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【摘 要】例题教学的互动过程包括：改编问题，体现讨论的必要；放手展示，暴露真实的想法；师生对话，擦出智慧的火花；回归例题，呈现别样的精彩。师生互动包括师班、师组、师个与生生互动等四种形式，每种形式又都蕴含表达、讨论、思维和情感等四个维度。构建好师生关系、设计好问题串以及运用好教学变通是提高师生互动有效性的保障。
【关键词】例题教学师生互动形式内涵保障
苏教版高中数学教材必修2“直线与圆的位置关系”一节中有这样一道例题（例题2）：
自点A（1，4）作圆C：（x-2）2 （y-3）2=1的切线l，求切线的方程。
首先，教材中对于这道例题提供了两种处理直线与圆相切的方法，一是利用圆心到直线的距离等于半径，二是利用直线与圆的方程组成的方程组仅有一组解。其次，在设直线的点斜式方程前，先讨论了直线垂直于轴的特殊情况。最后，两种解法的计算过程均一带而过，没有展示“在理解算理的基础上讲究算法的合理性”。这三点看似顺其自然的解题思维过程，教材以学术形态呈现出静态的解题方法。那么，如何设计好辅助的数学问题，如何组织好学生的数学活动，又如何以教育形态呈现出动态的思考？这是每一位教者都将面对的一个富有挑战性的难题。
笔者在一次教学调研中，发现某校一位数学教师通过创设一个思维互动、对话交流、情感交融的师生互动，较好地诠释了例题教学的有效性问题。
一、例题教学的互动过程
1.改编问题，体现讨论的必要。
这位教师没有直接讲解教材中的例题（即问题1），而是仿照例题的结构，自编了“问题2”自点A（1，4）作圆C：（x-2）2 （y-1）2=1的相切l，求切线的方程。进一步研究会发现，问题1即使没有考虑到“当直线l垂直于x轴时”的特殊情况，结果也正确，因为这种情况“不满足条件”。这时候刻意让学生进行“讨论”，显得“无病呻吟”，学生根本体会不到“讨论”的必要性。而改编后的问题2，如果不讨论“当直线l垂直于x轴时”的特殊情况，则会出现漏解的情况。这种“源于教材，而又不拘泥于教材”的创造性使用教材方式非常值得推广。
2.放手展示，暴露真实的想法。
这位教师呈现问题2之后，让一位学生到黑板前板演，以下是这位学生在黑板前的活动记录。
（思路一）解：设l的方程为y-4=k（x-1），由
y-4=k（x-1）
（x-2）2 （y-1）2=1.
得（x-2）2 （kx 3-k）2=1。
该生盯着这个方程，摇摇头，犹豫了一会儿，最终选择了把它擦掉。
（思路二）点A（1，4）到直线l：y-4=k（x-1），即kx-y 4-k=0的距离为d==1，竟然无解，很困惑！几秒钟后，也擦去了不等式。
（思路三）圆心C（2，1）到直线l：kx-y 4-k=0的距离为d===1，解得k=-，所以直线l的方程为y-4=-（x-1）。
笔者观察到在学生这一系列活动中，这位教师一直注意观察学生的每一步的解题步骤，始终保持沉默。由于教师给予了学生足够的时间独立思考，这位学生才有机会把自己最真实的思想历程完整地展现出来，同时也为接下来的师生对话提供了共同的话题。
3.师生对话，擦出智慧的火花。
接下来教师开始评讲，下面是师生之间的一段对话（T代表教师，S1代表这位学生，S2代表另一位学生）。
T：你为什么要放弃思路一呢？
S1：我估计式子（kx 3-k）2展开后很繁琐，而且运算量太大了，我不知道怎么办？
