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【摘要】直线的斜率是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了两点连线的斜率公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力．解决本题有几处至关重要。
【关键词】直线的斜率；数学问题；斜率公式
The straight line slope uses skillfully
Cen Cuijuan
【Abstract】The straight line slope is a very practical mathematics question, it not only examined two segment slope formulas, to ask the most value as well as to the triangle knowledge synthesis utilization with the inequality law, moreover examined more importantly transformed the actual problem as mathematics question ability. The solution main subject has several very important.
【Key words】Straight line slope; Mathematics question; Slope formula
直线的斜率是刻画直线的一个重要的量,求直线的斜率是直线部分的基本内容之一.直线的斜率是直线能较为直接求直线倾斜角、证明三点共线等，还可以解答某些数式的求值问题，主要通过把某些问题通过变形或换元，化成斜率公式的结构，然后巧用斜率的坐标公式，数形结合解决问题，会起到事半功倍之效，从而拓宽了解题思路。现枚举数例，供大家参考。
1 求函数的值域(或最值)
1.1 直线斜率在线性规划中的应用
例1：已知函数f(x)=13x3+12ax2+2bx+c，当x∈(0,1)时，函数f(x)取得极大值，
当x∈(1,2)时，函数f(x)取得极小值，求u=b-2a-1的取值范围.
解：f′(x)=x2+ax+2b，当x∈(0,1)时，函数f(x)取得极大值，当x∈(1,2)时，函数f(x)取得极小值
f′(0)>0f′(1)>0f′(2)>0 2b>01+a+2b<04+2a+2b>0
u=b-2a-1的几何意义是点A(a,b)与B(1,2)连线的斜率， （如图1）所∴14 1.2 直线斜率在解析几何中的应用
例2：如果实数x,y满足x=2+cosθy=2+2sinθ′，求m=yx的取值范围。
分析：利用y+0x+0的几何意义连结点(0,0)与动点(x,y)的直线斜率，借助数形结合，求最值的问题可转化为求斜率取值范围的问题，简化运算过程
解：m=yx=2+2sinθ2+cosθ，可看作是点A(-2,-1)与圆C曲线x2+y2=1上的点的斜率的范围的2倍，（如图2） ∴0≤m≤83
例3：已知点P是椭圆C：x28+y24=1上的动点，F1,F2分别是左右焦点，O为坐标原点，求｜｜PF1｜+｜PF2｜｜｜OP｜的取值范围.
解：设P(x,y)，则｜PF1｜=e(x+4),｜PF2｜=e(4-x),｜op｜=x2+y2
由此，｜｜PF1｜+｜PF2｜｜｜OP｜=2｜x｜x2+y2=21+(yx)2，yx可以看作点P(x,y)与原点O(0,0)连结的斜率得绝对值 ∴yx∈[0,+∞) 故21+(yx)2∈[0,2]
1.3 直线斜率在导数中的应用
例4：已知f(x)=ln1+2x+x，且0≤b 解：由f′(x)=221+2x1+2x +1=11+2x+1
因为当x>-12时，有f(x)>0恒成立，故f(x)在[0,1]上为递增函数
又∵[0,1](-12,+∞) ∴f(x)在[0,1]上为增函数
求f(a)-f(b)a-b的范围可看作点A(a,f(a))与B(b,f(b))的斜率得取值范围，故当b=0，a=1时，kAB有最小值为ln3+1>43；当a→0时，直线AB趋向于曲线f(x)的切线
∴f(a)-f(b)a-b<2 故43 2 比较大小、不等式的证明
例5：已知f(x)=log12x，设x=af(a)，y=bf(b)，z=cf(c)，其中0 分析：该题从特殊及常规方法都有不容易找到解题的捷径，经仔细分析，其结构具有
f(x)x=f(x)-0x-0的特点，由此联系到利用斜率进行求解.
