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2010年3月25日,我校进行了一次校本教研——市属优质课选拔. 此次活动所选的内容是浙教版《数学》八年级(下)第五章第一节第1课时的“多边形(1)”. 本人有幸参与了这次活动,并作了这节课的两个教学设计,经慎重考虑,最后选用了以问题为驱动的“问题串”式教学设计进行教学,整节课沿着:学习一种图形——四边形,复习一种图形——三角形,研究两个定理——内、外角和定理,体验一种思想——化归思想的设计思路设计问题、展开教学. 课后也受到了听课教师好评,现整理成文,与同行交流.
一、两个设计对比
【设计1】
1. 复习三角形,引出四边形
(1)复习三角形的定义,类比得出四边形的定义.
(2)请说出如图1所示的四边形ABCD的各条边和各个内角.
设计意图:复习三角形的定义,引出四边形的定义,把三角形的知识迁移到四边形中,并进行两者的对比,找出其中的区别与联系,为进一步给出多边形的定义设下伏笔.
2. 动手实践,猜想定理
合作学习:在一张纸上任意画一个四边形,剪下它的四个角,把他们拼在一起(四个角的顶点重合). (1)你发现了什么?(2)其他同学与你的发现相同吗?(3)你能把你的发现概括成一个命题吗?
生:四边形的内角和等于360°.
设计意图:让学生动手操作来猜想四边形的内角和定理,目的是为学生提供充分的数学活动的机会,促进学生积极主动地从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.
3. 探索研究,证明定理
(1)如图1,已知四边形ABCD.
求证:∠A ∠B ∠C ∠D=360°.
(2)你还有其他方法吗?
设计意图:让学生在猜想的基础上进行证明,目的是让学生明确证明的必要性与严谨性. 让学生思考还有没有其他证法,目的是拓展学生思维的深度与广度,培养学生的创新能力,为学生的可持续发展奠定基础.
(3)根据上述定理,容易得到下面的推论:四边形的外角和等于360°,请说出这个结论的推论过程.
设计意图:让学生体验把四边形外角问题转化为内角问题来解决的化归思想. 使学生认识到事物可以相互联系、相互转化,从而学会用辩证的观点分析事物.
4. 举例应用,巩固定理
例1 如图2,四边形风筝的四个内角∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为1∶1∶0.6∶1,求它的四个内角的度数.
设计意图:例1是为了让学生及时巩固四边形的内角和定理而配置的,通过例题的解决,来达到巩固双基、学以致用的目的.
5. 反思小结,观点提炼
(1)学生谈收获;
(2)师生共同总结.
设计意图:在学生谈体验、谈收获的基础上,教师归纳本节课的知识内容与思想方法,同时也能培养学生总结概括的能力.
设计1完成后,笔者总感觉情境对学生的吸引力不够,不能有效激发起学生的探究热情. 在设计中为什么要讲这节内容的必要性与实用性体现不充分,“问题串”之间的联系不强,问题之间的张力不够. 同时设计1更多关注的是学生智力的发展,而忽视学生情感与个性品质的发展,从认知心理学的角度来看,它是以构建学生心理结构中的数学认知结构为主,而忽视了对情感经验和动作经验的构建. 鉴于以上考虑,笔者在设计2中的四边形定义的引入、性质的探究、性质的应用中,以学生喜闻乐见的“风筝制作”作为载体,设置了一系列围绕教学目标的“问题串”,来启迪学生的思维,调动学生的学习积极性.
【设计2】
1. 创设情境,引出新课
教师上课前先进行自我介绍,并由教师的兴趣爱好:猜谜语,引出风筝(谜面为:像蝶不是蝶,像鸟不是鸟,清明前后天上飞,就怕雨水浇).
教师:同学们喜欢放风筝吗?做过四边形风筝吗?接下来就跟老师一起来学简单的风筝制作.
(1)要做如图2的风筝时外框需要几根细竹条?怎么做?
