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培养學生的数学核心素养之一就是运算能力的培养。运算能力的培养不仅仅是学生会算，更重要的是要学生明理。有了算理的支撑才能准确地运用算法进行运算。就是我们平常所说的，知其然更知其所以然。对算理的理解一定要根据学生的年龄特点及思维特点选择合适的教具载体才能取到好的效果。下面以小学三年级下册除法竖式为例，谈谈自己的感想。
除法竖式算理的理解必须建立在学生动手平均分物品的活动中。让竖式每一步的意思与分物的过程紧密结合起来，所以学生动手平均分物的过程是整节课的重点也是难点。怎样的分物过程更利于学生的学习与算理的理解，是我们需要重点关注的地方。
教学片段一：
师：有48支铅笔，平均分给三个小朋友。每人分到多少只？你能用小棒分一分吗？
学生动手操作，用四捆加八根小棒，平均分成三份。
学生分小棒的过程有以下几种情况：
第一种：48根小棒全部拆开。先平均每份分两根小棒，再平均每份分两根，一直这样分下去，一共分了八次。最后每一份是16根小棒。
第二种：先每份分一捆，剩下一捆。再把这一捆拆开分成十根小棒和八根单独的小棒合起来，组成18根。每份再平均分六根小棒。最后每一份是16根。
第三种：先分八根单独的小棒，每份分两根，还剩两根。接着分整捆的，每份一捆，还剩一捆。然后将剩下的这一捆拆开成十根单独的小棒和刚才的八根合起来是18根，再将这18根平均每份分6根。最后每一份是一捆加6根也就是16根。
通过与三组学生对话了解到。第一种分法的同学认为，把成捆的小棒全部拆开变成一个个单根的小棒，慢慢分一定会得到答案的，而且思考起来很简单，就是有点浪费时间。
采用第二种分法的同学认为，先分整捆整捆的小棒，剩下的一捆和单独的八根小棒合在一起再分一次，一共分两次就可以了。这样更便捷一些。
采用第三种分法的同学说，看见这么多的小棒，习惯性地就先分数量少一点的，也就是单根单根的小棒。然后再分数量多的，也就是成捆的小棒。单根分了剩下的小棒和整捆分了剩下的小棒合起来再平均分一次，这样就分了三次。最后也平均每份分了16根，但是有点耽误时间。
三位同学最后都通过操作活动得到了答案。通过谈话我们了解到，采用方法一的同学始终有一个思维定式：因为一捆小棒是用十根单个的小棒用皮筋扎起来的，学生在操作的过程当中看见一捆小棒不能直接想到“一个十”，而是想成若干个的“一”，总想着先全部拆开，变成一个个的 “一”再来慢慢地平均分。这样的思维是低层次的思维。如果遇到一个成百上千上万的数字，这个方法就非常的有局限性。第二种方法是从高位开始平均分，分了两次就得到了结果。第三种方法是从低位开始平均分，分了三次才得到结果。通过对比，学生一致认为第二种方法更方便。
对于采用第一种方法的同学，如何让他们有整体的“一个十”的概念，我们在另一个班教学时进行了一些调整。
教学片段二：
师：48元钱买了三个一样的文具盒，每个文具盒多少元？你能用人民币学具动手分一分吗？
学生拿出信封里的人民币学具（4张十元和18张一元）动手操作。
学生都能够通过平均分人民币的过程得到最后的答案，但也发现了问题：由于人民币是一张张长方形的纸片，可以多张重叠在一起。学生在分人民币的过程中，常常几张人民币摞在一起，有时会数错人民币的张数。桌子上到处都摆放着人民币，最后分的结果不能一眼就看清楚，不便于观察，计数。
