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【摘 要】本文主要阐述了在《高等数学》课程的教学过程中，对学生进行数学思维能力培养的要点和方法。
【关键词】高等数学；思维能力；培养
一、数学思维能力概述
能力是顺利完成某种活动所必须的并直接影响活动效率的个性心理特征。数学能力是指人们在从事数学活动时所必需的各种能力的综合，而其中的数学思维能力则是数学能力的核心。因此，对数学思维的探究，是我们数学教学研究的核心；《高等数学》作为一门基础课程，培养学生的数学思维能力，是我们教学的首要任务。
二、在教学中培养学生的数学思维能力
数学的思维能力很多，我们在教学的过程中很难面面俱到，但以下几种是最基本的，也是最主要的，所以在我们的教学中应对学生多加引导，加强他们这些能力的培养，使得他们更有益学习、生活。
1.抽象概括能力。数学抽象概括能力是数学思维能力，也是数学能力的核心。它具体表现为：发现在普遍现象中存在着差异的能力、在各类现象间建立联系的能力、分离出问题的核心和实质的能力、由特殊到一般的能力、从非本质的细节中使自己摆脱出来的能力、把本质的与非本质的东西区分开来的能力、善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面。在《高等数学》教学中应从以下三个方面培养学生的抽象概括能力：
（1）在教学中着重进行“分析”和“综合”意识的培养，引导学生把数学材料中反映的数与形、数与数、数与事物之间的关系从具体的材料中抽象出来，概括为特定的一般关系和结构。比如在“定积分的概念”的教学中，可以通过和学生一起学习“曲边梯形的面积”和“变速直线运动的路径”的求法，仔细分析结果的形式，通过对比，引导学生发现两个问题的共性，研究算法，得到结论，再抛开两个问题的具体意义，抓住它们算法上的共同的本质与特性，加以概括，最终抽象出定积分的定义，这是一次非常有效的抽象概括能力培养的训练。
（2）在数学问题的求解教学中要注意培养学生从本质看问题，对于复杂的事物、现象，有意识地区分主要因素与次要因素、本质现象与表面现象，从而抓住本质解决问题。比如在
“求复合函数导数”的常见问题中，明确把握两个问题：自己面对的究竟是有幂、指、对、三角、反三角构成的复合函数还是由常、幂、指、对、三角、反三角通过复合或四则运算构成的初等函数，简言之就是用公式还是用法则，通过简单分辨就可以复杂问题简单化、分解化。
（3）要培养学生的概括能力，形成遇到一类新的问题时，经常把这种问题类同化，找到其问题的本质，总结概括出来解决。比如在导数的运用中的最值求法中，多级多类的最值问题，要引领学生善于概括总结，找到它们的共性，找出目标函数，返归函数最值求法。
2.推理能力。数学运算、证明以及数学发现活动都离不开推理，数学的知识体系实质上就是用逻辑推理的方法构成的命题系统，可见，推理与数学关系密切。因此，在教学中我们应注重推理能力的培养。逻辑推理在数学中是普遍存在的，除逻辑推理能力以外，还可兼顾直觉推理能力的培养，因为直觉推理使数学思维具有灵活性、敏捷性和创造性，使人们去猜想。教学中如何培养学生的推理能力呢？我认为重要的是要注意推理过程的教学，一开始就要逐步养成推理过程“步步有根据”，严密的推理，先让学生在模仿的基础上进行一些简单问题的推理，在熟练的基础上再逐步训练学生简缩推理，有意识地促使学生形成解题的思路和习惯。比如我们在“函数连续性”章节的教学中，怎样分步骤的讨论当自变量的改变量趋近于零时，函数改变量的变化趋势；对于初等函数和非初等函数讨论函数在某点连续性的异同；如何利用两种定义证明函数在某点的连续性等，这些都是非常好的推理能力训练。
