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摘要： 在Winkler模型中引入描述地基土剪切效应的第二地基参数，采用初参数法求解双参数地基模型中桩的水平振动微分方程，运用传递矩阵法得到层状地基中邻桩的动力相互作用因子。分析表明双参数地基模型的计算结果比Winkler模型的计算结果偏大，在低外载激振频率、小桩土弹模比、小桩间距和均质土的情况下差异更为明显。文中对影响动力相互作用因子的诸多因素（桩土弹模比、桩间距、桩间角、地基成层性、桩底边界条件、桩身长径比以及激振频率）进行了参数化分析。结果表明，桩间距和桩间角是影响邻桩相互作用因子最明显的参数，桩土弹模比对均质土的邻桩动力相互作用因子影响微小，而对层状土的邻桩动力相互作用因子影响较大。关键词： 土基础动力相互作用； 动力相互作用因子； 双参数地基； 传递矩阵法； 邻桩
中图分类号：TU473.1文献标识码： A文章编号： 10044523（2013）05073211
引言
桩基础因其具有较高的承载力是结构基础设计的主要形式，桩土动力相互作用是地震工程的重要研究内容。在实际工程中，桩通常以群的形式出现。这时，群桩中的单桩除了承受上部结构的荷载，还承受由邻桩通过场地波动而施加的沿轴向分布的附加荷载，由此产生了邻桩基础的动力相互作用效应。Wolf最早采用轴对称有限元法对桩土桩的动力相互作用进行了分析[1]。Kaynia使用边界积分法将Poulos提出的静力相互作用因子概念推广到与外荷载频率相关的桩土桩动力分析领域[2，3]。
求解邻桩动力相互作用因子的方法主要有连续介质模型，Winkler模型以及以有限元和边界元为代表的数值分析模型。其中Winkler模型则将桩比拟成弹性地基梁，将桩周土对桩的动阻抗用一系列独立的弹簧和阻尼器代替，用频域内的刚度系数和阻尼系数来模拟土对桩的动反力，其物理概念清晰且计算量小，给出的解与另外两种方法所得结果具有良好的一致性，因而得到广泛的应用。Novak使用Winkler模型研究了均匀介质中的水平荷载桩[4]，Dobry和Gazetas建立了忽略被动桩与土体间动力相互作用的Winkler模型[5] ，提出了计算群桩动力阻抗的简化方法。Gazetas及其合作者对上述方法进行了改进与完善[6～8]，进一步考虑了被动桩与土体之间的动力相互作用，并将均质地基推广到弹性模量随深度线性变化的地基。国内许多学者在Gazetas的基础上对Winkler模型中的桩土动力相互作用做了进一步的研究[9～11]。然而Winkler模型在理论上不够严密：为简化分析而忽略了土体变形的连续性。双参数地基模型就是在Winkler模型的基础上，将弹簧和阻尼器与一层只产生竖向剪切变形而不可压缩的纯剪单元相连，进而引入了第二地基参数。双参数地基模型考虑了地基土的抗剪能力，因此更符合实际。当双参数地基模型中纯剪切单元的剪切模量趋近于零时，则自动退化为Winkler模型。
目前，将双参数地基理论用于桩基础的分析尚不多见，对振动荷载作用下双参数地基模型中桩土的动力相互作用研究还不深入。张望喜推导了层状地基中双参数桩在水平静推力下水平位移的解析解[12]，并进一步研究了双参数地基上梁的刚体振动模态[13]，发现Winkler模型得到的梁的自振频率与双参数模型相比偏低。考虑到土体的复杂性，在研究土基础的动力作用时，对第二地基参数一般多采用参数化分析方法[14，15]。本文基于考虑地基土剪切效应的双参数地基模型，在求得主动桩引起的桩周土自由场动力反应后，考虑被动桩与土之间的动力相互作用，求解被动桩的动力反应，从而得到邻桩动力相互作用因子。对邻桩动力相互作用因子的影响因素：桩土弹模比、桩间距、桩间角、地基成层性、桩底边界条件、桩身长径比以及激振频率进行参数化分析，得到了一些有意义的结论。
1分析模型及基本假定〖2〗1.1分析模型邻桩动力相互作用因子是指由于主动桩A受外荷载激振引起被动桩B的附加位移与主动桩A自身振动位移的比值。本文在Markris和Gazetas的基础上考虑土体的剪切效应以及成层性[7]，建立了双参数层状地基邻桩水平动力相互作用的计算模型，如图1所示。
