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【关键词】小学数学;方与圆;深度学习;深度思考;深刻理解
【背景】
教学这节课之前，学生已经掌握了圆、长方体、正方体以及百分数的相关知识，并能综合应用相关知识解决一些实际问题。圆的面积以及与圆有关的组合图形面积的练习灵活多变、计算烦琐，学生解题易错。笔者认为，教师对于方与圆的教学不能囿于课本、浅尝辄止，而应依据方与圆的组合中蕴含的数学思想方法与数学规律，设计相应的学习内容，让知识的本质活起来，让学生的思维动起来，从而使学生真正实现深度学习。因此，笔者将方与圆这两个有着密切联系的内容整合设计成一节课——《神奇的方与圆》，引导学生由浅入深、由易到难、由薄到厚，循序渐进地进行探究，寻求方与圆之间“你中有我”“我中有你”的神秘关系，发现并找出规律。同时，将数学知识延伸至生活，将“生活中的数学”引入课堂，充分利用学习资源促进学生深度学习，激发学生的学习潜能，将知识生活化，让数学思维化。
【教学过程及分析】
一、谈话引入，提出问题
师（出示北京天坛照片）：这是老师假期出去旅游时拍摄的照片，知道是哪里吗？（北京天坛）建筑师们在设计此建筑时考虑到哪些几何元素？（方形、圆形……）（出示天坛的俯视图）看到这张图，你想到了什么？（没有规矩不成方圆、外方内圆、天圆地方……）你能和大家说说天圆地方是什么意思吗？老师给大家带来了几张图片，如果用数学的眼光来观察，你看到了什么？
生：圆和正方形组合在一起，外圆内方，外方内圆……
师：这节课，我们就一起走进方与圆的世界，共同探究方圆之间的奥秘。
学生在欣赏北京天坛照片的过程中，感悟到中国自古以来就有“天圆地方”之说。在欣赏中国古代建筑中经典造型图案时，激起了学生探索方圆之间奥秘的欲望。
二、自主探究，发现规律
1. 初步探究，发现规律。
（1）观察发现问题
师（出示几个具有正方形内接圆特征的图形）：这些图形有什么共同特征？
生1：这些图形都是由一个正方形和一个圆组成的。
生2：正方形里都有一个圆，都是正方形内最大的圆。
师：观察得真仔细！是的，正方形内都有一个最大的圆。如果给出正方形的面积，你能求出正方形内最大圆的面积吗？
（2）探究解决问题（出示研究单1，如图1）
学生独立探究后汇报展示：
第一题：方法一是直接算出圆的半径r 再求圆的面积;方法二是通过做辅助线，直观看到这个正方形面积的四分之一就是r2，知道r2 就能求出圆的面积。
第二题：用40÷4把正方形的面积40cm2平均分成4 份，求出一个小正方形的面积是10cm2，一个小正方形的面积是r2即r2=10，从而算出圆的面积是10πcm2。
师：对比这三道题，第一题可以先直接求出r，也可以先直接求出r2，再计算圆的面积。后两题能直接求出r 吗？（不能）后两题借助辅助线，可直接求出r2，再求出圆的面积。大家都很聪明，能根据具体问题，采用灵活变通的方法解决问题。
（3）探究发现规律师：观察比较表格中的数据，你发现了什
么？（展示学习单并汇报）
生1：我发现正方形的面积与圆的面积之比是4∶π。
生2：圆的面积∶正方形的面积=π∶4。
生3：圆的面积是正方形面积的π4，我是用分数来表示的。
师：非常好！还有不同的表示方法吗？
生4：正方形的面积除以圆的面积等于π4，正方形的面积是圆的面积的78.5%。
师：如果我们统一用圆的面积比正方形的面积等于π∶4，它的比值就是——（π4），比值化成小数是多少？（0.785 ）（ 板书：S圆∶S正= π∶4=0.785）
