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摘要：在教学中，学生千差万别，教学方式也多种多样。但不管怎样，数学知识的逻辑结构、学生的认知方式往往是相对固定的，具有一定的顺序和规律。教学先要“立序”，循序渐进，不陵节而施;而“选材”则不那么固定，可以多元丰富，根据学生实际与教学需要合理选取，有时“简单、朴素，能呈现数学核心本义”。
关键词：数学教学 立序 选材 《用字母表示數》
学生在学习“用字母表示数”之前，已初步认识了整数、小数和分数，能体会到用数字表示数的确定性与唯一性。而用字母（或字母式）表示数，往往表示一些不确定、不唯一的数、数量，是从数到代数认识的一次飞跃，涉及的思维更为抽象、概括、复杂，对多数学生来说存在认知上的挑战。
很多教师在执教这一内容时，往往忽略了其中最具数学意义的地方，即“用字母表示数”与之前学习的“用数字表示数”有什么不同。学生对于“为什么用字母表示”“何时用字母表示数”“用字母表示数有何特点”“用字母表示数有何价值”等问题的认识与体验不足。究其原因，很大程度上与教学环节的顺序设置不恰当以及学习材料的选取、运用不合理有关。现从听课经历中整理出两个教学案例，进行对比分析，分享自己的感悟。
一、教学案例
【案例1】
师（课件出示一个三角形）用小棒摆三角形，摆
1个三角形用几根小棒？
生3根。
师（课件出示文字：摆1个三角形用3根小棒。然后，课件出示第二个三角形）摆2个三角形用几根小棒？
生6根。
师怎样列式？
生2×3=6。
师摆3个三角形呢？怎样列式？
生3×3=9。
师摆4个三角形呢？
生4X3=12。
师（出示表1）为了便于观察，我们可以把所摆三角形的个数和所用小棒的根数用表格的形式呈现出来。
师继续摆下去，你还能想到哪些算式？
（学生回答，教师依次出示算式，延续表格。）师继续写下去，能写完吗？这样的式子有多少个？生无数个。
师（在表格中填入“……”表示“无数个”）三角形的个数与小棒的根数有什么关系？你能用一个式子表示吗？
生摆几个三角形，小棒根数就有几个3。
生小棒根数是三角形个数的3倍。
生可以用“三角形个数×3”表示小棒根数。
师如果用a表示三角形的个数，小棒的根数是多少呢？
生aX3。
生3×a也可以。
师同学们回答得真好！那这里的a可以表示哪些数？
生可以是1、2、3、4……
师0可以吗？
生0也可以。
师看来a可以表示任意自然数。（出示如图1所示的例题）大家会填空吗？
生会。剩下的千米数是280-b。
师答对了！这里的6可以表示哪些数？
生应该比0大，但不能超过280。
师看来在不同的情境下，字母的取值范围是不一样的。
【案例2】
师（出示①号信封）同学们，老师往①号信封中放了一支粉笔，可以怎么表示？
生1支粉笔，可以用1表示。
师很好。继续看。（往①号信封中又放了2支粉笔）现在又怎么表示呢？
生用3表示。
师正确。（将①号信封藏到讲台下面，不让学生
看见，又放入粉笔若干）现在可以用几表示？
生可能是4，也可能是5、6、7……
生不一定，有很多可能。
师（板书：不确定）有无数可能吗？可能有50支吗？
生不可能，装不了那么多。
师那现在装的粉笔数应该在什么范围？
生应该比3支多，但小于50支。
（教师同步板书，内容如图2所示。）
师今天我们碰到了一个特殊的情况：信封中的粉笔支数是不确定的，有多种可能，我们不能用以前学过的数字来表示到底有多少支，但这个结果又处于一定的范围内。数学上，我们有一个办法，就是用字母来表示这个数，比如，我们可以说①号信封中有a支粉笔。
生可以用b、c或其他字母来表示吗？
师当然可以。
师（拿出事先装了若干粉笔的②号信封）这个②号信封中的粉笔你们也不知道有多少支，可以怎么表示呢？
生也可以用字母a。
生用字母b。
师同学们讲了这么多，都是用字母表示的，看来你们已经学会用这种方法来表示不确定的数了。很棒！但是，想一想，这里的粉笔数也用字母a好，还是换个字母如6好呢？生用b更好。