1.2基本假定
（1）将Winkler模型中的一系列独立弹簧和阻尼器与一层只能产生竖向剪切变形而不可压缩的纯剪切单元相连，得到双参数的地基模型。
（2）主动桩A振动引起以桩轴为中心线的柱面波，该波经土壤沿水平方向传播，各层土的传播速度虽然不同，但由于邻桩间距较小，不同土层内的波到达被动桩的时间差与桩振动周期相比很小，因此假定其同时到达被动桩的各个截面不会因引起大的误差[8]。此外，波动引起的被动桩截面上每一点的水平位移相同，即忽略桩径向尺寸的影响。
（3）桩土系统作稳态简谐振动，其变形限定在线弹性范围内，并且两者之间不发生相对滑移及脱离。土体是层状各向同性的线弹性连续介质，每层的刚度系数、抗剪系数以及阻尼系数均为常数。
从图12和13可以看到一共同点：在桩身长径比较小的情况下，桩底边界条件对水平相互作用因子有明显影响。但当桩径比增加到一定值时，存在一个有效桩长，这时桩底边界条件以及桩径比的变化对相互作用因子的影响很小，可按无限长桩来处理。已有文献[7～9]多采用桩底固定这一边界条件，在实际工程中如桩身的长径比较大，这样的假定是合理的，但对桩身长径比较小的短柱基础，可将桩底看作刚性圆盘，采用弹性半空间理论分析可提高精度。
从图12的3组曲线对比看出，桩土弹模比对有效桩长有着很大的影响，桩土弹模比越小，有效桩长越小。当其比值在103数量级时，有效桩长大约为15d，当其比值在102数量级时，有效桩长大约为9d。而桩间角对有效桩长影响不大。对比图13的3组曲线可看出，无论是桩间距还是外载激振频率对有效桩长的影响都不大。
5结论
在Winkler地基模型中引入能考虑土体剪切效应的第二地基参数，建立双参数地基模型中桩的水平振动微分方程，采用初参数法及传递矩阵法得到层状地基中邻桩的动力相互作用因子。对一些重要的影响因素进行了参数化分析，得到如下结论： （1）由于双参数地基模型克服了Winkler地基模型忽略土体剪切效应这一明显缺陷，理论上更合理，结果更可靠，计算精度更高。
（2）无论在均质还是层状地基中，采用双参数型求得的邻桩水平和回转动力相互作用因子均大于Winkler模型的结果。在均质地基中两种模型的水平回转耦合动力相互作用因子基本无差异，而在层状地基中则有一定差别。
（3）在均质地基中，随着桩土弹模比、桩间距以及激振频率的减小，土体剪切效应对水平和回转动力相互作用因子的影响越来越明显。在层状地基中，土体剪切效应对水平和回转相互作用因子实部的影响随频率的增大而减小，对虚部的影响则随频率的增大而增大。在表面覆盖硬土地基中，动力相互作用因子对频率的变化较敏感，且两种模型所得水平和回转相互作用因子的实部差别随频率的减小而增加，虚部的差异则基本保持不变；在表面覆盖软土地基中，水平和回转相互作用因子随频率的变化较平缓，且两种模型的水平和回转相互作用因子的差异基本不随频率变化。
（4）桩土弹模比对均质地基中动力相互作用因子的影响微小，对层状地基中动力相互作用因子的影响较明显。
（5）对不同的桩底边界条件，存在一个L/d的临界值，当桩径一定，桩长超过有效桩长时，动力相互作用因子将不再随桩底边界条件及桩长的变化而变化。桩间角、桩间距以及激振频率对有效桩长的影响不大，但桩土弹模比对有效桩长的影响显著：桩土弹模比越小，有效桩长越小。当其比值在103数量级时，有效桩长大约为15d，当其比值在102数量级时，有效桩长大约为9d。
参考文献：
[1]Wolf J P， Von Arx G A. Impedance functions of a group of vertical piles[A]. Pro. of a Spec. Conf. on Earthquake Engineering and Soil Dynamics， ASCE[C]. Pasadena， California， 1978， 2：1 024—1 041.