3.选择、判断能力。选择、判断能力是数学创造能力的重要组成部分。选择、判断不仅表现为对数学推理的基础过程及结论正误的判定，还表现为对数学命题、事实、数学解题思路、方法合理性的估计以及在这个的估计的基础上作出的选择，判断能力实际上是思维者对思维过程的自我反馈能力。具有选择判断能力的学生，在判断选择中较少受表面非本质的因素的干扰，判断的准确率较高，判断迅速，对作出的判断具有清晰的认识。在教学中应从以下两个方面来培养学生的这种选择判断能力：
（1）我们知道：直觉判断、选择往往要经历获取信息、信息评价（判断）、策略选择几个环节，因此，教学中应首先注意信息的获取意识的培养，这是培养选择、判断能力的关键。
（2）在解题教学中我们应训练学生具有选择探求最佳解法的欲望，不仅提倡一题多解，而且还要判断几种解法谁最佳？好在何处？这一部分的训练和培养在导数部分和不定积分部分经常遇到，我们应在这部分教学的不动声色的加以引导。
4.数学应变能力。数学应变能力，或称数学机智，是指学生在新知识面前，思维较为活跃，能迅速地产生思维效应；在解决问题时，善于观察分析，抓住本质特征，迅速拟定策略，找出比较简捷的思路和方法。在教学中，许多学生听得轻松，同类型题会做，但改变形式，就素手无策，而有的学生却能轻松找到规律，快速作答，这正是数学应变能力强弱的具体反映。在教学中应从以下两方面入手培养学生的数学应变能力：
（1）在教学中，引导学生理解概念的实质，辨析新的概念间的区别和联系，认识知识结构变化的依据和特点，沟通知识间的联系。
（2）在解题教学中我们应训练学生注重掌握知识，特别是数学公式的活用、变用和逆用。
5.化归能力。化归能力是指在解决问题的过程中，有意识地对问题进行转化，变为已经解决或易于解决的问题；化归能力的培养意味着引导学生用联系、发展的、运动变化的眼光观察问题、认识问题。客观世界是充满矛盾的统一体，是具有普遍联系的；事物之间又是在一定条件下相互转化的；数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在着概念的亲缘关系，使用着相同的逻辑工具。数学内部的多种联系为问题的转化提供了条件，化归能力的培养为解决许多难以解决的问题找到了出路。比如：无限道有限的化归、数与形的互化、曲线到直线的化归，空间到平面的化归等等。教学中如何培养学生的化归能力呢？个人认为要让学生意识到，事物是相互联系的，解决问题的途径不是单一的，提醒他们自觉地建立联想，调整思维方向，积极调动记忆中存储的信息解决问题。在微分的几何意义的教学中，我们可以通过图示和学生一起感受曲化直；在定积分的概念章节中，梯形或长方形与曲边梯形间的转化也是很好的印证。
6、数学探索和创新能力。美国心理学家布鲁纳曾指出：“探索是数学的生命线。”勇于探索的精神是创造性思维的前提，可以说：没有探索，就没有创造。数学探索能力是在抽象概括能力、推理能力、选择判断能力、应变能力、化归能力的基础上发展起来的创造性思维能力，探索的过程实质上就是一个不断提出设想、验证设想、修正和发展设想的过程。在数学中，它表现在提出数学问题、探求数学结论、探索解题途径、寻找解题规律等一系列有意义的发现活动之中，而数学探索能力就集中地表现为提出设想和进行转换的本领。在扎实的基础和不断探索的前提下，也就有了创新的可能。可以从以下方面在教学中培养创新能力：
（1）兴趣是最好的导师。积极调动学生的学习兴趣，使学生能够主动地探索学习。
（2）善于引导，引导学生思考，做学生探索学习的领路人。
（3）从具体的探索方法上给学生指导，介绍在探索过程中常见的分析、综合、一般化、特殊化、归纳、类比、联系、演绎等方法，重点介绍逻辑的探索方法--综合法和分析法。