师为什么？
生因为信封不同了，里面的粉笔数也不一定相同，所以用不同的字母表示比较好。
师同学们说得真好！如果这两个信封里的粉笔数分别表示为a和b，你们认为它们之间可能会有哪些大小关系呢？
（学生经过讨论后认为有三种可能：a>b，a
师现在，如果我告诉你，②号信封中比①号信封中多2支粉笔，那②号信封中的粉笔可以怎么表示？
生因为①号信封中有a支粉笔，所以②号信封中是a+2支粉笔。
师（板书：a+2）这个时候，②号信封中的粉笔数是用b好，还是用a+2好？为什么？
生用a+2更好。
生都是借助字母来表示，但是用a～2来表示，一下子就能看出两个信封中粉笔支数的关系。
（学生自发鼓掌，表示认同。）
师你能根据“①号信封中有a支粉笔，②号信封中有a+2支粉笔”提出什么数学问题吗？ 生两个信封中一共有多少支粉笔？
生②号信封中比①号信封中多几支粉笔？
师我们一起来研究第一个问题：两个信封中一共有多少支粉笔？我们可以怎样列式计算？
生a+a+2。
生还可以怎么列式呢？
生aX2+2或者2×a+2。
師好的。看来用字母表示出不确定的数之后，还能进一步计算呢！同学们同意吗？
生同意。
二、分析与感悟
（一）“立序”为先
学生为什么要学习“用字母表示数”？在学习该内容之前，学生是用什么来表示数的？这两个问题的思考，对于这部分内容教学的“立序”格外重要。显然，学生学习“用字母表示数”之前，都是用数字来表示数的。比如，案例2中，信封中装了1支粉笔，就用“1”表示;装了3支粉笔，就用“3”表示。而当不能确定信封中粉笔的支数，无法用唯一确定的数字来表示时，就需要一种新的数学表示方法。这就是本部分内容的教学重点，即“数”变化了，不确定了，需要用字母来表示。
案例1中，字母的出现几乎没有特别的说明与介绍，只是以这样的两个问题过渡：“继续写下去，能写完吗？这样的式子有多少个？”“如果用a表示三角形的个数，小棒的根数是多少呢？”a是怎么来的？仅仅是因为写不完就想到用字母来表示吗？为什么要用字母a表示三角形的个数？可以用其他的字母（比如b、c）吗？小棒的根数也是未知的，为什么不用字母表示，而要用一个式子来表示？对以上问题，案例1没有很好地做出预设，也没有做出细分处理。学生可能因为先前有过用字母表示数量及数量关系的经验（如用字母式表示运算律等），所以没有产生理解上的困难。但教师却不能在此关键的认知节点蜻蜓点水，而需要引导学生经历知识发生与发展的全过程，从而促进其内在认知系统的再建构。
相比较而言，案例2则理出了较为清晰的“立序”过程：（1）生活中，数的状态有时是确定的，有时是不确定的;（2）数学中，不确定的、有范围的数可以用字母来帮助表示;（3）同一事件中，通常用不同的字母来表示不同的数，且它们存在大小关系;（4）同一事件中，若两个数之间存在一定的数量关系，那么一个数可以用字母表示，另一个数可以用含有该字母的式子表示;（5）用字母或字母式表示出数量后，可以进一步进行运算。根据这样的“序”，教师确定了“往信封中放粉笔”的“材”。当放入1支、3支时，可以用数字来表示;当信封中的粉笔数不确定时，引发学生思考“现在可以用几表示”，并且结合实际让学生估计这个不确定数的范围，进而引出小学数学中用字母表示数的规定。学生通过对比，对这两种情况（确定数与不确定数）就辨别得比较清楚了。再出示②号信封，让学生尝试用字母表示此信封中的粉笔数——可以用字母b，也可以用字母c、d等，但一般情况不用字母。，因为这两个信封中的粉笔数应该是不同的，有大小之分。最后，出示两个信封中粉笔数之间的关系“②号信封中比①号信封中多2支粉笔”，引导学生思考如何用含有字母a的式子表示②号信封中的粉笔数，并通过对比充分体会“用字母式既可以表示数量，也可以反映数量间的关系”，进而体会“同一事件中，若两个数量之间有联系，用字母式表示比较方便”。同时，让学生感受到：对于不确定的数量，用字母或字母式表示后，可以利用之前的运算经验列式计算，来解决问题。
