量数值算例来验证自适应算法的有效性.另一方面,针对相场中Allen-Cahn方程,我们提出一种自适应算子分裂方法.首先,将Allen-Cahn方程分裂为线性方程和非线性方程.对于线性方程,我们使用Crank-Nicolson格式将其离散化并通过有限元方法求解.对于非线性方程,我们可以精确求解,减少计算量,提高算法效率,基于超收敛点团恢复技术与前后两层网格的相对误差,分别构造Allen-Cahn方程的空间与时间方向误差估计子,设计了 Allen-Cahn方程的自适应算法,最后通过数值算例来验证自适应方法的有效性.