解：数形结合，画出函数f(x)=log12x的图像（图3），显然直线OA，OB，OC的斜率为正数且依次增大，而分别是斜率kOA，kOB，kOC的倒数所以x>y>z
例6:已知｜a｜<1,｜bD<1,求证a+b1+ab<1
分析：本题我们可以分析不等式的左边结构形式，也会发现具有两点连线斜率公式的结构特征，联想到“形”， 将求证-1 证明：如图4设P(1,a),Q(-ab,-b)，则a+b1+ab表示P,Q
的连线的斜率;设A(-a,1),B(a,1),则Q点在线段AB上（不包括A、B）两点，由图可知kPB 3 求参数的取值范围
例7：若直线y＝(2a－1)x－2与线段AB有公共点，其中A(－2，3)，B(3，2)，求实数a的取值范围.
分析：方程y＝(2a－1)x－2表示斜率为2a－1，且过点M(0，－2)的直线，因此问题转化为求动直线与线段AB有公共点的斜率2a－1的范围，再利用数形结合可求得结果.
解：如图5所示，图中直线MA与MB为所求问题是的两条分界直线，由斜率公式得kMB＝2－(－2)3－0＝43，kMA＝3－(－2)－2－0＝－52，
∴2a－1≥43，或2a－1≤－52，即a≤－34，或a≥76.
∴a的取值范围是a≤－34或a≥76.
点评：转化的思想在数学解题中无处不在，解答本题的关键将问题转化为图形语言，将所求的问题与斜率联系起来，利用数形结合直观地得到，而本题要转化的前提条件是必须确定出直线过定点(0，－2)，视2a－1为斜率.在上面解易犯如下错误：斜率是取两条临界直线的斜率间的值，还是取之外的值.此问题可按下面规律处理：如果倾斜角可以取90 ，那么斜率取两边；如果倾斜角不可以取90 ，那么斜率取中间.
4 证明点共线问题
例8：已知A(2m,52)，B(4,-1)，C(-4,-m) 三点在同一条直线上，试确定常数m的值.
分析：有三点A，B，C在同一直线上，则直线AB的斜率与直线BC的斜率相等.
解：由于三点A，B，C所在直线不可能垂直于x轴，因此设直线AB，BC的斜率分别为kAB， kBC，由斜率公式，得kAB=52+12m-4=74m-8，kBC=-1+m4+4=m-18
∵ A，B，C再同一直线上 ∴kAB=kBC，
即m2-3m-12=0
∴m=3+572，或m=3-572
点评：两直线AB，BC的斜率相等，则A，B，C三点共线，反过来，若A，B，C三点共线，则AB，BC的斜率相等（斜率存在时）或都不存在。当然证明三点共线有多种方法：如利用｜AB｜＋｜BC｜＝｜AC｜(距离法)、利用定比分点坐标知识与直线方程法等.而证明已知坐标三点共线，利用斜率是一种较为简单的方法.
5 数列求和
例9：在等差数列{an}中，已知S3=S10=30，求Sn的最大值.
分析：由等差数列求和公式，用解方程法求Sn，固然可以，但能否将Sn转化为一次函数关系呢?
解：由Sn=An2+Bn得，Snn=An+B，
即Snn是关于n的一次函数，故点(3Sn3)，(10,S1010)与点(n,Snn)共线，从而有S1010-S3310-3=Snn-S33n-3，将S3=S10=30代入，得
Snn=-n+13，所以Snn=-n2+13n 故，当n=6或7时，(Sn)max=42
点评：本题关系是善于将Sn转化为Snn是n的一次函数，借用辅助的斜率求Sn。渗透了化归思想方法，培养创造性思维能力。
6 借助直线的斜率巧解应用题
例10、某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m，b m(a＞b)．问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边
缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0)，欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值．
由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acosα，asinα)、(bcosα，bsinα)，于是直线AC、BC的斜率分别为：
kAC=tanxCA=αsinααcosα-x，
kBC=tanxCB=bsinbcosα-x．
于是
tanACB=kBC-kAC1+kBC•kAC=(a-b)•xsinαab-(a+b)xcosα+x2
=(a-b)•sinαabx+x-(a+b)•cosα
由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤(a-b)•sinα2ab-(a+b)cosα，当且仅当abx=x，即x=ab时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C(ab,0)，因此，学生距离镜框下缘ab cm处时，视角最大，即看画效果最佳．
点评：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了两点连线的斜率公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力．解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值，从而转化为有关斜率的问题．
总之，直线斜率在解析几何中有着广泛的应用，随着所学知识的不断增多，将会逐渐得到体现，如判定两直线的位置关系，处理线性规划问题等.因此必须灵活掌握求直线斜率的各种方法和技巧.