(2)用四根竹条首尾顺次相接形成了风筝的外框,你能给这个平面图形取个名吗?
(3)你能给四边形下个定义吗?
(4)你能表示四边形吗?
(5)你能说出图2中四边形ABCD的各条边和各个内角吗?
设计意图:给出生活实例,创设出数学问题情境,通过同学们身边比较熟悉的风筝引入新课. 由怎么样做风筝引出四边形的定义,并让学生自己通过联想制作风筝的过程得出四边形的定义. 使整个四边形定义的得出显得水到渠成、顺其自然.
2. 动手实践,猜想定理
在制作四边形风筝的过程中,有时我们需要用四边形纸糊上去.
(1)你会画四边形吗?请画一个,并剪下来.
(2)拿起你手中的四边形,找出四个内角,并作上记号,请剪下四个内角,把它们拼在一起(四个角的顶点重合),你得到了什么?
(3)其他同学与你的结论相同吗?请与同学交流,把你们的发现概括成一个命题.
设计意图:让学生用生活化的情境来动手验证四边形的内角和定理,以加深对定理的理解,同时整节课的设计顺着风筝制作的思路发展,有利于各个教学环节之间的自然衔接.
3. 探索研究,证明定理
在制作风筝时,为了固定风筝的各条边,我们往往在中间加些竹条,如图3所示:
(1)图中除了风筝的外框是四边形外,还有我们学过的什么图形?
(2)你能说出三角形有哪些性质吗?
(3)三角形的内角和是180°,那四边形的内角和是多少?你能证明吗?
(4)一般情况下固定风筝的各条边一根竹条不行,你能根据图4再次证明四边形内角和定理吗?
(5)你还有其他证明的方法吗?
(6)三角形的外角和是360°,那四边形的外角和是多少?你能证明吗?
设计意图:通过四边形风筝的对角线让图形本身暗示学生若要求四边形的内角和可转化为三角形来解决,这种暗示为学生想到辅助线的方法,搭上了脚手架,使学生的思路来得顺其自然,同时这种转化的思想无声地体现在制作风筝的过程中,又体现了整节课的美感.
4. 举例应用,巩固定理
现我们学会了风筝各部分的制作方法. 引导解决.
例2 解决“实际问题”
能否用相同形状的任意四边形地砖铺地?请说明理由.
设计意图:从现实生活中得到四边形的模型,并在课堂中探究出它的一些定理,最后应用于生活中,体现了新课程的“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的教学模式.
5. 反思小结,观点提炼
(1)本节课我们学习了哪些内容?
(2)本节课我们体验了什么思想?
(3)你还有什么问题需要帮助解决吗?
在学生总结充分的基础上,最后教师总结:这节课通过学习风筝的制作,我们学习了一种图形叫四边形,我们复习了一种图形叫三角形,我们研究了四边形里的两个定理叫四边形的内角和与外角和定理,我们体验了一种思想叫化归.
设计意图:经过上述教学活动,学生所获得的知识往往是零散的、不完整的,这时教师应让学生对本节课所学的知识进行归纳小结,以便学生形成自己的数学体系.
二、课后反思
1. 为什么要设计“问题串”
从学生层面看,数学活动是学生自己建构数学知识的活动,无论教师的教还是学生的学都要在学生那里体现. 只有学生吸收、消化、理解、掌握了教师的教学活动后,学生才能运用知识. 因此在教学设计中的“问题串”,特别是一系列的变式“问题串”,可以帮助学生从各个不同的侧面看问题. 正所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从不同的侧面更能看清问题的本质,这样更能帮助学生自主有效地建构数学知识.
从教师层面看,教师是课堂教学的组织者和引导者. 数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程,因此教师要将过去的“满堂灌”转变为“启发式”教学,那如何实现这种转变呢?我想我们教师在数学教学时,从学生所熟悉的现实生活出发,恰当运用起点低、思维含量高、层次分明的“问题串”, 来调动学生的积极性,激发学生的学习动机,启迪学生的思维,应是一个不错的选择.
