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当学生在一个具有挑战性的习题面前无法解决时,教师能够有效地引导,将对学生综合能力的提高起很大的作用,现举一个例子作为佐证。
如图:在
△ABC中,AC=8,
BC=6,∠C=90°
现有⊙Q与⊙P半径都为1,两圆同时从A向C运动(圆心都在线段上),⊙P走直线段A→C,而⊙Q走折线段A→B→C。又设运动时间为t,且⊙Q与⊙P的速度分别为2和1,请问:
⑴两圆何时重合且指出时间及位置。
⑵何时相切且求出相切时间。
⑶相交指出时间区域。
⑷何时相离且求出圆心距的最大值及时间区域。
解题步骤:
A分析:从所要回答的问题看,实质是不同时间两圆的位置关系。
B实验、观察:用两圆做一下运动实验后,可得出两圆位置有两个区域相交,两次相切,一个区域相离。
C猜测、思考:由以上的分析实验结果表明,解决问题的关键:是求出两相切位置的时间。
D验证猜测:
(1)求出相切时间:易求得AB=
=10,当⊙Q在AB上,⊙P在AC上时,连Q、P,得QP=2,过Q作QH⊥AC交AC于H,由△QHP是直角三角形,可得QH2+PH2=22 ①,又RT△QHP∽RT△BCA,则有
②, ③联立①②③解得
t1=.
当⊙Q在BC上,⊙P在AC上时,连Q、P。得QP=2,此时的△QCP是直角三角形,QC=16-2t,PC=8-t,于是有(16-2t)2+(8-t)2=22,解得t1= >8(舍去)
t2=
(2)回答问题:
1°重合位置:在A、C(因为AB+BC=2AC),时间是t=0或 t=8.
2°相切时间:t1= (一次),
t2=(二次)。
3°相交时间:0 或 4°相离时间: E、推而广之,①两圆半径可以相等,也可以不相等,半径之和由切点个数而定。
②运行速度之比等于折线段长度与直线段长度之比。
综上所述,只要符合以上条件范围,用上述方法均可求得其解。
(作者联通:445704湖北省来凤县高洞中学)
如图:在
△ABC中,AC=8,
BC=6,∠C=90°
现有⊙Q与⊙P半径都为1,两圆同时从A向C运动(圆心都在线段上),⊙P走直线段A→C,而⊙Q走折线段A→B→C。又设运动时间为t,且⊙Q与⊙P的速度分别为2和1,请问:
⑴两圆何时重合且指出时间及位置。
⑵何时相切且求出相切时间。
⑶相交指出时间区域。
⑷何时相离且求出圆心距的最大值及时间区域。
解题步骤:
A分析:从所要回答的问题看,实质是不同时间两圆的位置关系。
B实验、观察:用两圆做一下运动实验后,可得出两圆位置有两个区域相交,两次相切,一个区域相离。
C猜测、思考:由以上的分析实验结果表明,解决问题的关键:是求出两相切位置的时间。
D验证猜测:
(1)求出相切时间:易求得AB=
=10,当⊙Q在AB上,⊙P在AC上时,连Q、P,得QP=2,过Q作QH⊥AC交AC于H,由△QHP是直角三角形,可得QH2+PH2=22 ①,又RT△QHP∽RT△BCA,则有
②, ③联立①②③解得
t1=.
当⊙Q在BC上,⊙P在AC上时,连Q、P。得QP=2,此时的△QCP是直角三角形,QC=16-2t,PC=8-t,于是有(16-2t)2+(8-t)2=22,解得t1= >8(舍去)
t2=
(2)回答问题:
1°重合位置:在A、C(因为AB+BC=2AC),时间是t=0或 t=8.
2°相切时间:t1= (一次),
t2=(二次)。
3°相交时间:0
②运行速度之比等于折线段长度与直线段长度之比。
综上所述,只要符合以上条件范围,用上述方法均可求得其解。
(作者联通:445704湖北省来凤县高洞中学)