例题的设计由易到难，层次分明。正方形的面积由36到40再到a，解题的难度逐步加大，学生发现正方形的面积是36时，可以求出r，也可以求出r?，但当正方形面积为40或a时，学生利用现有知识不能直接求出r，只能通过添加辅助线另辟蹊径求出r2，再求出圆的面积，呈现出灵活多样的解题思路。学生亲历操作、观察、比较和归纳等活动过程，发现了方中圆两者之间的奥秘。
2. 深入探究，内化规律
师：我们已经探究出，在正方形内画一个最大的圆，圆的面积与正方形的面积之间的关系。如果在正方形内画四个尽可能大的等圆呢？（出示研究单2，如图2）
学生独立探究后汇报：有的学生将正方形的边长设为8cm，有的学生直接把圆的半径设为r，都推出四个等圆的面积之和∶正方形的面积=π∶4;有的学生把正方形的边长设为2cm，得出四个等圆的面积之和是正方形面积的π4;还有的学生把大正方形平均分成四个小正方形，由前面推出的在一个正方形里画一个最大的圆，圆的面积与正方形的面积的比是π∶4，推出在四个小正方形中，相应的圆与小正方形的面积之比是π∶4，从而类推出四个等圆的面积之和∶正方形的面积=4π∶16=π∶4。
师：我们通过多种方法证明了四个等圆的面积之和与正方形的面积之间的关系。其实，直接利用前面得出的结论就可以推理得到。一个小圆的面积是小正方形面积的π4，大正方形内四个等圆的面积之和就是这个大正方形面积的π4。猜想一下，你还能想到什么？
生1：8个圆。
生2：8个不行，必须是平方数，如3?=9、4?=16……36个、100个、10000个……
师：到現在为止，能用一句话来概括你们的发现吗？
生1：图形中圆的面积之和与正方形的面积之比是π∶4。
生2：每个图中圆的面积之和都是正方形面积的78.5%。
生3：圆的面积之和∶正方形的面积=π∶4=0.785。 此环节从正方形内切一个圆延伸到正方形内切四个圆，学生再次探究发现四个圆的面积之和∶正方形的面积=π∶4，此时学生展开想象的翅膀，正方形内切9 个圆、16 个圆、25 个圆、100 个圆、10000 个圆…… 同样存在这样的关系——圆的面积之和∶正方形的面积=π∶4。探究内容从一般到特殊、由易到难、由少到多，学生积极主动地投入“大胆猜想—验证数据—总结规律”的探究中，思维的大门逐步打开，促成了数学思考，提升了数学素养。
三、巧妙整合，融会贯通
1. 巧妙对比，拓展规律。
师：研究了正方形内切等圆的面积与正方形的面积之间的关系，你们还想探究什么？
生：圆内画最大的正方形。
师：如果给出这些正方形的面积，你能求出相应的外接圆的面积吗？（出示研究单3，如图3）
学生独立探究后汇报：针对第一个圆内接正方形，有的学生通过画对角线，由正方形的面积=对角线×对角线÷2推出圆的直径;有的学生通过画对角线把正方形平均分成四个小等腰直角三角形，得出14正方形的面积=r2÷2，进而求出r2;有的学生通过画对角线把正方形平均分成两个三角形，三角形的面积=底×高÷2，三角形的高=r，三角形的底=d=2r，从而算出三角形面积=2r×r÷2=r2，由正方形内有两个三角形推出r2=9。尽管方法不同，但大家都推出圆的面积是9πcm2。
在学生探究出方中圆两者间关系的基础上，顺应学生的思维接着探究圆中方两者之间的关系，学生亲历从正、反两个方向思考探究的过程，培养了从多角度思考问题的意识，同时培养了逆向思维能力。