从教材层面看,教材是一幅凝固的、简约的“画卷”. 它不可能有太多的闲笔来描绘编写者的意图. 它往往以牺牲知识发展的过程、数学建模的过程、思考的过程,来达到简约性的目的. 但教材中所包含的数学知识与思想却是极其丰富的,可以这样说,教材是“简约而不简单”. 那么,怎样体现出教材的不简单呢?我想恰当使用学生感兴趣的“问题情境”,以有效的数学“问题串” 作为载体,可以把凝结在数学知识中数学家的观察、试验、归纳、概括、逻辑推理与证明等思维活动有条不紊地打开,从而达到有效提高数学课堂教学效率的目的.
2. 在哪里设计“问题串”
在课堂引入时可设计“问题串”. 美国心理学家布鲁纳指出:“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的的活动. 思维永远是从问题开始的. ”因此教师在课堂引入时、在启迪学生思维时可采用学生较熟悉的“问题情境”作为“问题串”设计的载体. 例如设计2中,笔者以“风筝的制作”作为“问题情境”,设计了一系列的围绕教学目标的问题,来引导学生主动思考,进而进入新课学习之中.
在课堂探究中可设计“问题串”. 由于有些数学知识比较抽象、思想方法学生较难理解,加上学生之前储备的知识少、迁移能力不强,此时教师即使讲得口若悬河、滔滔不绝,学生仍不能参与到学习中来,教学效果可想而知. 如果教师把数学知识中所涉及的、需探究的知识,通过合理精心的“问题串”设计,鼓励学生进行探究和讨论交流,再通过观察、分析、综合、归纳、类比、抽象、概括,逐步让学生学会接受问题、分析问题、解决问题的能力,以及从中发现数学规律的能力,那么课堂教学将会出现另一番“柳暗花明又一村”的景象.
在课堂小结时可设计“问题串”进行小结. 教师可通过提出一系列有层次、目的鲜明的问题,引导学生对本堂课学过的内容及所蕴涵的数学思想方法进行概括、总结,把新知识和方法的本质特征归纳出来,使学生形成规律性的认识,从中培养起学生的归纳概括能力;也可以帮助学生梳理所学知识的逻辑层次,把握重点和难点,并使之有机地纳入到自己已有的认知结构中,使知识条理化、系统化;又可以衔接新旧知识,挖掘它们之间的联系,使前后之间的内容融会贯通,为后续学习做好铺垫和储备;还可以启迪学生思维,激发学生的探究兴趣,使学生萌生出向更深层次思考的欲望.
3. 设计“问题串”要注意什么原则
最近发展区原则,即问题设计应在学生的最近发展区内,所包含的事件应为学生所熟悉的,是学生通过现有知识“跳一跳”就能解决的. 而做到这些最有效、最经济的途径便是与课本的内容相匹配,将典型的例题或习题进行适当的改编. 例如设计2中,笔者将教材中的例题与实际生活中的风筝制作联系起来,从当前学生熟悉的现实生活中寻找知识的原型,并以此为主线,充分利用“活情境”,设计出学生乐于参与、乐于解决的数学“问题串”,并将风筝的各部分的制作作为学生思维发展的脚手架,从而使学生较难想到的四边形的内角和转化为三角形的内角和来解决的思路来得比较自然、贴切,同时也能体现该课的整体美感.
本源性原则, 即教师在设计“问题串”时,应紧紧围绕核心的知识和教学目标,不在一些细枝末节上大做文章,以免影响课堂教学的有效性. 例如设计2中,笔者以“风筝制作”为载体紧紧围绕四边形的定义,四边形的内、外角和的证明,四边形的内角和定理的应用设计几个大“问题串”,来完成教学任务,抵达教学目标,突破教学难点,把一些可有可无的细枝末节坚决拿掉,从而做到抓大放小、有的放矢.