T：我们一起来试试看。由（x-2）2 （kx 3-k）2=1，把其中的3-k看成一个整体，得（x-2）2 [kx （3-k）]2=1，展开化简，得（1 k2）x2 [2k（3-k）-4]x （3-k）2 3=0。因为判别式△=4｛[k（k-3） 2]2-（1 k2）[（3-k）2 3]｝=0，即k2（k-3）2 4k（k-3） 4-（1 k2）（3-k）2-3（1 k2）=0，所以-6k-8=0，解得k=-。
S1：（众生赞叹）哇！整体代入真的很简便。
T：思路二为什么行不通呢？
S1：应该是圆心到直线的距离等于半径，我代错了点的坐标。
T：（教师在黑板上画出了示意图）解析几何解题时要注意画图分析，借助图形打开思路。
T：点P与圆C是什么样的位置关系？怎样判定呢？
S1：点P在圆C外，把点P的坐标代入圆C的方程。
T：过圆外一点作圆的切线应该有几条？
S1：两条。
T：为什么按照思路三，你只求出了一条呢？
S1：（困惑状，同桌给予提示）丢了斜率不存在的那一条。
T：你知道为什么会丢掉这一条吗？
S2：（另一位学生举手，教师示意回答）因为设点斜式直线方程时，已经无意中把这种情况丢掉了。
T：以后再遇到这类问题应该怎么办呢？
S1：要分斜率不存在和斜率存在这两种情况进行讨论。
T：（在学生的解题过程上，补充完善）当直线的斜率存在时，设l的方程为y-4=k（x-1），…。
当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x=1，圆心C（2，1）到直线的距离为d=2-1=1，所以此时直线l与圆C相切。综上可知，直线的方程为4x 3y-16=0或x=1。
这位学生的求解过程一波三折。思路一应该是直线与圆相切位置关系判定的一种通解通法，并且可以推广到直线与圆锥曲线相切位置关系的判定，但是由于学生对于这种算理认识的模糊性与算法过程缺乏亲身体验，以及对于大计算量的畏惧心理，最终选择放弃。不过教师顺势而为，把握恰当时机，示范了解题过程，起到了非常好的引领作用；思路二是学生弃繁从简的不二选择，但是由于审题不清，加之“数缺形时少直观”，又误入歧途，好在及时醒悟；思路三解法简捷，运算正确，但是该生又疏忽大意，对于点斜式设法的局限性认识不足，导致结果仍然不完整，这也恰好体现了教者编制新问题的良苦用心。
4.回归例题，呈现别样的精彩。
在评点完问题2之后，这位老师让学生们从下面三个问题中任选一道题作问题1自点A（-1，4）作答：
问题1：自点A（-1，4）作圆C：（x-2）2 （y-3）2=1的相切l，求切线l的方程。
变式1：自点A（2，2）作圆C：（x-2）2 （y-3）2=1的相切，求切线l的方程。
变式2：自点A（1，1）作圆C：（x-2）2 （y-3）2=1的相切l，求切线l的方程。
这三个问题分别包含了切线的斜率为0和不存在等复杂情况，由于有了前面例题学习的丰富经历，以及师生之间火热的互动过程，同学们在解答这三个问题时大多数都能够做到以下几点。一是知道了要分“当直线的斜率存在时”和“当直线l的斜率不存在时”两种情况作答；二是在处理直线与圆相切问题时，既有“利用圆心到直线的距离等于半径”，也有“利用直线与圆的方程组成的方程组仅有一组解”，掌握了两种思考问题的方法；三是学生的精确计算能力得到了提升，知道了解决距离等式和判别式△=0的定量思维形式，具体解答过程不再赘述。反思这道例题的教学过程，笔者认为例题教学的效果十分显著的关键，在于教师搭建了师生互动的有效交流平台，让学生积累了丰富的数学活动经验。
二、师生互动的理性思考
1.师生互动的形式。