（二）“选材”要精
从“选材”的角度考虑，对案例1中的教学素材，学生显然不容易感知“何时用字母来表示数”：学生发现“这样的式子不能写完”时，教师只好用“如果用a表示三角形的个数，小棒的根数是多少呢？”来引导。这样的素材处理方式完全跳过了教学重点“用字母表示数”，直接进入“用字母式来表示数”，使得原本应该循序渐进的认知过程变得仓促而低效。另外，由于这一素材中“三角形个数”和“小棒根数”两个数量是同时呈现的，且二者的数量关系（3倍的倍比关系）从一开始就是显性的，所以当教师提问“如果用n表示三角形的个数，小棒的根数是多少呢？”时，学生不用太多思考就能很快回答出是“a×3”或“3×a”。这样的学习素材运用以及处理方式，自然是不利于学生体会“用字母式表示数”的深刻意义与丰富内涵的。
案例2中的学习素材虽然简单，只用了两个信封和几支粉笔，但围绕情境次第开展各个教学环节，教学实施处理得当，反而取得了较好的教学效果。首先，借助往①号信封中装粉笔，简洁明了地呈现“确定”与“不确定”两种状态，凸显数变化的特征。然后，通过出示②号信封，帮助学生深化理解“用字母与用字母式表示”的数学意义：一方面，强化不确定的数可以用字母表示的认识;另一方面，当两个信封中的粉笔数建立明确的比较关系后，学生通过比较会获得新的认识，即②号信封中的粉笔数用a+2表示更好，因为“用a+2=6来表示，一下子就能看出两个信封中粉笔支数的关系”。借助精练的学习材料，有效凸显了知识的本质。此外，在体会用字母（式）表示数的价值方面，教师引导学生自主提问“两个信封中一共有多少支粉笔”，进而了解到字母（式）可以进一步运算，从而打破只能用确定的数运算的固有认知，初步感知代数思维，为后期学习方程及函数知识打下基础。
在教学中，学生千差万别，教学方式也多种多样。但不管怎样，数学知识的逻辑结构、学生的认知方式往往是相对固定的，具有一定的顺序和规律。教学先要“立序”，循序渐进，不陵节而施;而“选材”则不那么固定，可以多元丰富，根据学生实际与教学需要合理选取，有时“简单、朴素，能呈现数学核心本义”。
关键词：数学教学 立序 选材 《用字母表示數》
学生在学习“用字母表示数”之前，已初步认识了整数、小数和分数，能体会到用数字表示数的确定性与唯一性。而用字母（或字母式）表示数，往往表示一些不确定、不唯一的数、数量，是从数到代数认识的一次飞跃，涉及的思维更为抽象、概括、复杂，对多数学生来说存在认知上的挑战。
很多教师在执教这一内容时，往往忽略了其中最具数学意义的地方，即“用字母表示数”与之前学习的“用数字表示数”有什么不同。学生对于“为什么用字母表示”“何时用字母表示数”“用字母表示数有何特点”“用字母表示数有何价值”等问题的认识与体验不足。究其原因，很大程度上与教学环节的顺序设置不恰当以及学习材料的选取、运用不合理有关。现从听课经历中整理出两个教学案例，进行对比分析，分享自己的感悟。
一、教学案例
【案例1】
师（课件出示一个三角形）用小棒摆三角形，摆
1个三角形用几根小棒？
生3根。
师（课件出示文字：摆1个三角形用3根小棒。然后，课件出示第二个三角形）摆2个三角形用几根小棒？
生6根。
师怎样列式？
生2×3=6。
师摆3个三角形呢？怎样列式？
生3×3=9。
师摆4个三角形呢？
生4X3=12。
师（出示表1）为了便于观察，我们可以把所摆三角形的个数和所用小棒的根数用表格的形式呈现出来。
师继续摆下去，你还能想到哪些算式？
（学生回答，教师依次出示算式，延续表格。）师继续写下去，能写完吗？这样的式子有多少个？生无数个。
师（在表格中填入“……”表示“无数个”）三角形的个数与小棒的根数有什么关系？你能用一个式子表示吗？
生摆几个三角形，小棒根数就有几个3。
生小棒根数是三角形个数的3倍。
生可以用“三角形个数×3”表示小棒根数。
