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摘要:最值函数是一个特殊且重要的函数,在近几年高考是试题中频频出现,考查同学们理解新概念的能力和创新应用的能力,而最值函数在选修教材中是以课后习题的形式出现,很多考生对它认识较浅、理解不深刻,再加上涉及的问题颇具思考性和挑战性,导致这道题得分率较低.本文主要介绍最值函数的定义、常用性质和典型问题,旨在探索题型规律,揭示解题方法.
关键词: 高考;最值函数;转化;数学思想
中图分类号:G4 文献标识码:A 文章编号:(2020)-38-238
一、基础知识
1.定义 最值函数的定义:设a,b为实数,则min{a,b}=a,a≤bb,b<a ,max{a,b}=a,a≥bb,b>a
2.常用性质min{a,b}≤a+b2≤max{a,b};min{a,b}≤ab≤max{a,b};
3.常用策略明确最值函数的定义是解题关键,这类题综合性较强,考查高中较为常见的数形结合、化归和转化、分类讨论、不等式放缩等重要数学思想,注重考查逻辑推理、数学运算的数学素养.
二、例题鉴赏
1、最值函数与不等式
例1(2020年全国Ⅲ卷文科23题、理科23题(2))
设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,
证明:max{a,b,c}≥34.
证明: 解法一由b·c≤b+c24可得abc≤a34,故a≥34,所以max{a,b,c}≥34.
解法二不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a+b+c=0所以a>0,b<0,c<0,
∵a+b+c=0∴-b>0,-c>0∴a=-b-c≥2bc,∵abc=1∴a≥21a∴a3≥4
所以a≥34,即max{a,b,c}≥34.
点评:本题是最值函数与不等式交汇综合题,考查学生对数学符号的理解水平,准确理解最值函数定义,抓住核心,简明扼要.解法2巧妙利用不等式的基本性质与基本不等进行放缩.
2、最值函数与平面向量
例2(2014年浙江卷)
记max{x,y}=x(x≥y)y(x<y) ,min{x,y}=y(x≥y)x(x<y) ,设、为平面向量,则( )
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
C.min{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2D.min{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
解:利用常用性质min{a+b2,a-b2}≤a+b2+a-b22=a2+b2,故选D.
点评: 本题是最值函数与平面向量的交汇综合题,本题旨在考查平面向量加法、平面
向量数量积及其几何意义,既体现向量本质,又依赖数学知识之间的有机联系.在理解题意的基础上用最值函数的常用性质妙解此题.
3、最值函数与分段函数
例3(2009年宁夏、海南卷)
用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),
则f(x)的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解:在平面直角坐标系中做出三个函数
的图象,找到符合题意的分段函数函数图象,
找到在第一项象限的最高点A(4,6),
所以f(x)max=6.故选C.
点评:本题考查指数函数与一次函数的图象和性质的应用,同时考查数形结合、转化与化归的数学思想,本题中的函数实质上是一个分段函数,解题过程中要紧扣函数图象的特点,将问题转化为研究函数图象的交点问题,数形结合就能确定出函数的最值点,明确min{a,b,c}的含义是解决问题的关键.
通过本文可以看出,以最值函数为背景设置的问题成为近几年高考的热点问题,为高考试题注入了新鲜的血液,试题很好的体现了重基础、重能力的立意,引领中学教学回归教材,重视数学基本概念、基本方法,重视培养学生的核心数学素养。在高考中的最值函数,虽其外表简单朴素,但其内涵深邃,在解题中常需要结合分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方可顺利求解。 最值函数试题有一定思维量,为考生施展才华搭建了平台,使具有不同基础,不同能力的考生均能发挥出应有的水平。可以想见,今后最值函数作为背景的试题还会出现在高考试卷上。
参考文献
[1]教育部考试中心 高考试题分析 理科数学分册 2020年版 高等教育出版社.
[2]高中數学题根教学 黄坪2015年版 华东师范大学出版社.
[3]普通高中课程标准实验教科书 数学选修4-5 2007年版 人民教育出版社
关键词: 高考;最值函数;转化;数学思想
中图分类号:G4 文献标识码:A 文章编号:(2020)-38-238
一、基础知识
1.定义 最值函数的定义:设a,b为实数,则min{a,b}=a,a≤bb,b<a ,max{a,b}=a,a≥bb,b>a
2.常用性质min{a,b}≤a+b2≤max{a,b};min{a,b}≤ab≤max{a,b};
3.常用策略明确最值函数的定义是解题关键,这类题综合性较强,考查高中较为常见的数形结合、化归和转化、分类讨论、不等式放缩等重要数学思想,注重考查逻辑推理、数学运算的数学素养.
二、例题鉴赏
1、最值函数与不等式
例1(2020年全国Ⅲ卷文科23题、理科23题(2))
设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,
证明:max{a,b,c}≥34.
证明: 解法一由b·c≤b+c24可得abc≤a34,故a≥34,所以max{a,b,c}≥34.
解法二不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a+b+c=0所以a>0,b<0,c<0,
∵a+b+c=0∴-b>0,-c>0∴a=-b-c≥2bc,∵abc=1∴a≥21a∴a3≥4
所以a≥34,即max{a,b,c}≥34.
点评:本题是最值函数与不等式交汇综合题,考查学生对数学符号的理解水平,准确理解最值函数定义,抓住核心,简明扼要.解法2巧妙利用不等式的基本性质与基本不等进行放缩.
2、最值函数与平面向量
例2(2014年浙江卷)
记max{x,y}=x(x≥y)y(x<y) ,min{x,y}=y(x≥y)x(x<y) ,设、为平面向量,则( )
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
C.min{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2D.min{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
解:利用常用性质min{a+b2,a-b2}≤a+b2+a-b22=a2+b2,故选D.
点评: 本题是最值函数与平面向量的交汇综合题,本题旨在考查平面向量加法、平面
向量数量积及其几何意义,既体现向量本质,又依赖数学知识之间的有机联系.在理解题意的基础上用最值函数的常用性质妙解此题.
3、最值函数与分段函数
例3(2009年宁夏、海南卷)
用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),
则f(x)的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解:在平面直角坐标系中做出三个函数
的图象,找到符合题意的分段函数函数图象,
找到在第一项象限的最高点A(4,6),
所以f(x)max=6.故选C.
点评:本题考查指数函数与一次函数的图象和性质的应用,同时考查数形结合、转化与化归的数学思想,本题中的函数实质上是一个分段函数,解题过程中要紧扣函数图象的特点,将问题转化为研究函数图象的交点问题,数形结合就能确定出函数的最值点,明确min{a,b,c}的含义是解决问题的关键.
通过本文可以看出,以最值函数为背景设置的问题成为近几年高考的热点问题,为高考试题注入了新鲜的血液,试题很好的体现了重基础、重能力的立意,引领中学教学回归教材,重视数学基本概念、基本方法,重视培养学生的核心数学素养。在高考中的最值函数,虽其外表简单朴素,但其内涵深邃,在解题中常需要结合分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方可顺利求解。 最值函数试题有一定思维量,为考生施展才华搭建了平台,使具有不同基础,不同能力的考生均能发挥出应有的水平。可以想见,今后最值函数作为背景的试题还会出现在高考试卷上。
参考文献
[1]教育部考试中心 高考试题分析 理科数学分册 2020年版 高等教育出版社.
[2]高中數学题根教学 黄坪2015年版 华东师范大学出版社.
[3]普通高中课程标准实验教科书 数学选修4-5 2007年版 人民教育出版社