皮亚杰认为，随着学习者学习的知识越来越多，应引导他们认清所学知识之间的联系，主动构建认知图式。因此，教师顺应学生的思维发展，在探究方与圆两者间关系的基础上，让学生大胆想象把上面两次研究的图形组合在一起是怎样的图形，并引导学生探究三者之间的关系，让单一知识聚合成结构化、系统化的知识整体。
圆柱体的体积还没有学习，但随着教师的追问，学生展开想象的翅膀，借助已有长（正）方体的相关知识和课中得出的规律推理出：正方体内切1个、4个、9个……更多個最大的圆柱体，圆柱体积∶长（正）方体体积=0.785;反之，圆柱体里内接最大长（正）方体，圆柱体积∶长（正）方体体积=1.57。从面到体，从二维到三维，学习由浅入深，学生的思维得到了跨越式提升。
四、应用规律，升华延伸
师：生活中也有一些神奇的数字，谁来说说？
生：0.618。
师：这是大自然的杰作——黄金分割点，美丽的蒙娜丽莎、东方明珠中都有黄金分割点，芭蕾舞演员踮起脚尖跳舞也是为了出现黄金分割点，给观众带来美的享受。在生活中，我们不能只看表面现象，还要透过表象看到蕴藏在其中的数学奥秘。
结合生活中一些神奇的数，如0.618，使学生感悟到数学来源于生活并应用于生活，体会数学的无穷魅力，激发学生热爱数学的情感。
上述案例，笔者主要从以下两方面进行教学：一是精心选用素材，挖掘教育价值。三组学习素材（方中圆、圆中方和平面到立体）新颖且顺应学生的思维特征。整个探究过程由简到繁、由易到难、由少到多、由面到体，学生经历了由薄到厚积累知识的过程，这符合学生的认知规律和思维发展顺序，促进了他们思维的提升和进阶。二是倡导深度教学，培育核心素养。这节课并不满足于学生会求“方中圆”和“圆中方”的面积，通过“方中圆”和“圆中方”的相应图形的面积表象进一步研究深层次的问题，巧妙整合进而拓展到三者、四者之间的关系，学生的探究逐步深入，思维的火花在不断碰撞中自然迸发，学生自然步入深度学习、深度思考、深刻理解。
【背景】
教学这节课之前，学生已经掌握了圆、长方体、正方体以及百分数的相关知识，并能综合应用相关知识解决一些实际问题。圆的面积以及与圆有关的组合图形面积的练习灵活多变、计算烦琐，学生解题易错。笔者认为，教师对于方与圆的教学不能囿于课本、浅尝辄止，而应依据方与圆的组合中蕴含的数学思想方法与数学规律，设计相应的学习内容，让知识的本质活起来，让学生的思维动起来，从而使学生真正实现深度学习。因此，笔者将方与圆这两个有着密切联系的内容整合设计成一节课——《神奇的方与圆》，引导学生由浅入深、由易到难、由薄到厚，循序渐进地进行探究，寻求方与圆之间“你中有我”“我中有你”的神秘关系，发现并找出规律。同时，将数学知识延伸至生活，将“生活中的数学”引入课堂，充分利用学习资源促进学生深度学习，激发学生的学习潜能，将知识生活化，让数学思维化。
【教学过程及分析】
一、谈话引入，提出问题
师（出示北京天坛照片）：这是老师假期出去旅游时拍摄的照片，知道是哪里吗？（北京天坛）建筑师们在设计此建筑时考虑到哪些几何元素？（方形、圆形……）（出示天坛的俯视图）看到这张图，你想到了什么？（没有规矩不成方圆、外方内圆、天圆地方……）你能和大家说说天圆地方是什么意思吗？老师给大家带来了几张图片，如果用数学的眼光来观察，你看到了什么？
生：圆和正方形组合在一起，外圆内方，外方内圆……
师：这节课，我们就一起走进方与圆的世界，共同探究方圆之间的奥秘。
学生在欣赏北京天坛照片的过程中，感悟到中国自古以来就有“天圆地方”之说。在欣赏中国古代建筑中经典造型图案时，激起了学生探索方圆之间奥秘的欲望。
二、自主探究，发现规律