（4）鼓励学生勇于探索，敢于创新，发表独立独到见解。
【关键词】高等数学；思维能力；培养
一、数学思维能力概述
能力是顺利完成某种活动所必须的并直接影响活动效率的个性心理特征。数学能力是指人们在从事数学活动时所必需的各种能力的综合，而其中的数学思维能力则是数学能力的核心。因此，对数学思维的探究，是我们数学教学研究的核心；《高等数学》作为一门基础课程，培养学生的数学思维能力，是我们教学的首要任务。
二、在教学中培养学生的数学思维能力
数学的思维能力很多，我们在教学的过程中很难面面俱到，但以下几种是最基本的，也是最主要的，所以在我们的教学中应对学生多加引导，加强他们这些能力的培养，使得他们更有益学习、生活。
1.抽象概括能力。数学抽象概括能力是数学思维能力，也是数学能力的核心。它具体表现为：发现在普遍现象中存在着差异的能力、在各类现象间建立联系的能力、分离出问题的核心和实质的能力、由特殊到一般的能力、从非本质的细节中使自己摆脱出来的能力、把本质的与非本质的东西区分开来的能力、善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面。在《高等数学》教学中应从以下三个方面培养学生的抽象概括能力：
（1）在教学中着重进行“分析”和“综合”意识的培养，引导学生把数学材料中反映的数与形、数与数、数与事物之间的关系从具体的材料中抽象出来，概括为特定的一般关系和结构。比如在“定积分的概念”的教学中，可以通过和学生一起学习“曲边梯形的面积”和“变速直线运动的路径”的求法，仔细分析结果的形式，通过对比，引导学生发现两个问题的共性，研究算法，得到结论，再抛开两个问题的具体意义，抓住它们算法上的共同的本质与特性，加以概括，最终抽象出定积分的定义，这是一次非常有效的抽象概括能力培养的训练。
（2）在数学问题的求解教学中要注意培养学生从本质看问题，对于复杂的事物、现象，有意识地区分主要因素与次要因素、本质现象与表面现象，从而抓住本质解决问题。比如在
“求复合函数导数”的常见问题中，明确把握两个问题：自己面对的究竟是有幂、指、对、三角、反三角构成的复合函数还是由常、幂、指、对、三角、反三角通过复合或四则运算构成的初等函数，简言之就是用公式还是用法则，通过简单分辨就可以复杂问题简单化、分解化。
（3）要培养学生的概括能力，形成遇到一类新的问题时，经常把这种问题类同化，找到其问题的本质，总结概括出来解决。比如在导数的运用中的最值求法中，多级多类的最值问题，要引领学生善于概括总结，找到它们的共性，找出目标函数，返归函数最值求法。
2.推理能力。数学运算、证明以及数学发现活动都离不开推理，数学的知识体系实质上就是用逻辑推理的方法构成的命题系统，可见，推理与数学关系密切。因此，在教学中我们应注重推理能力的培养。逻辑推理在数学中是普遍存在的，除逻辑推理能力以外，还可兼顾直觉推理能力的培养，因为直觉推理使数学思维具有灵活性、敏捷性和创造性，使人们去猜想。教学中如何培养学生的推理能力呢？我认为重要的是要注意推理过程的教学，一开始就要逐步养成推理过程“步步有根据”，严密的推理，先让学生在模仿的基础上进行一些简单问题的推理，在熟练的基础上再逐步训练学生简缩推理，有意识地促使学生形成解题的思路和习惯。比如我们在“函数连续性”章节的教学中，怎样分步骤的讨论当自变量的改变量趋近于零时，函数改变量的变化趋势；对于初等函数和非初等函数讨论函数在某点连续性的异同；如何利用两种定义证明函数在某点的连续性等，这些都是非常好的推理能力训练。