弹性原则, 即问题设计要体现一定的弹性,要能让学生积极地、主动地去思考,不要过于“琐碎”,以免让学生过于依赖教师,过于依赖教师的问题. 这里教师设计的问题是要促使学生主动地去思考,而不是用问题去代替学生的思考,如果这样,那么这种“问题串”的设置是无效的,甚至是负效的,这样的“问题串”不要也罢.
一、两个设计对比
【设计1】
1. 复习三角形,引出四边形
(1)复习三角形的定义,类比得出四边形的定义.
(2)请说出如图1所示的四边形ABCD的各条边和各个内角.
设计意图:复习三角形的定义,引出四边形的定义,把三角形的知识迁移到四边形中,并进行两者的对比,找出其中的区别与联系,为进一步给出多边形的定义设下伏笔.
2. 动手实践,猜想定理
合作学习:在一张纸上任意画一个四边形,剪下它的四个角,把他们拼在一起(四个角的顶点重合). (1)你发现了什么?(2)其他同学与你的发现相同吗?(3)你能把你的发现概括成一个命题吗?
生:四边形的内角和等于360°.
设计意图:让学生动手操作来猜想四边形的内角和定理,目的是为学生提供充分的数学活动的机会,促进学生积极主动地从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.
3. 探索研究,证明定理
(1)如图1,已知四边形ABCD.
求证:∠A ∠B ∠C ∠D=360°.
(2)你还有其他方法吗?
设计意图:让学生在猜想的基础上进行证明,目的是让学生明确证明的必要性与严谨性. 让学生思考还有没有其他证法,目的是拓展学生思维的深度与广度,培养学生的创新能力,为学生的可持续发展奠定基础.
(3)根据上述定理,容易得到下面的推论:四边形的外角和等于360°,请说出这个结论的推论过程.
设计意图:让学生体验把四边形外角问题转化为内角问题来解决的化归思想. 使学生认识到事物可以相互联系、相互转化,从而学会用辩证的观点分析事物.
4. 举例应用,巩固定理
例1 如图2,四边形风筝的四个内角∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为1∶1∶0.6∶1,求它的四个内角的度数.
设计意图:例1是为了让学生及时巩固四边形的内角和定理而配置的,通过例题的解决,来达到巩固双基、学以致用的目的.
5. 反思小结,观点提炼
(1)学生谈收获;
(2)师生共同总结.
设计意图:在学生谈体验、谈收获的基础上,教师归纳本节课的知识内容与思想方法,同时也能培养学生总结概括的能力.
设计1完成后,笔者总感觉情境对学生的吸引力不够,不能有效激发起学生的探究热情. 在设计中为什么要讲这节内容的必要性与实用性体现不充分,“问题串”之间的联系不强,问题之间的张力不够. 同时设计1更多关注的是学生智力的发展,而忽视学生情感与个性品质的发展,从认知心理学的角度来看,它是以构建学生心理结构中的数学认知结构为主,而忽视了对情感经验和动作经验的构建. 鉴于以上考虑,笔者在设计2中的四边形定义的引入、性质的探究、性质的应用中,以学生喜闻乐见的“风筝制作”作为载体,设置了一系列围绕教学目标的“问题串”,来启迪学生的思维,调动学生的学习积极性.
【设计2】
1. 创设情境,引出新课
教师上课前先进行自我介绍,并由教师的兴趣爱好:猜谜语,引出风筝(谜面为:像蝶不是蝶,像鸟不是鸟,清明前后天上飞,就怕雨水浇).
教师:同学们喜欢放风筝吗?做过四边形风筝吗?接下来就跟老师一起来学简单的风筝制作.
(1)要做如图2的风筝时外框需要几根细竹条?怎么做?
(2)用四根竹条首尾顺次相接形成了风筝的外框,你能给这个平面图形取个名吗?
(3)你能给四边形下个定义吗?
(4)你能表示四边形吗?
(5)你能说出图2中四边形ABCD的各条边和各个内角吗?
