【摘 要】
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本文主要考虑将有限维矩阵代数中的经典Smiley定理推广至复Hilbert空间上的算子代数中.本文通过剖析经典Smiley定理的证明思想,应用算子代数和李代数理论,主要证明了对于复Hilbert空间中具有局部幂零根基的谱算子是（k,l）-型Smiley算子.更准确地来说,对于复Hilbert空间中的任一具有局部幂零根基的谱算子A和任意两个正整数l,k（l ≥k）,如果一个有界算子B属于有界算子X的
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本文主要考虑将有限维矩阵代数中的经典Smiley定理推广至复Hilbert空间上的算子代数中.本文通过剖析经典Smiley定理的证明思想,应用算子代数和李代数理论,主要证明了对于复Hilbert空间中具有局部幂零根基的谱算子是（k,l）-型Smiley算子.更准确地来说,对于复Hilbert空间中的任一具有局部幂零根基的谱算子A和任意两个正整数l,k（l ≥k）,如果一个有界算子B属于有界算子X的k-中心化子,并且有界算子X是谱算子A的l-中心化子,则有界算子B一定属于由谱算子A和恒等算子生成的von Neumann代数.这一结果推广了 M.F.Smiley所证明的一个矩阵交换子定理.为此,我们定义了（k,l）-型Smiley算子.此外,本文还给出了谱算子的其他实例,其中包括紧自伴算子和正规算子.进一步地,我们还发现了一个非谱Smiley算子的实例,即单边移位算子,计算并证明了每一个无限维单侧移位算子都是（k,2）-型Smiley算子,其中k∈{1,2}.这表明了 Smiley型定理可能也适用于非谱算子.本论文主要分为五个部分.第一章是绪论,介绍了本文的研究背景、论文结构以及创新点.第二章列出了本文所需的一些预备知识.在第三章中,我们将介绍经典Smiley定理的内容、发展历史以及详细证明.第四章展现本文的主要成果,即Smiley定理的推广形式及其证明,以及Smiley算子的具体例子.最后,我们在第五章总结了本文得出的主要结论,并列出了本课题的后续研究问题和研究思路.
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