3.选择、判断能力。选择、判断能力是数学创造能力的重要组成部分。选择、判断不仅表现为对数学推理的基础过程及结论正误的判定，还表现为对数学命题、事实、数学解题思路、方法合理性的估计以及在这个的估计的基础上作出的选择，判断能力实际上是思维者对思维过程的自我反馈能力。具有选择判断能力的学生，在判断选择中较少受表面非本质的因素的干扰，判断的准确率较高，判断迅速，对作出的判断具有清晰的认识。在教学中应从以下两个方面来培养学生的这种选择判断能力：
（1）我们知道：直觉判断、选择往往要经历获取信息、信息评价（判断）、策略选择几个环节，因此，教学中应首先注意信息的获取意识的培养，这是培养选择、判断能力的关键。
（2）在解题教学中我们应训练学生具有选择探求最佳解法的欲望，不仅提倡一题多解，而且还要判断几种解法谁最佳？好在何处？这一部分的训练和培养在导数部分和不定积分部分经常遇到，我们应在这部分教学的不动声色的加以引导。
4.数学应变能力。数学应变能力，或称数学机智，是指学生在新知识面前，思维较为活跃，能迅速地产生思维效应；在解决问题时，善于观察分析，抓住本质特征，迅速拟定策略，找出比较简捷的思路和方法。在教学中，许多学生听得轻松，同类型题会做，但改变形式，就素手无策，而有的学生却能轻松找到规律，快速作答，这正是数学应变能力强弱的具体反映。在教学中应从以下两方面入手培养学生的数学应变能力：
（1）在教学中，引导学生理解概念的实质，辨析新的概念间的区别和联系，认识知识结构变化的依据和特点，沟通知识间的联系。
（2）在解题教学中我们应训练学生注重掌握知识，特别是数学公式的活用、变用和逆用。
5.化归能力。化归能力是指在解决问题的过程中，有意识地对问题进行转化，变为已经解决或易于解决的问题；化归能力的培养意味着引导学生用联系、发展的、运动变化的眼光观察问题、认识问题。客观世界是充满矛盾的统一体，是具有普遍联系的；事物之间又是在一定条件下相互转化的；数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在着概念的亲缘关系，使用着相同的逻辑工具。数学内部的多种联系为问题的转化提供了条件，化归能力的培养为解决许多难以解决的问题找到了出路。比如：无限道有限的化归、数与形的互化、曲线到直线的化归，空间到平面的化归等等。教学中如何培养学生的化归能力呢？个人认为要让学生意识到，事物是相互联系的，解决问题的途径不是单一的，提醒他们自觉地建立联想，调整思维方向，积极调动记忆中存储的信息解决问题。在微分的几何意义的教学中，我们可以通过图示和学生一起感受曲化直；在定积分的概念章节中，梯形或长方形与曲边梯形间的转化也是很好的印证。
6、数学探索和创新能力。美国心理学家布鲁纳曾指出：“探索是数学的生命线。”勇于探索的精神是创造性思维的前提，可以说：没有探索，就没有创造。数学探索能力是在抽象概括能力、推理能力、选择判断能力、应变能力、化归能力的基础上发展起来的创造性思维能力，探索的过程实质上就是一个不断提出设想、验证设想、修正和发展设想的过程。在数学中，它表现在提出数学问题、探求数学结论、探索解题途径、寻找解题规律等一系列有意义的发现活动之中，而数学探索能力就集中地表现为提出设想和进行转换的本领。在扎实的基础和不断探索的前提下，也就有了创新的可能。可以从以下方面在教学中培养创新能力：
（1）兴趣是最好的导师。积极调动学生的学习兴趣，使学生能够主动地探索学习。
（2）善于引导，引导学生思考，做学生探索学习的领路人。
（3）从具体的探索方法上给学生指导，介绍在探索过程中常见的分析、综合、一般化、特殊化、归纳、类比、联系、演绎等方法，重点介绍逻辑的探索方法--综合法和分析法。
（4）鼓励学生勇于探索，敢于创新，发表独立独到见解。