[2]Kaynia A M， Kausel E. Dynamic stiffness and seismic response of pile groups [R]. Res. Rep. No. R8203， Cambridge： Massachusetts Institute of Technology， 1982.
[3]Poulos G H. Analysis of the settlement of pile groups [J]. Geotechnique， 1968，18（4）：449—471.
[4]Novak M. Dynamic stiffness and damping of piles [J]. Canadian Geotechnical Journal， 1974， 11（4）：574—598.
[5]Dobry R， Gazetas G. Simple method for dynamic stiffness and damping of floating pile groups [J]. Geotechnique， 1988，38（4）：557—574.
[6]Gazetas G， Dobry R. Dynamic pilesoilpile interaction， Part I： Analysis of axial vibration [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamic，1991，20：115—132.
[7]Markris N， Gazetas G. Dynamic pilesoilpile interaction， Part II： Lateral and seismic response [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamic， 1992，21（2）：145—162.
[8]Mylonakis G， Gazetas G. Lateral vibration and internal forces of grouped piles in layered soil [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， 1999， 125（1）：16—25.
[9]蒯行成，沈蒲生. 层状介质中群桩水平动力阻抗的简化计算方法 [J]. 振动工程学报，1998，11（3）：258—264.
[10]蒋建国， 周绪红， 邹银生. 水平荷载作用下考虑轴向力的桩间动力相互作用因子 [J]. 中国公路学报， 2003，16（3）：40—47.
[11]雷文军， 魏德敏. 分层土中单桩和群桩的水平动力阻抗计算 [J]. 工程力学， 2004，21（5）：36—40.
[12]张望喜，占鑫杰，易伟健，等. 双参数层状地基受水平荷载长桩的水平位移计算 [J]. 湖南大学学报（自然科学版）， 2011，38（3）：17—21.
[13]张望喜， 易伟健， 谢小安，等. 非均匀地基上自由梁的刚体模态分析 [J]. 动力学与控制学报， 2007， 5（4）：355—360.
[14]Coskun. The response of a finite beam on a tensionless Pasternak foundation subjected to a harmonic load [J]. European Journal of Mechanics A/Solids， 2003， 22： 151—161.
[15]Dogan Q， Mesut S. Free vibration of an axially functionally graded pile with pinned ends embedded in Winkler Pasternak elastic medium [J]. Structural Engineering and Mechanics， 2011， 40（4）：583—594.
中图分类号：TU473.1文献标识码： A文章编号： 10044523（2013）05073211
引言
桩基础因其具有较高的承载力是结构基础设计的主要形式，桩土动力相互作用是地震工程的重要研究内容。在实际工程中，桩通常以群的形式出现。这时，群桩中的单桩除了承受上部结构的荷载，还承受由邻桩通过场地波动而施加的沿轴向分布的附加荷载，由此产生了邻桩基础的动力相互作用效应。Wolf最早采用轴对称有限元法对桩土桩的动力相互作用进行了分析[1]。Kaynia使用边界积分法将Poulos提出的静力相互作用因子概念推广到与外荷载频率相关的桩土桩动力分析领域[2，3]。