笔者认为，所谓的师生互动是指发生在教师与学生之间的导致双方心理与行为同向或反向变化的一切相互作用与相互影响。在高中数学课堂的互动形式，可划分为四种形式：第一种形式是指高中数学教师与全班学生之间的互动，简称为师班互动。这是数学课程要“面向全体学生，适应学生个性发展的需要”，也是师生互动的常态方式，能够调动全体学生学习数学的积极性。第二种形式是师组互动，教师要注重与各个合作学习小组之间的互动，积极参与并了解各学习小组的问题讨论进展情况，依托组内互助学习，实现组内合作交流的学习方式。第三种形式是师个互动，即高中数学教师与单个学生之间互动，目的是深入了解学生个体对于知识的掌握情况以及独特的想法。第四种形式是指学生与学生之间的互动，简称为生生互动，它是师生互动的良性发展与后继延伸的必然结果，是师生互动的深层体现方式。
2.师生互动的内涵。
针对上述四种形式的师生互动，我们认为都可以从四个维度来描述和刻画它的内涵。第一个维度是表达行为，即教师与学生通过语言表达来交流各自的想法，实现师生之间的对话。第二个维度是讨论行为，即师生双方就某一数学问题交换意见或进行辩论。通过师生的讨论来澄清与明晰，从而实现思维的碰撞与交流。第三个维度是思维行为，师生在学习数学和运用数学解决问题时，“不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”，这些过程是数学思维能力的具体体现。第四个维度是情感行为，即在数学教学过程中建立的师生之间真诚、理解、民主、和谐、欣赏、愉悦的心理氛围。当教师在教学中由职业需要上升为情感需要，当学生也从认知需要上升为情感需要时，双方就进入了“亲其师信其道，爱其生信其能”的美妙境界。
3.师生互动的保障。
（1）构建好师生关系
良好的师生关系是开展有效师生互动行为的先决条件，是建立平等民主和富有情感的人际交往场合的基础。良好师生关系的内涵包括：一是教师在人格上尊重学生。尊重学生的各种想法与念头，与学生平等地、协商式的对话与交流，与学生一同探索。二是教师发自内心地爱学生。教师要善于以“学生化”的心态与行为参与到师生互动的活动中，这样才能更好地理解学生的真实思维历程。三是教师在能力上要信任学生。教师要允许各类不同水平的学生大胆发表意见，学生给出了完美和富有创造力的解法，教师要心悦诚服地予以赞赏与褒奖，让学生也体验到一份成功的喜悦。四是教师在情感上要倾力投入，努力做到以充沛的感情、专注的精神、坚强的毅力、丰富的想象、生动的语言进入到师生互动的情境中去，用自身的热情来感染学生，用自己的智慧来引导学生。总之，在课堂学习中要让学生自信地站起来，体面地坐下去。
（2）设计好数学问题
在高中数学教学中，问题是引发学生思维与探究活动的向导，同时也是师生课堂互动的发动机。课堂教学中的互动往往始于问题，并为解决问题而开展的一系列活动。教师设计的数学问题要具有趣味性、挑战性、思维性，把学生置于一种真实的问题情境中，让学生认识到新问题与原有的认知结构之间存在矛盾，并且具有解决这一矛盾的必要性与可能性时，学生才能成为真正的学习主体。总之，有了问题还要把握好设问的时机，让学生的思维始终处于一个接一个问题的探究中，师生之间的互动才能显得水乳交融。
（3）运用好教学变通
钟启泉先生认为：“教学的本质在于沟通与合作，教与学的关系是沟通中的相互作用关系。”现代教学观也认为，教学过程是师生交往、共同发展的互动过程。教师既作为与学生群体、学生个体产生互动的一方，又应该是课堂互动的调控者，从而促进师生互动行为的高质量、高效益开展。教师需要从伦理、认知、心理、方法等方面重建师生关系，才能从根本上保障师生互动行为的有效开展，建构充满生机与活力的迷人课堂。
【参考文献】
［1］谭金锋.数学教学中的师生互动研究［J］.大学数学，2007（6）.