这次平均分的物品是学具人民币。一张十元的能独立表示整十的概念。但在第一次分完三张十元的人民币后，剩下的一张十元的人民币需要换成十张一元的人民币，再和8张一元的人民币组成18张一元的人民币。很多张一元的人民币堆放在一起。给学生的操作带来了不必要的麻烦，影响了学生的思考。所以在课堂上就会出现分的过程很热闹，用竖式计算的过程和平均分的过程没有结合起来的现象，也就是算理没有弄明白。原因就是人民币这个操作材料有点凌乱，影响了学生抽象算理的思维过程。
教学片段三：
什么样的操作材料才有利于学生理解除法竖式的算理呢？在一次偶然的机会中发现，有老师在用迪纳斯方块进行数的认识的教学。一个小的正方体是“一”，十个小正方体连在一起（不能分开）是一列，表示一个“十”。十个一列拼在一起组成一个 “面”表示一个百。十个 “面”拼在一起组成了一个大的正方体，表示一个 “千”。看到这些迪纳斯方块我一下子就有了灵感。这不是孩子们熟悉的积木吗？不仅便于操作，而且非常利于学生观察，计数。于是将学具改为迪纳斯方块进行了第三次教学。
师：有48本故事书，平均分给三个小朋友，每个小朋友分到多少本？你能用方块儿分一分吗？
只见学生拿出48个小方块（4个一列的和8个单独的）开始平均分在三个子盘里。由于一列方块连在一起是一个整体，学生根据他的生活经验，先平均每个盘子里放一列，还剩下一列和八个小方块。（一列一列的小方块是连在一起无法拆分的，使学生直接联想到一个“十”，不像小棒是用皮筋扎起来，容易误导学生联想到十个“一”。）这时必须将一列方块换成十个单独的小正方体和另外的八个小正方体合起来继续分。这样平均分的过程与除法竖式就自然地结合在一起了，让学生理解分的每一步都可以在算式中呈现出来。学生明白了算理，小学数学核心素养之一的运算能力也得到了发展。这次老师特意准备了三个纸盘，目的是让学生每次分的方块都放在纸盘中，纸盘中的方块摆放整齐有序，最后计数时清清楚楚一目了然（就算是一点点的改变，都要有利于学生学习习惯，思维能力的培养）。在迪达斯方块的使用过程中，也培养了学生的几何直观及空间想象的能力。
选择一个好的操作载体，能给抽象的算理提供一个直观的形象支撑。在教学中要循序渐进，慢慢建构，这样才能有效沟通算理与算法，发展运算能力。
（四川省成都市成华小学校）
除法竖式算理的理解必须建立在学生动手平均分物品的活动中。让竖式每一步的意思与分物的过程紧密结合起来，所以学生动手平均分物的过程是整节课的重点也是难点。怎样的分物过程更利于学生的学习与算理的理解，是我们需要重点关注的地方。
教学片段一：
师：有48支铅笔，平均分给三个小朋友。每人分到多少只？你能用小棒分一分吗？
学生动手操作，用四捆加八根小棒，平均分成三份。
学生分小棒的过程有以下几种情况：
第一种：48根小棒全部拆开。先平均每份分两根小棒，再平均每份分两根，一直这样分下去，一共分了八次。最后每一份是16根小棒。
第二种：先每份分一捆，剩下一捆。再把这一捆拆开分成十根小棒和八根单独的小棒合起来，组成18根。每份再平均分六根小棒。最后每一份是16根。
第三种：先分八根单独的小棒，每份分两根，还剩两根。接着分整捆的，每份一捆，还剩一捆。然后将剩下的这一捆拆开成十根单独的小棒和刚才的八根合起来是18根，再将这18根平均每份分6根。最后每一份是一捆加6根也就是16根。
通过与三组学生对话了解到。第一种分法的同学认为，把成捆的小棒全部拆开变成一个个单根的小棒，慢慢分一定会得到答案的，而且思考起来很简单，就是有点浪费时间。
采用第二种分法的同学认为，先分整捆整捆的小棒，剩下的一捆和单独的八根小棒合在一起再分一次，一共分两次就可以了。这样更便捷一些。
采用第三种分法的同学说，看见这么多的小棒，习惯性地就先分数量少一点的，也就是单根单根的小棒。然后再分数量多的，也就是成捆的小棒。单根分了剩下的小棒和整捆分了剩下的小棒合起来再平均分一次，这样就分了三次。最后也平均每份分了16根，但是有点耽误时间。