【关键词】直线的斜率；数学问题；斜率公式
The straight line slope uses skillfully
Cen Cuijuan
【Abstract】The straight line slope is a very practical mathematics question, it not only examined two segment slope formulas, to ask the most value as well as to the triangle knowledge synthesis utilization with the inequality law, moreover examined more importantly transformed the actual problem as mathematics question ability. The solution main subject has several very important.
【Key words】Straight line slope; Mathematics question; Slope formula
直线的斜率是刻画直线的一个重要的量,求直线的斜率是直线部分的基本内容之一.直线的斜率是直线能较为直接求直线倾斜角、证明三点共线等，还可以解答某些数式的求值问题，主要通过把某些问题通过变形或换元，化成斜率公式的结构，然后巧用斜率的坐标公式，数形结合解决问题，会起到事半功倍之效，从而拓宽了解题思路。现枚举数例，供大家参考。
1 求函数的值域(或最值)
1.1 直线斜率在线性规划中的应用
例1：已知函数f(x)=13x3+12ax2+2bx+c，当x∈(0,1)时，函数f(x)取得极大值，
当x∈(1,2)时，函数f(x)取得极小值，求u=b-2a-1的取值范围.
解：f′(x)=x2+ax+2b，当x∈(0,1)时，函数f(x)取得极大值，当x∈(1,2)时，函数f(x)取得极小值
f′(0)>0f′(1)>0f′(2)>0 2b>01+a+2b<04+2a+2b>0
u=b-2a-1的几何意义是点A(a,b)与B(1,2)连线的斜率， （如图1）所∴14
例2：如果实数x,y满足x=2+cosθy=2+2sinθ′，求m=yx的取值范围。
分析：利用y+0x+0的几何意义连结点(0,0)与动点(x,y)的直线斜率，借助数形结合，求最值的问题可转化为求斜率取值范围的问题，简化运算过程
解：m=yx=2+2sinθ2+cosθ，可看作是点A(-2,-1)与圆C曲线x2+y2=1上的点的斜率的范围的2倍，（如图2） ∴0≤m≤83
例3：已知点P是椭圆C：x28+y24=1上的动点，F1,F2分别是左右焦点，O为坐标原点，求｜｜PF1｜+｜PF2｜｜｜OP｜的取值范围.
解：设P(x,y)，则｜PF1｜=e(x+4),｜PF2｜=e(4-x),｜op｜=x2+y2
由此，｜｜PF1｜+｜PF2｜｜｜OP｜=2｜x｜x2+y2=21+(yx)2，yx可以看作点P(x,y)与原点O(0,0)连结的斜率得绝对值 ∴yx∈[0,+∞) 故21+(yx)2∈[0,2]
1.3 直线斜率在导数中的应用
例4：已知f(x)=ln1+2x+x，且0≤b
因为当x>-12时，有f(x)>0恒成立，故f(x)在[0,1]上为递增函数
又∵[0,1](-12,+∞) ∴f(x)在[0,1]上为增函数
求f(a)-f(b)a-b的范围可看作点A(a,f(a))与B(b,f(b))的斜率得取值范围，故当b=0，a=1时，kAB有最小值为ln3+1>43；当a→0时，直线AB趋向于曲线f(x)的切线
∴f(a)-f(b)a-b<2 故43
例5：已知f(x)=log12x，设x=af(a)，y=bf(b)，z=cf(c)，其中0
f(x)x=f(x)-0x-0的特点，由此联系到利用斜率进行求解.
解：数形结合，画出函数f(x)=log12x的图像（图3），显然直线OA，OB，OC的斜率为正数且依次增大，而分别是斜率kOA，kOB，kOC的倒数所以x>y>z
例6:已知｜a｜<1,｜bD<1,求证a+b1+ab<1
分析：本题我们可以分析不等式的左边结构形式，也会发现具有两点连线斜率公式的结构特征，联想到“形”， 将求证-1
的连线的斜率;设A(-a,1),B(a,1),则Q点在线段AB上（不包括A、B）两点，由图可知kPB
例7：若直线y＝(2a－1)x－2与线段AB有公共点，其中A(－2，3)，B(3，2)，求实数a的取值范围.