［2］李兴梅，曹学林.谈中学数学课堂教学中的师生互动［J］.数学通报，2009（4）.
［3］卓斌.探明学情是有效教学的前提［J］.数学通报，2014（2）.
（作者单位：江苏省宿迁市教育局教研室）
【关键词】例题教学师生互动形式内涵保障
苏教版高中数学教材必修2“直线与圆的位置关系”一节中有这样一道例题（例题2）：
自点A（1，4）作圆C：（x-2）2 （y-3）2=1的切线l，求切线的方程。
首先，教材中对于这道例题提供了两种处理直线与圆相切的方法，一是利用圆心到直线的距离等于半径，二是利用直线与圆的方程组成的方程组仅有一组解。其次，在设直线的点斜式方程前，先讨论了直线垂直于轴的特殊情况。最后，两种解法的计算过程均一带而过，没有展示“在理解算理的基础上讲究算法的合理性”。这三点看似顺其自然的解题思维过程，教材以学术形态呈现出静态的解题方法。那么，如何设计好辅助的数学问题，如何组织好学生的数学活动，又如何以教育形态呈现出动态的思考？这是每一位教者都将面对的一个富有挑战性的难题。
笔者在一次教学调研中，发现某校一位数学教师通过创设一个思维互动、对话交流、情感交融的师生互动，较好地诠释了例题教学的有效性问题。
一、例题教学的互动过程
1.改编问题，体现讨论的必要。
这位教师没有直接讲解教材中的例题（即问题1），而是仿照例题的结构，自编了“问题2”自点A（1，4）作圆C：（x-2）2 （y-1）2=1的相切l，求切线的方程。进一步研究会发现，问题1即使没有考虑到“当直线l垂直于x轴时”的特殊情况，结果也正确，因为这种情况“不满足条件”。这时候刻意让学生进行“讨论”，显得“无病呻吟”，学生根本体会不到“讨论”的必要性。而改编后的问题2，如果不讨论“当直线l垂直于x轴时”的特殊情况，则会出现漏解的情况。这种“源于教材，而又不拘泥于教材”的创造性使用教材方式非常值得推广。
2.放手展示，暴露真实的想法。
这位教师呈现问题2之后，让一位学生到黑板前板演，以下是这位学生在黑板前的活动记录。
（思路一）解：设l的方程为y-4=k（x-1），由
y-4=k（x-1）
（x-2）2 （y-1）2=1.
得（x-2）2 （kx 3-k）2=1。
该生盯着这个方程，摇摇头，犹豫了一会儿，最终选择了把它擦掉。
（思路二）点A（1，4）到直线l：y-4=k（x-1），即kx-y 4-k=0的距离为d==1，竟然无解，很困惑！几秒钟后，也擦去了不等式。
（思路三）圆心C（2，1）到直线l：kx-y 4-k=0的距离为d===1，解得k=-，所以直线l的方程为y-4=-（x-1）。
笔者观察到在学生这一系列活动中，这位教师一直注意观察学生的每一步的解题步骤，始终保持沉默。由于教师给予了学生足够的时间独立思考，这位学生才有机会把自己最真实的思想历程完整地展现出来，同时也为接下来的师生对话提供了共同的话题。
3.师生对话，擦出智慧的火花。
接下来教师开始评讲，下面是师生之间的一段对话（T代表教师，S1代表这位学生，S2代表另一位学生）。
T：你为什么要放弃思路一呢？
S1：我估计式子（kx 3-k）2展开后很繁琐，而且运算量太大了，我不知道怎么办？
T：我们一起来试试看。由（x-2）2 （kx 3-k）2=1，把其中的3-k看成一个整体，得（x-2）2 [kx （3-k）]2=1，展开化简，得（1 k2）x2 [2k（3-k）-4]x （3-k）2 3=0。因为判别式△=4｛[k（k-3） 2]2-（1 k2）[（3-k）2 3]｝=0，即k2（k-3）2 4k（k-3） 4-（1 k2）（3-k）2-3（1 k2）=0，所以-6k-8=0，解得k=-。