求解邻桩动力相互作用因子的方法主要有连续介质模型，Winkler模型以及以有限元和边界元为代表的数值分析模型。其中Winkler模型则将桩比拟成弹性地基梁，将桩周土对桩的动阻抗用一系列独立的弹簧和阻尼器代替，用频域内的刚度系数和阻尼系数来模拟土对桩的动反力，其物理概念清晰且计算量小，给出的解与另外两种方法所得结果具有良好的一致性，因而得到广泛的应用。Novak使用Winkler模型研究了均匀介质中的水平荷载桩[4]，Dobry和Gazetas建立了忽略被动桩与土体间动力相互作用的Winkler模型[5] ，提出了计算群桩动力阻抗的简化方法。Gazetas及其合作者对上述方法进行了改进与完善[6～8]，进一步考虑了被动桩与土体之间的动力相互作用，并将均质地基推广到弹性模量随深度线性变化的地基。国内许多学者在Gazetas的基础上对Winkler模型中的桩土动力相互作用做了进一步的研究[9～11]。然而Winkler模型在理论上不够严密：为简化分析而忽略了土体变形的连续性。双参数地基模型就是在Winkler模型的基础上，将弹簧和阻尼器与一层只产生竖向剪切变形而不可压缩的纯剪单元相连，进而引入了第二地基参数。双参数地基模型考虑了地基土的抗剪能力，因此更符合实际。当双参数地基模型中纯剪切单元的剪切模量趋近于零时，则自动退化为Winkler模型。
目前，将双参数地基理论用于桩基础的分析尚不多见，对振动荷载作用下双参数地基模型中桩土的动力相互作用研究还不深入。张望喜推导了层状地基中双参数桩在水平静推力下水平位移的解析解[12]，并进一步研究了双参数地基上梁的刚体振动模态[13]，发现Winkler模型得到的梁的自振频率与双参数模型相比偏低。考虑到土体的复杂性，在研究土基础的动力作用时，对第二地基参数一般多采用参数化分析方法[14，15]。本文基于考虑地基土剪切效应的双参数地基模型，在求得主动桩引起的桩周土自由场动力反应后，考虑被动桩与土之间的动力相互作用，求解被动桩的动力反应，从而得到邻桩动力相互作用因子。对邻桩动力相互作用因子的影响因素：桩土弹模比、桩间距、桩间角、地基成层性、桩底边界条件、桩身长径比以及激振频率进行参数化分析，得到了一些有意义的结论。
1分析模型及基本假定〖2〗1.1分析模型邻桩动力相互作用因子是指由于主动桩A受外荷载激振引起被动桩B的附加位移与主动桩A自身振动位移的比值。本文在Markris和Gazetas的基础上考虑土体的剪切效应以及成层性[7]，建立了双参数层状地基邻桩水平动力相互作用的计算模型，如图1所示。
1.2基本假定
（1）将Winkler模型中的一系列独立弹簧和阻尼器与一层只能产生竖向剪切变形而不可压缩的纯剪切单元相连，得到双参数的地基模型。
（2）主动桩A振动引起以桩轴为中心线的柱面波，该波经土壤沿水平方向传播，各层土的传播速度虽然不同，但由于邻桩间距较小，不同土层内的波到达被动桩的时间差与桩振动周期相比很小，因此假定其同时到达被动桩的各个截面不会因引起大的误差[8]。此外，波动引起的被动桩截面上每一点的水平位移相同，即忽略桩径向尺寸的影响。
（3）桩土系统作稳态简谐振动，其变形限定在线弹性范围内，并且两者之间不发生相对滑移及脱离。土体是层状各向同性的线弹性连续介质，每层的刚度系数、抗剪系数以及阻尼系数均为常数。
从图12和13可以看到一共同点：在桩身长径比较小的情况下，桩底边界条件对水平相互作用因子有明显影响。但当桩径比增加到一定值时，存在一个有效桩长，这时桩底边界条件以及桩径比的变化对相互作用因子的影响很小，可按无限长桩来处理。已有文献[7～9]多采用桩底固定这一边界条件，在实际工程中如桩身的长径比较大，这样的假定是合理的，但对桩身长径比较小的短柱基础，可将桩底看作刚性圆盘，采用弹性半空间理论分析可提高精度。
从图12的3组曲线对比看出，桩土弹模比对有效桩长有着很大的影响，桩土弹模比越小，有效桩长越小。当其比值在103数量级时，有效桩长大约为15d，当其比值在102数量级时，有效桩长大约为9d。而桩间角对有效桩长影响不大。对比图13的3组曲线可看出，无论是桩间距还是外载激振频率对有效桩长的影响都不大。
5结论
在Winkler地基模型中引入能考虑土体剪切效应的第二地基参数，建立双参数地基模型中桩的水平振动微分方程，采用初参数法及传递矩阵法得到层状地基中邻桩的动力相互作用因子。对一些重要的影响因素进行了参数化分析，得到如下结论： （1）由于双参数地基模型克服了Winkler地基模型忽略土体剪切效应这一明显缺陷，理论上更合理，结果更可靠，计算精度更高。
（2）无论在均质还是层状地基中，采用双参数型求得的邻桩水平和回转动力相互作用因子均大于Winkler模型的结果。在均质地基中两种模型的水平回转耦合动力相互作用因子基本无差异，而在层状地基中则有一定差别。
（3）在均质地基中，随着桩土弹模比、桩间距以及激振频率的减小，土体剪切效应对水平和回转动力相互作用因子的影响越来越明显。在层状地基中，土体剪切效应对水平和回转相互作用因子实部的影响随频率的增大而减小，对虚部的影响则随频率的增大而增大。在表面覆盖硬土地基中，动力相互作用因子对频率的变化较敏感，且两种模型所得水平和回转相互作用因子的实部差别随频率的减小而增加，虚部的差异则基本保持不变；在表面覆盖软土地基中，水平和回转相互作用因子随频率的变化较平缓，且两种模型的水平和回转相互作用因子的差异基本不随频率变化。