设计意图:给出生活实例,创设出数学问题情境,通过同学们身边比较熟悉的风筝引入新课. 由怎么样做风筝引出四边形的定义,并让学生自己通过联想制作风筝的过程得出四边形的定义. 使整个四边形定义的得出显得水到渠成、顺其自然.
2. 动手实践,猜想定理
在制作四边形风筝的过程中,有时我们需要用四边形纸糊上去.
(1)你会画四边形吗?请画一个,并剪下来.
(2)拿起你手中的四边形,找出四个内角,并作上记号,请剪下四个内角,把它们拼在一起(四个角的顶点重合),你得到了什么?
(3)其他同学与你的结论相同吗?请与同学交流,把你们的发现概括成一个命题.
设计意图:让学生用生活化的情境来动手验证四边形的内角和定理,以加深对定理的理解,同时整节课的设计顺着风筝制作的思路发展,有利于各个教学环节之间的自然衔接.
3. 探索研究,证明定理
在制作风筝时,为了固定风筝的各条边,我们往往在中间加些竹条,如图3所示:
(1)图中除了风筝的外框是四边形外,还有我们学过的什么图形?
(2)你能说出三角形有哪些性质吗?
(3)三角形的内角和是180°,那四边形的内角和是多少?你能证明吗?
(4)一般情况下固定风筝的各条边一根竹条不行,你能根据图4再次证明四边形内角和定理吗?
(5)你还有其他证明的方法吗?
(6)三角形的外角和是360°,那四边形的外角和是多少?你能证明吗?
设计意图:通过四边形风筝的对角线让图形本身暗示学生若要求四边形的内角和可转化为三角形来解决,这种暗示为学生想到辅助线的方法,搭上了脚手架,使学生的思路来得顺其自然,同时这种转化的思想无声地体现在制作风筝的过程中,又体现了整节课的美感.
4. 举例应用,巩固定理
现我们学会了风筝各部分的制作方法. 引导解决.
例2 解决“实际问题”
能否用相同形状的任意四边形地砖铺地?请说明理由.
设计意图:从现实生活中得到四边形的模型,并在课堂中探究出它的一些定理,最后应用于生活中,体现了新课程的“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的教学模式.
5. 反思小结,观点提炼
(1)本节课我们学习了哪些内容?
(2)本节课我们体验了什么思想?
(3)你还有什么问题需要帮助解决吗?
在学生总结充分的基础上,最后教师总结:这节课通过学习风筝的制作,我们学习了一种图形叫四边形,我们复习了一种图形叫三角形,我们研究了四边形里的两个定理叫四边形的内角和与外角和定理,我们体验了一种思想叫化归.
设计意图:经过上述教学活动,学生所获得的知识往往是零散的、不完整的,这时教师应让学生对本节课所学的知识进行归纳小结,以便学生形成自己的数学体系.
二、课后反思
1. 为什么要设计“问题串”
从学生层面看,数学活动是学生自己建构数学知识的活动,无论教师的教还是学生的学都要在学生那里体现. 只有学生吸收、消化、理解、掌握了教师的教学活动后,学生才能运用知识. 因此在教学设计中的“问题串”,特别是一系列的变式“问题串”,可以帮助学生从各个不同的侧面看问题. 正所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从不同的侧面更能看清问题的本质,这样更能帮助学生自主有效地建构数学知识.
从教师层面看,教师是课堂教学的组织者和引导者. 数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程,因此教师要将过去的“满堂灌”转变为“启发式”教学,那如何实现这种转变呢?我想我们教师在数学教学时,从学生所熟悉的现实生活出发,恰当运用起点低、思维含量高、层次分明的“问题串”, 来调动学生的积极性,激发学生的学习动机,启迪学生的思维,应是一个不错的选择.