S1：（众生赞叹）哇！整体代入真的很简便。
T：思路二为什么行不通呢？
S1：应该是圆心到直线的距离等于半径，我代错了点的坐标。
T：（教师在黑板上画出了示意图）解析几何解题时要注意画图分析，借助图形打开思路。
T：点P与圆C是什么样的位置关系？怎样判定呢？
S1：点P在圆C外，把点P的坐标代入圆C的方程。
T：过圆外一点作圆的切线应该有几条？
S1：两条。
T：为什么按照思路三，你只求出了一条呢？
S1：（困惑状，同桌给予提示）丢了斜率不存在的那一条。
T：你知道为什么会丢掉这一条吗？
S2：（另一位学生举手，教师示意回答）因为设点斜式直线方程时，已经无意中把这种情况丢掉了。
T：以后再遇到这类问题应该怎么办呢？
S1：要分斜率不存在和斜率存在这两种情况进行讨论。
T：（在学生的解题过程上，补充完善）当直线的斜率存在时，设l的方程为y-4=k（x-1），…。
当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x=1，圆心C（2，1）到直线的距离为d=2-1=1，所以此时直线l与圆C相切。综上可知，直线的方程为4x 3y-16=0或x=1。
这位学生的求解过程一波三折。思路一应该是直线与圆相切位置关系判定的一种通解通法，并且可以推广到直线与圆锥曲线相切位置关系的判定，但是由于学生对于这种算理认识的模糊性与算法过程缺乏亲身体验，以及对于大计算量的畏惧心理，最终选择放弃。不过教师顺势而为，把握恰当时机，示范了解题过程，起到了非常好的引领作用；思路二是学生弃繁从简的不二选择，但是由于审题不清，加之“数缺形时少直观”，又误入歧途，好在及时醒悟；思路三解法简捷，运算正确，但是该生又疏忽大意，对于点斜式设法的局限性认识不足，导致结果仍然不完整，这也恰好体现了教者编制新问题的良苦用心。
4.回归例题，呈现别样的精彩。
在评点完问题2之后，这位老师让学生们从下面三个问题中任选一道题作问题1自点A（-1，4）作答：
问题1：自点A（-1，4）作圆C：（x-2）2 （y-3）2=1的相切l，求切线l的方程。
变式1：自点A（2，2）作圆C：（x-2）2 （y-3）2=1的相切，求切线l的方程。
变式2：自点A（1，1）作圆C：（x-2）2 （y-3）2=1的相切l，求切线l的方程。
这三个问题分别包含了切线的斜率为0和不存在等复杂情况，由于有了前面例题学习的丰富经历，以及师生之间火热的互动过程，同学们在解答这三个问题时大多数都能够做到以下几点。一是知道了要分“当直线的斜率存在时”和“当直线l的斜率不存在时”两种情况作答；二是在处理直线与圆相切问题时，既有“利用圆心到直线的距离等于半径”，也有“利用直线与圆的方程组成的方程组仅有一组解”，掌握了两种思考问题的方法；三是学生的精确计算能力得到了提升，知道了解决距离等式和判别式△=0的定量思维形式，具体解答过程不再赘述。反思这道例题的教学过程，笔者认为例题教学的效果十分显著的关键，在于教师搭建了师生互动的有效交流平台，让学生积累了丰富的数学活动经验。
二、师生互动的理性思考
1.师生互动的形式。
笔者认为，所谓的师生互动是指发生在教师与学生之间的导致双方心理与行为同向或反向变化的一切相互作用与相互影响。在高中数学课堂的互动形式，可划分为四种形式：第一种形式是指高中数学教师与全班学生之间的互动，简称为师班互动。这是数学课程要“面向全体学生，适应学生个性发展的需要”，也是师生互动的常态方式，能够调动全体学生学习数学的积极性。第二种形式是师组互动，教师要注重与各个合作学习小组之间的互动，积极参与并了解各学习小组的问题讨论进展情况，依托组内互助学习，实现组内合作交流的学习方式。第三种形式是师个互动，即高中数学教师与单个学生之间互动，目的是深入了解学生个体对于知识的掌握情况以及独特的想法。第四种形式是指学生与学生之间的互动，简称为生生互动，它是师生互动的良性发展与后继延伸的必然结果，是师生互动的深层体现方式。