师如果用a表示三角形的个数，小棒的根数是多少呢？
生aX3。
生3×a也可以。
师同学们回答得真好！那这里的a可以表示哪些数？
生可以是1、2、3、4……
师0可以吗？
生0也可以。
师看来a可以表示任意自然数。（出示如图1所示的例题）大家会填空吗？
生会。剩下的千米数是280-b。
师答对了！这里的6可以表示哪些数？
生应该比0大，但不能超过280。
师看来在不同的情境下，字母的取值范围是不一样的。
【案例2】
师（出示①号信封）同学们，老师往①号信封中放了一支粉笔，可以怎么表示？
生1支粉笔，可以用1表示。
师很好。继续看。（往①号信封中又放了2支粉笔）现在又怎么表示呢？
生用3表示。
师正确。（将①号信封藏到讲台下面，不让学生
看见，又放入粉笔若干）现在可以用几表示？
生可能是4，也可能是5、6、7……
生不一定，有很多可能。
师（板书：不确定）有无数可能吗？可能有50支吗？
生不可能，装不了那么多。
师那现在装的粉笔数应该在什么范围？
生应该比3支多，但小于50支。
（教师同步板书，内容如图2所示。）
师今天我们碰到了一个特殊的情况：信封中的粉笔支数是不确定的，有多种可能，我们不能用以前学过的数字来表示到底有多少支，但这个结果又处于一定的范围内。数学上，我们有一个办法，就是用字母来表示这个数，比如，我们可以说①号信封中有a支粉笔。
生可以用b、c或其他字母来表示吗？
师当然可以。
师（拿出事先装了若干粉笔的②号信封）这个②号信封中的粉笔你们也不知道有多少支，可以怎么表示呢？
生也可以用字母a。
生用字母b。
师同学们讲了这么多，都是用字母表示的，看来你们已经学会用这种方法来表示不确定的数了。很棒！但是，想一想，这里的粉笔数也用字母a好，还是换个字母如6好呢？生用b更好。
师为什么？
生因为信封不同了，里面的粉笔数也不一定相同，所以用不同的字母表示比较好。
师同学们说得真好！如果这两个信封里的粉笔数分别表示为a和b，你们认为它们之间可能会有哪些大小关系呢？
（学生经过讨论后认为有三种可能：a>b，a
师现在，如果我告诉你，②号信封中比①号信封中多2支粉笔，那②号信封中的粉笔可以怎么表示？
生因为①号信封中有a支粉笔，所以②号信封中是a+2支粉笔。
师（板书：a+2）这个时候，②号信封中的粉笔数是用b好，还是用a+2好？为什么？
生用a+2更好。
生都是借助字母来表示，但是用a～2来表示，一下子就能看出两个信封中粉笔支数的关系。
（学生自发鼓掌，表示认同。）
师你能根据“①号信封中有a支粉笔，②号信封中有a+2支粉笔”提出什么数学问题吗？ 生两个信封中一共有多少支粉笔？
生②号信封中比①号信封中多几支粉笔？
师我们一起来研究第一个问题：两个信封中一共有多少支粉笔？我们可以怎样列式计算？
生a+a+2。
生还可以怎么列式呢？
生aX2+2或者2×a+2。
師好的。看来用字母表示出不确定的数之后，还能进一步计算呢！同学们同意吗？
生同意。
二、分析与感悟
（一）“立序”为先
学生为什么要学习“用字母表示数”？在学习该内容之前，学生是用什么来表示数的？这两个问题的思考，对于这部分内容教学的“立序”格外重要。显然，学生学习“用字母表示数”之前，都是用数字来表示数的。比如，案例2中，信封中装了1支粉笔，就用“1”表示;装了3支粉笔，就用“3”表示。而当不能确定信封中粉笔的支数，无法用唯一确定的数字来表示时，就需要一种新的数学表示方法。这就是本部分内容的教学重点，即“数”变化了，不确定了，需要用字母来表示。
案例1中，字母的出现几乎没有特别的说明与介绍，只是以这样的两个问题过渡：“继续写下去，能写完吗？这样的式子有多少个？”“如果用a表示三角形的个数，小棒的根数是多少呢？”a是怎么来的？仅仅是因为写不完就想到用字母来表示吗？为什么要用字母a表示三角形的个数？可以用其他的字母（比如b、c）吗？小棒的根数也是未知的，为什么不用字母表示，而要用一个式子来表示？对以上问题，案例1没有很好地做出预设，也没有做出细分处理。学生可能因为先前有过用字母表示数量及数量关系的经验（如用字母式表示运算律等），所以没有产生理解上的困难。但教师却不能在此关键的认知节点蜻蜓点水，而需要引导学生经历知识发生与发展的全过程，从而促进其内在认知系统的再建构。