从教材层面看,教材是一幅凝固的、简约的“画卷”. 它不可能有太多的闲笔来描绘编写者的意图. 它往往以牺牲知识发展的过程、数学建模的过程、思考的过程,来达到简约性的目的. 但教材中所包含的数学知识与思想却是极其丰富的,可以这样说,教材是“简约而不简单”. 那么,怎样体现出教材的不简单呢?我想恰当使用学生感兴趣的“问题情境”,以有效的数学“问题串” 作为载体,可以把凝结在数学知识中数学家的观察、试验、归纳、概括、逻辑推理与证明等思维活动有条不紊地打开,从而达到有效提高数学课堂教学效率的目的.
2. 在哪里设计“问题串”
在课堂引入时可设计“问题串”. 美国心理学家布鲁纳指出:“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的的活动. 思维永远是从问题开始的. ”因此教师在课堂引入时、在启迪学生思维时可采用学生较熟悉的“问题情境”作为“问题串”设计的载体. 例如设计2中,笔者以“风筝的制作”作为“问题情境”,设计了一系列的围绕教学目标的问题,来引导学生主动思考,进而进入新课学习之中.
在课堂探究中可设计“问题串”. 由于有些数学知识比较抽象、思想方法学生较难理解,加上学生之前储备的知识少、迁移能力不强,此时教师即使讲得口若悬河、滔滔不绝,学生仍不能参与到学习中来,教学效果可想而知. 如果教师把数学知识中所涉及的、需探究的知识,通过合理精心的“问题串”设计,鼓励学生进行探究和讨论交流,再通过观察、分析、综合、归纳、类比、抽象、概括,逐步让学生学会接受问题、分析问题、解决问题的能力,以及从中发现数学规律的能力,那么课堂教学将会出现另一番“柳暗花明又一村”的景象.
在课堂小结时可设计“问题串”进行小结. 教师可通过提出一系列有层次、目的鲜明的问题,引导学生对本堂课学过的内容及所蕴涵的数学思想方法进行概括、总结,把新知识和方法的本质特征归纳出来,使学生形成规律性的认识,从中培养起学生的归纳概括能力;也可以帮助学生梳理所学知识的逻辑层次,把握重点和难点,并使之有机地纳入到自己已有的认知结构中,使知识条理化、系统化;又可以衔接新旧知识,挖掘它们之间的联系,使前后之间的内容融会贯通,为后续学习做好铺垫和储备;还可以启迪学生思维,激发学生的探究兴趣,使学生萌生出向更深层次思考的欲望.
3. 设计“问题串”要注意什么原则
最近发展区原则,即问题设计应在学生的最近发展区内,所包含的事件应为学生所熟悉的,是学生通过现有知识“跳一跳”就能解决的. 而做到这些最有效、最经济的途径便是与课本的内容相匹配,将典型的例题或习题进行适当的改编. 例如设计2中,笔者将教材中的例题与实际生活中的风筝制作联系起来,从当前学生熟悉的现实生活中寻找知识的原型,并以此为主线,充分利用“活情境”,设计出学生乐于参与、乐于解决的数学“问题串”,并将风筝的各部分的制作作为学生思维发展的脚手架,从而使学生较难想到的四边形的内角和转化为三角形的内角和来解决的思路来得比较自然、贴切,同时也能体现该课的整体美感.
本源性原则, 即教师在设计“问题串”时,应紧紧围绕核心的知识和教学目标,不在一些细枝末节上大做文章,以免影响课堂教学的有效性. 例如设计2中,笔者以“风筝制作”为载体紧紧围绕四边形的定义,四边形的内、外角和的证明,四边形的内角和定理的应用设计几个大“问题串”,来完成教学任务,抵达教学目标,突破教学难点,把一些可有可无的细枝末节坚决拿掉,从而做到抓大放小、有的放矢.
弹性原则, 即问题设计要体现一定的弹性,要能让学生积极地、主动地去思考,不要过于“琐碎”,以免让学生过于依赖教师,过于依赖教师的问题. 这里教师设计的问题是要促使学生主动地去思考,而不是用问题去代替学生的思考,如果这样,那么这种“问题串”的设置是无效的,甚至是负效的,这样的“问题串”不要也罢.