（4）桩土弹模比对均质地基中动力相互作用因子的影响微小，对层状地基中动力相互作用因子的影响较明显。
（5）对不同的桩底边界条件，存在一个L/d的临界值，当桩径一定，桩长超过有效桩长时，动力相互作用因子将不再随桩底边界条件及桩长的变化而变化。桩间角、桩间距以及激振频率对有效桩长的影响不大，但桩土弹模比对有效桩长的影响显著：桩土弹模比越小，有效桩长越小。当其比值在103数量级时，有效桩长大约为15d，当其比值在102数量级时，有效桩长大约为9d。
参考文献：
[1]Wolf J P， Von Arx G A. Impedance functions of a group of vertical piles[A]. Pro. of a Spec. Conf. on Earthquake Engineering and Soil Dynamics， ASCE[C]. Pasadena， California， 1978， 2：1 024—1 041.
[2]Kaynia A M， Kausel E. Dynamic stiffness and seismic response of pile groups [R]. Res. Rep. No. R8203， Cambridge： Massachusetts Institute of Technology， 1982.
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[5]Dobry R， Gazetas G. Simple method for dynamic stiffness and damping of floating pile groups [J]. Geotechnique， 1988，38（4）：557—574.
[6]Gazetas G， Dobry R. Dynamic pilesoilpile interaction， Part I： Analysis of axial vibration [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamic，1991，20：115—132.
[7]Markris N， Gazetas G. Dynamic pilesoilpile interaction， Part II： Lateral and seismic response [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamic， 1992，21（2）：145—162.
[8]Mylonakis G， Gazetas G. Lateral vibration and internal forces of grouped piles in layered soil [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， 1999， 125（1）：16—25.
[9]蒯行成，沈蒲生. 层状介质中群桩水平动力阻抗的简化计算方法 [J]. 振动工程学报，1998，11（3）：258—264.
[10]蒋建国， 周绪红， 邹银生. 水平荷载作用下考虑轴向力的桩间动力相互作用因子 [J]. 中国公路学报， 2003，16（3）：40—47.
[11]雷文军， 魏德敏. 分层土中单桩和群桩的水平动力阻抗计算 [J]. 工程力学， 2004，21（5）：36—40.
[12]张望喜，占鑫杰，易伟健，等. 双参数层状地基受水平荷载长桩的水平位移计算 [J]. 湖南大学学报（自然科学版）， 2011，38（3）：17—21.
[13]张望喜， 易伟健， 谢小安，等. 非均匀地基上自由梁的刚体模态分析 [J]. 动力学与控制学报， 2007， 5（4）：355—360.
[14]Coskun. The response of a finite beam on a tensionless Pasternak foundation subjected to a harmonic load [J]. European Journal of Mechanics A/Solids， 2003， 22： 151—161.
[15]Dogan Q， Mesut S. Free vibration of an axially functionally graded pile with pinned ends embedded in Winkler Pasternak elastic medium [J]. Structural Engineering and Mechanics， 2011， 40（4）：583—594.