三位同学最后都通过操作活动得到了答案。通过谈话我们了解到，采用方法一的同学始终有一个思维定式：因为一捆小棒是用十根单个的小棒用皮筋扎起来的，学生在操作的过程当中看见一捆小棒不能直接想到“一个十”，而是想成若干个的“一”，总想着先全部拆开，变成一个个的 “一”再来慢慢地平均分。这样的思维是低层次的思维。如果遇到一个成百上千上万的数字，这个方法就非常的有局限性。第二种方法是从高位开始平均分，分了两次就得到了结果。第三种方法是从低位开始平均分，分了三次才得到结果。通过对比，学生一致认为第二种方法更方便。
对于采用第一种方法的同学，如何让他们有整体的“一个十”的概念，我们在另一个班教学时进行了一些调整。
教学片段二：
师：48元钱买了三个一样的文具盒，每个文具盒多少元？你能用人民币学具动手分一分吗？
学生拿出信封里的人民币学具（4张十元和18张一元）动手操作。
学生都能够通过平均分人民币的过程得到最后的答案，但也发现了问题：由于人民币是一张张长方形的纸片，可以多张重叠在一起。学生在分人民币的过程中，常常几张人民币摞在一起，有时会数错人民币的张数。桌子上到处都摆放着人民币，最后分的结果不能一眼就看清楚，不便于观察，计数。
这次平均分的物品是学具人民币。一张十元的能独立表示整十的概念。但在第一次分完三张十元的人民币后，剩下的一张十元的人民币需要换成十张一元的人民币，再和8张一元的人民币组成18张一元的人民币。很多张一元的人民币堆放在一起。给学生的操作带来了不必要的麻烦，影响了学生的思考。所以在课堂上就会出现分的过程很热闹，用竖式计算的过程和平均分的过程没有结合起来的现象，也就是算理没有弄明白。原因就是人民币这个操作材料有点凌乱，影响了学生抽象算理的思维过程。
教学片段三：
什么样的操作材料才有利于学生理解除法竖式的算理呢？在一次偶然的机会中发现，有老师在用迪纳斯方块进行数的认识的教学。一个小的正方体是“一”，十个小正方体连在一起（不能分开）是一列，表示一个“十”。十个一列拼在一起组成一个 “面”表示一个百。十个 “面”拼在一起组成了一个大的正方体，表示一个 “千”。看到这些迪纳斯方块我一下子就有了灵感。这不是孩子们熟悉的积木吗？不仅便于操作，而且非常利于学生观察，计数。于是将学具改为迪纳斯方块进行了第三次教学。
师：有48本故事书，平均分给三个小朋友，每个小朋友分到多少本？你能用方块儿分一分吗？
只见学生拿出48个小方块（4个一列的和8个单独的）开始平均分在三个子盘里。由于一列方块连在一起是一个整体，学生根据他的生活经验，先平均每个盘子里放一列，还剩下一列和八个小方块。（一列一列的小方块是连在一起无法拆分的，使学生直接联想到一个“十”，不像小棒是用皮筋扎起来，容易误导学生联想到十个“一”。）这时必须将一列方块换成十个单独的小正方体和另外的八个小正方体合起来继续分。这样平均分的过程与除法竖式就自然地结合在一起了，让学生理解分的每一步都可以在算式中呈现出来。学生明白了算理，小学数学核心素养之一的运算能力也得到了发展。这次老师特意准备了三个纸盘，目的是让学生每次分的方块都放在纸盘中，纸盘中的方块摆放整齐有序，最后计数时清清楚楚一目了然（就算是一点点的改变，都要有利于学生学习习惯，思维能力的培养）。在迪达斯方块的使用过程中，也培养了学生的几何直观及空间想象的能力。
选择一个好的操作载体，能给抽象的算理提供一个直观的形象支撑。在教学中要循序渐进，慢慢建构，这样才能有效沟通算理与算法，发展运算能力。
（四川省成都市成华小学校）