1. 初步探究，发现规律。
（1）观察发现问题
师（出示几个具有正方形内接圆特征的图形）：这些图形有什么共同特征？
生1：这些图形都是由一个正方形和一个圆组成的。
生2：正方形里都有一个圆，都是正方形内最大的圆。
师：观察得真仔细！是的，正方形内都有一个最大的圆。如果给出正方形的面积，你能求出正方形内最大圆的面积吗？
（2）探究解决问题（出示研究单1，如图1）
学生独立探究后汇报展示：
第一题：方法一是直接算出圆的半径r 再求圆的面积;方法二是通过做辅助线，直观看到这个正方形面积的四分之一就是r2，知道r2 就能求出圆的面积。
第二题：用40÷4把正方形的面积40cm2平均分成4 份，求出一个小正方形的面积是10cm2，一个小正方形的面积是r2即r2=10，从而算出圆的面积是10πcm2。
师：对比这三道题，第一题可以先直接求出r，也可以先直接求出r2，再计算圆的面积。后两题能直接求出r 吗？（不能）后两题借助辅助线，可直接求出r2，再求出圆的面积。大家都很聪明，能根据具体问题，采用灵活变通的方法解决问题。
（3）探究发现规律师：观察比较表格中的数据，你发现了什
么？（展示学习单并汇报）
生1：我发现正方形的面积与圆的面积之比是4∶π。
生2：圆的面积∶正方形的面积=π∶4。
生3：圆的面积是正方形面积的π4，我是用分数来表示的。
师：非常好！还有不同的表示方法吗？
生4：正方形的面积除以圆的面积等于π4，正方形的面积是圆的面积的78.5%。
师：如果我们统一用圆的面积比正方形的面积等于π∶4，它的比值就是——（π4），比值化成小数是多少？（0.785 ）（ 板书：S圆∶S正= π∶4=0.785）
例题的设计由易到难，层次分明。正方形的面积由36到40再到a，解题的难度逐步加大，学生发现正方形的面积是36时，可以求出r，也可以求出r?，但当正方形面积为40或a时，学生利用现有知识不能直接求出r，只能通过添加辅助线另辟蹊径求出r2，再求出圆的面积，呈现出灵活多样的解题思路。学生亲历操作、观察、比较和归纳等活动过程，发现了方中圆两者之间的奥秘。
2. 深入探究，内化规律
师：我们已经探究出，在正方形内画一个最大的圆，圆的面积与正方形的面积之间的关系。如果在正方形内画四个尽可能大的等圆呢？（出示研究单2，如图2）
学生独立探究后汇报：有的学生将正方形的边长设为8cm，有的学生直接把圆的半径设为r，都推出四个等圆的面积之和∶正方形的面积=π∶4;有的学生把正方形的边长设为2cm，得出四个等圆的面积之和是正方形面积的π4;还有的学生把大正方形平均分成四个小正方形，由前面推出的在一个正方形里画一个最大的圆，圆的面积与正方形的面积的比是π∶4，推出在四个小正方形中，相应的圆与小正方形的面积之比是π∶4，从而类推出四个等圆的面积之和∶正方形的面积=4π∶16=π∶4。
师：我们通过多种方法证明了四个等圆的面积之和与正方形的面积之间的关系。其实，直接利用前面得出的结论就可以推理得到。一个小圆的面积是小正方形面积的π4，大正方形内四个等圆的面积之和就是这个大正方形面积的π4。猜想一下，你还能想到什么？
生1：8个圆。
生2：8个不行，必须是平方数，如3?=9、4?=16……36个、100个、10000个……
师：到現在为止，能用一句话来概括你们的发现吗？
生1：图形中圆的面积之和与正方形的面积之比是π∶4。
生2：每个图中圆的面积之和都是正方形面积的78.5%。
