本文研究平面区域的单叶性内径及与之相关的Schwarz导数及对数导数的问题． 单叶性内径与几何函数论中的许多问题有关，是刻画双曲型Riemann曲面的重要几何不变量，对某些特殊区域的单叶性内径进行估计是许多学者感兴趣的一个问题，但要求得某一区域单叶性内径的精确数值也是一件困难的事情，我们将对Schwarz导数和对数导数定义的单叶性内径做一些讨论． 本文共分三章： 第一章，绪论．在这一章中，我们简单介绍单叶性内径的基本理论，回顾单叶性内径及Schwarz导数及对数导数理论的发展历史与研究现状，并简要地介绍作者的主要工作。 第二章，梯形的单叶性内径．我们利用David Calvis的方法讨论了等腰梯形和直角梯形的单叶性内径，得到了两个结果：若P是边序列为aaab最小角为kπ（其中b=a+2a cos kπ，0≤k≤1/3）的等腰梯形，则σ（P）=2k2；若P是边序列为aabc最小角为1/4π（其中b=2a，c=√2a的直角梯形，则σ（P）=1/8。 第三章，用对数导数定义的单叶性内径．一个局部单叶的解析函数在怎样的条件下一定是整体单叶的与对数导数有关．这一章讨论了对数导数定义的单叶性内径并得到了一些结果．