液晶是一类典型而重要的复杂流体,其独特的各向异性(如相变、缺陷以及动力学行为等)为数学提供了大量内涵丰富、挑战性高的问题。描述液晶动力学行为的数学模型主要有:Doi-Onsager分子模型、Landau-de Gennes张量模型和Ericksen-Leslie向量模型。这三类模型是从不同的物理观点推导得到,它们各有优缺点:Doi-Onsager模型基于微观的统计力学,它考虑分子间的微观作用,从而较为精确,但通常涉及高维问题,求解困难。Landau-de Gennes模型与Ericksen-Leslie模型基于宏观的连续介质力学,它们应用方便,对向列相的刻画有较好的效果,但其参数物理意义不明确。因此,理解并建立不同层次模型之间的关系是液晶数学理论研究中的一个重要而基本的问题。Qian-Sheng模型是Landau-de Gennes张量理论框架下,描述液晶动力学行为的一类具有代表性的数学模型。该模型除了描述单轴的向列相外,还能刻画双轴相和线缺陷等更为复杂的物理现象。本文主要研究忽略惯性的Qian-Sheng模型与EricksenLeslie模型光滑解之间的关系;对于描述层状相液晶的de Gennes向量模型,研究了其三维径向对称点缺陷结构的稳定性。具体研究内容如下:首先,对于含有弹性小参数的Qian-Sheng模型,对其解作Hilbert展开,形式导出一系列张量方程组。借助临界点与线性算子的性质,从平衡态处的张量方程(即零阶系统)推导出Ericksen-Leslie方程。对于Hilbert展开所得的一阶与二阶系统,借助两个投影算子将其化为封闭的线性方程组,利用标准的能量方法证明了Hilbert展开的存在性。引入一个“好项”来简化余项所满足的方程组,“好项”的特征是当弹性小参数趋于零(也称单轴极限)时,它可以由给定的能量泛函控制,借助奇异项的关键估计以及相消关系,证明了Hilbert展开中余项的一致能量估计。因此,从数学上严格证明了单轴极限意义下,非惯性Qian-Sheng模型的光滑解收敛到Ericksen-Leslie模型的光滑解。液晶除了呈现出各种丰富的相结构外,它还有一个十分重要的物理现象就是缺陷的存在。从直观上讲,缺陷就是局部分子排列不连续的地方。在平衡状态下,缺陷结构的位置和构型由自由能极小解与边界约束共同确定。通过极小化近晶A相液晶的自由能泛函,可以获得其区域限制在三维球内的平衡态解,从而利用二阶变分方法证明其径向对称的点缺陷构型的稳定性。