生3：圆的面积之和∶正方形的面积=π∶4=0.785。 此环节从正方形内切一个圆延伸到正方形内切四个圆，学生再次探究发现四个圆的面积之和∶正方形的面积=π∶4，此时学生展开想象的翅膀，正方形内切9 个圆、16 个圆、25 个圆、100 个圆、10000 个圆…… 同样存在这样的关系——圆的面积之和∶正方形的面积=π∶4。探究内容从一般到特殊、由易到难、由少到多，学生积极主动地投入“大胆猜想—验证数据—总结规律”的探究中，思维的大门逐步打开，促成了数学思考，提升了数学素养。
三、巧妙整合，融会贯通
1. 巧妙对比，拓展规律。
师：研究了正方形内切等圆的面积与正方形的面积之间的关系，你们还想探究什么？
生：圆内画最大的正方形。
师：如果给出这些正方形的面积，你能求出相应的外接圆的面积吗？（出示研究单3，如图3）
学生独立探究后汇报：针对第一个圆内接正方形，有的学生通过画对角线，由正方形的面积=对角线×对角线÷2推出圆的直径;有的学生通过画对角线把正方形平均分成四个小等腰直角三角形，得出14正方形的面积=r2÷2，进而求出r2;有的学生通过画对角线把正方形平均分成两个三角形，三角形的面积=底×高÷2，三角形的高=r，三角形的底=d=2r，从而算出三角形面积=2r×r÷2=r2，由正方形内有两个三角形推出r2=9。尽管方法不同，但大家都推出圆的面积是9πcm2。
在学生探究出方中圆两者间关系的基础上，顺应学生的思维接着探究圆中方两者之间的关系，学生亲历从正、反两个方向思考探究的过程，培养了从多角度思考问题的意识，同时培养了逆向思维能力。
皮亚杰认为，随着学习者学习的知识越来越多，应引导他们认清所学知识之间的联系，主动构建认知图式。因此，教师顺应学生的思维发展，在探究方与圆两者间关系的基础上，让学生大胆想象把上面两次研究的图形组合在一起是怎样的图形，并引导学生探究三者之间的关系，让单一知识聚合成结构化、系统化的知识整体。
圆柱体的体积还没有学习，但随着教师的追问，学生展开想象的翅膀，借助已有长（正）方体的相关知识和课中得出的规律推理出：正方体内切1个、4个、9个……更多個最大的圆柱体，圆柱体积∶长（正）方体体积=0.785;反之，圆柱体里内接最大长（正）方体，圆柱体积∶长（正）方体体积=1.57。从面到体，从二维到三维，学习由浅入深，学生的思维得到了跨越式提升。
四、应用规律，升华延伸
师：生活中也有一些神奇的数字，谁来说说？
生：0.618。
师：这是大自然的杰作——黄金分割点，美丽的蒙娜丽莎、东方明珠中都有黄金分割点，芭蕾舞演员踮起脚尖跳舞也是为了出现黄金分割点，给观众带来美的享受。在生活中，我们不能只看表面现象，还要透过表象看到蕴藏在其中的数学奥秘。
结合生活中一些神奇的数，如0.618，使学生感悟到数学来源于生活并应用于生活，体会数学的无穷魅力，激发学生热爱数学的情感。
上述案例，笔者主要从以下两方面进行教学：一是精心选用素材，挖掘教育价值。三组学习素材（方中圆、圆中方和平面到立体）新颖且顺应学生的思维特征。整个探究过程由简到繁、由易到难、由少到多、由面到体，学生经历了由薄到厚积累知识的过程，这符合学生的认知规律和思维发展顺序，促进了他们思维的提升和进阶。二是倡导深度教学，培育核心素养。这节课并不满足于学生会求“方中圆”和“圆中方”的面积，通过“方中圆”和“圆中方”的相应图形的面积表象进一步研究深层次的问题，巧妙整合进而拓展到三者、四者之间的关系，学生的探究逐步深入，思维的火花在不断碰撞中自然迸发，学生自然步入深度学习、深度思考、深刻理解。