2.师生互动的内涵。
针对上述四种形式的师生互动，我们认为都可以从四个维度来描述和刻画它的内涵。第一个维度是表达行为，即教师与学生通过语言表达来交流各自的想法，实现师生之间的对话。第二个维度是讨论行为，即师生双方就某一数学问题交换意见或进行辩论。通过师生的讨论来澄清与明晰，从而实现思维的碰撞与交流。第三个维度是思维行为，师生在学习数学和运用数学解决问题时，“不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”，这些过程是数学思维能力的具体体现。第四个维度是情感行为，即在数学教学过程中建立的师生之间真诚、理解、民主、和谐、欣赏、愉悦的心理氛围。当教师在教学中由职业需要上升为情感需要，当学生也从认知需要上升为情感需要时，双方就进入了“亲其师信其道，爱其生信其能”的美妙境界。
3.师生互动的保障。
（1）构建好师生关系
良好的师生关系是开展有效师生互动行为的先决条件，是建立平等民主和富有情感的人际交往场合的基础。良好师生关系的内涵包括：一是教师在人格上尊重学生。尊重学生的各种想法与念头，与学生平等地、协商式的对话与交流，与学生一同探索。二是教师发自内心地爱学生。教师要善于以“学生化”的心态与行为参与到师生互动的活动中，这样才能更好地理解学生的真实思维历程。三是教师在能力上要信任学生。教师要允许各类不同水平的学生大胆发表意见，学生给出了完美和富有创造力的解法，教师要心悦诚服地予以赞赏与褒奖，让学生也体验到一份成功的喜悦。四是教师在情感上要倾力投入，努力做到以充沛的感情、专注的精神、坚强的毅力、丰富的想象、生动的语言进入到师生互动的情境中去，用自身的热情来感染学生，用自己的智慧来引导学生。总之，在课堂学习中要让学生自信地站起来，体面地坐下去。
（2）设计好数学问题
在高中数学教学中，问题是引发学生思维与探究活动的向导，同时也是师生课堂互动的发动机。课堂教学中的互动往往始于问题，并为解决问题而开展的一系列活动。教师设计的数学问题要具有趣味性、挑战性、思维性，把学生置于一种真实的问题情境中，让学生认识到新问题与原有的认知结构之间存在矛盾，并且具有解决这一矛盾的必要性与可能性时，学生才能成为真正的学习主体。总之，有了问题还要把握好设问的时机，让学生的思维始终处于一个接一个问题的探究中，师生之间的互动才能显得水乳交融。
（3）运用好教学变通
钟启泉先生认为：“教学的本质在于沟通与合作，教与学的关系是沟通中的相互作用关系。”现代教学观也认为，教学过程是师生交往、共同发展的互动过程。教师既作为与学生群体、学生个体产生互动的一方，又应该是课堂互动的调控者，从而促进师生互动行为的高质量、高效益开展。教师需要从伦理、认知、心理、方法等方面重建师生关系，才能从根本上保障师生互动行为的有效开展，建构充满生机与活力的迷人课堂。
【参考文献】
［1］谭金锋.数学教学中的师生互动研究［J］.大学数学，2007（6）.
［2］李兴梅，曹学林.谈中学数学课堂教学中的师生互动［J］.数学通报，2009（4）.
［3］卓斌.探明学情是有效教学的前提［J］.数学通报，2014（2）.
（作者单位：江苏省宿迁市教育局教研室）