相比较而言，案例2则理出了较为清晰的“立序”过程：（1）生活中，数的状态有时是确定的，有时是不确定的;（2）数学中，不确定的、有范围的数可以用字母来帮助表示;（3）同一事件中，通常用不同的字母来表示不同的数，且它们存在大小关系;（4）同一事件中，若两个数之间存在一定的数量关系，那么一个数可以用字母表示，另一个数可以用含有该字母的式子表示;（5）用字母或字母式表示出数量后，可以进一步进行运算。根据这样的“序”，教师确定了“往信封中放粉笔”的“材”。当放入1支、3支时，可以用数字来表示;当信封中的粉笔数不确定时，引发学生思考“现在可以用几表示”，并且结合实际让学生估计这个不确定数的范围，进而引出小学数学中用字母表示数的规定。学生通过对比，对这两种情况（确定数与不确定数）就辨别得比较清楚了。再出示②号信封，让学生尝试用字母表示此信封中的粉笔数——可以用字母b，也可以用字母c、d等，但一般情况不用字母。，因为这两个信封中的粉笔数应该是不同的，有大小之分。最后，出示两个信封中粉笔数之间的关系“②号信封中比①号信封中多2支粉笔”，引导学生思考如何用含有字母a的式子表示②号信封中的粉笔数，并通过对比充分体会“用字母式既可以表示数量，也可以反映数量间的关系”，进而体会“同一事件中，若两个数量之间有联系，用字母式表示比较方便”。同时，让学生感受到：对于不确定的数量，用字母或字母式表示后，可以利用之前的运算经验列式计算，来解决问题。
（二）“选材”要精
从“选材”的角度考虑，对案例1中的教学素材，学生显然不容易感知“何时用字母来表示数”：学生发现“这样的式子不能写完”时，教师只好用“如果用a表示三角形的个数，小棒的根数是多少呢？”来引导。这样的素材处理方式完全跳过了教学重点“用字母表示数”，直接进入“用字母式来表示数”，使得原本应该循序渐进的认知过程变得仓促而低效。另外，由于这一素材中“三角形个数”和“小棒根数”两个数量是同时呈现的，且二者的数量关系（3倍的倍比关系）从一开始就是显性的，所以当教师提问“如果用n表示三角形的个数，小棒的根数是多少呢？”时，学生不用太多思考就能很快回答出是“a×3”或“3×a”。这样的学习素材运用以及处理方式，自然是不利于学生体会“用字母式表示数”的深刻意义与丰富内涵的。
案例2中的学习素材虽然简单，只用了两个信封和几支粉笔，但围绕情境次第开展各个教学环节，教学实施处理得当，反而取得了较好的教学效果。首先，借助往①号信封中装粉笔，简洁明了地呈现“确定”与“不确定”两种状态，凸显数变化的特征。然后，通过出示②号信封，帮助学生深化理解“用字母与用字母式表示”的数学意义：一方面，强化不确定的数可以用字母表示的认识;另一方面，当两个信封中的粉笔数建立明确的比较关系后，学生通过比较会获得新的认识，即②号信封中的粉笔数用a+2表示更好，因为“用a+2=6来表示，一下子就能看出两个信封中粉笔支数的关系”。借助精练的学习材料，有效凸显了知识的本质。此外，在体会用字母（式）表示数的价值方面，教师引导学生自主提问“两个信封中一共有多少支粉笔”，进而了解到字母（式）可以进一步运算，从而打破只能用确定的数运算的固有认知，初步感知代数思维，为后期学习方程及函数知识打下基础。
在教学中，学生千差万别，教学方式也多种多样。但不管怎样，数学知识的逻辑结构、学生的认知方式往往是相对固定的，具有一定的顺序和规律。教学先要“立序”，循序渐进，不陵节而施;而“选材”则不那么固定，可以多元丰富，根据学生实际与教学需要合理选取，有时“简单、朴素，能呈现数学核心本义”。