分析：方程y＝(2a－1)x－2表示斜率为2a－1，且过点M(0，－2)的直线，因此问题转化为求动直线与线段AB有公共点的斜率2a－1的范围，再利用数形结合可求得结果.
解：如图5所示，图中直线MA与MB为所求问题是的两条分界直线，由斜率公式得kMB＝2－(－2)3－0＝43，kMA＝3－(－2)－2－0＝－52，
∴2a－1≥43，或2a－1≤－52，即a≤－34，或a≥76.
∴a的取值范围是a≤－34或a≥76.
点评：转化的思想在数学解题中无处不在，解答本题的关键将问题转化为图形语言，将所求的问题与斜率联系起来，利用数形结合直观地得到，而本题要转化的前提条件是必须确定出直线过定点(0，－2)，视2a－1为斜率.在上面解易犯如下错误：斜率是取两条临界直线的斜率间的值，还是取之外的值.此问题可按下面规律处理：如果倾斜角可以取90 ，那么斜率取两边；如果倾斜角不可以取90 ，那么斜率取中间.
4 证明点共线问题
例8：已知A(2m,52)，B(4,-1)，C(-4,-m) 三点在同一条直线上，试确定常数m的值.
分析：有三点A，B，C在同一直线上，则直线AB的斜率与直线BC的斜率相等.
解：由于三点A，B，C所在直线不可能垂直于x轴，因此设直线AB，BC的斜率分别为kAB， kBC，由斜率公式，得kAB=52+12m-4=74m-8，kBC=-1+m4+4=m-18
∵ A，B，C再同一直线上 ∴kAB=kBC，
即m2-3m-12=0
∴m=3+572，或m=3-572
点评：两直线AB，BC的斜率相等，则A，B，C三点共线，反过来，若A，B，C三点共线，则AB，BC的斜率相等（斜率存在时）或都不存在。当然证明三点共线有多种方法：如利用｜AB｜＋｜BC｜＝｜AC｜(距离法)、利用定比分点坐标知识与直线方程法等.而证明已知坐标三点共线，利用斜率是一种较为简单的方法.
5 数列求和
例9：在等差数列{an}中，已知S3=S10=30，求Sn的最大值.
分析：由等差数列求和公式，用解方程法求Sn，固然可以，但能否将Sn转化为一次函数关系呢?
解：由Sn=An2+Bn得，Snn=An+B，
即Snn是关于n的一次函数，故点(3Sn3)，(10,S1010)与点(n,Snn)共线，从而有S1010-S3310-3=Snn-S33n-3，将S3=S10=30代入，得
Snn=-n+13，所以Snn=-n2+13n 故，当n=6或7时，(Sn)max=42
点评：本题关系是善于将Sn转化为Snn是n的一次函数，借用辅助的斜率求Sn。渗透了化归思想方法，培养创造性思维能力。
6 借助直线的斜率巧解应用题
例10、某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m，b m(a＞b)．问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边
缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0)，欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值．
由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acosα，asinα)、(bcosα，bsinα)，于是直线AC、BC的斜率分别为：
kAC=tanxCA=αsinααcosα-x，
kBC=tanxCB=bsinbcosα-x．
于是
tanACB=kBC-kAC1+kBC•kAC=(a-b)•xsinαab-(a+b)xcosα+x2
=(a-b)•sinαabx+x-(a+b)•cosα
由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤(a-b)•sinα2ab-(a+b)cosα，当且仅当abx=x，即x=ab时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C(ab,0)，因此，学生距离镜框下缘ab cm处时，视角最大，即看画效果最佳．
点评：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了两点连线的斜率公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力．解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值，从而转化为有关斜率的问题．
总之，直线斜率在解析几何中有着广泛的应用，随着所学知识的不断增多，将会逐渐得到体现，如判定两直线的位置关系，处理线性规划问题等.因此必须灵活掌握求直线斜率的各种方法和技巧.