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“什么是好的教育？系统地给学生提供自己发现问题的机会.”这是问题解决教学的积极倡导者波利亚对“好教育”提出的一个重要评价指标.在这里他强调了好的教育的评价标准就是能够让学生自己发现问题、解决问题，因此“问题解决”教学作为一种模式，它与我国的基础教育课程改革的理念是相通的，它是“问题解决”教学的一个重要操作依据和思路.
我们看到无论是“问题解决”教学理念还是“综合与实践”课程，两者都把着陆点放在“问题”上.课程改革所要建构的课程目标是：“改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程.”该目标表明新课程摒弃以往单一的课程目标，倡导一种综合的课程目标，即在重视学生掌握基础知识和基本技能的基础上，着眼于学生能力、情感、态度和价值观等的整体发展.“问题解决”教学的终极目标是培养有效的问题解决者.
在“问题解决”教学中，由于问题是系列的多类型的体系，它把基础知识基本技能的掌握与能力培养结合起来，把书本只是与经验的改造或生长结合起来，把一般能力与创造能力结合起来，这正是我国基础教育课程改革所孜孜追求的目标.
下面以笔者最近在杭州、宁波、成都与青岛等地的“全国初中数学名师课堂教学展示”活动中所执教的一节综合实践课“探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件”为例，说明在“问题解决”理念下课堂模式的运用.这节课研究活动的开展主要依赖于数学基础知识和基本技能，研究的结果具有一般借鉴性.下面以此案例为着落点，分析数学综合实践课的课堂结构.
图1教学实录
一、创设情境明确问题主体
1.教师出示一张普通三角形图片，提出问题1：“如图1，你能把这张三角形图片分成两个三角形，并涂上不同颜色吗？”
学生1：能，只要画一条线就可以.
教师：这条线从哪里出发呢？随便都可以吗？
学生1：不是的，必须从顶点出发，但是可以从任意一个顶点出发.
教师：回答得非常好，抓住了分割的特点“从顶点出发引一条线段就可以把一个三角形分成两个三角形”.那么如果老师想要大家把这个三角形分割成两个等腰三角形，你能做到吗？
学生都说：不行，因为没有具体的角度就没有办法操作.
教师：没错，这个三角形的内角度数都是未知的，我们无从下手.那么老师给你一个知道内角度数的三角形，大家来试试.
设计意图课堂伊始，教师提出的问题不宜太难，这样就会打击学生听课的热情.故设置起点较低的问题，让每一个学生都有回答的欲望.但正是借助于这样一个简单的问题将学生的思路引向正确的方向.
提出问题2：“小区内有一个三角形小花坛（如图2），现在想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花.已知花坛的三个角分别为36°、72°、72°，你可以帮忙办到吗？”
学生2（立刻举手）：可以.
教师：你为什么这么快就能回答这个问题？
学生2：看角的度数就知道一定可以办到，只要把其中一个72°的角平分就可以了.
教师：哦，为什么这样分就一定是两个等腰三角形了？
学生2，因为∠A是36°，如果平分∠B，那么就会和∠A相等，出现一个等腰三角形.
教师：很好，上面的三角形已经是等腰三角形了，可是怎么说明下面这个三角形也是等要三角形呢？
学生2：可以用三角形内角和为180°来说明还有一个角也是72°.
教师：恩，你是用内角和来说明，还有其他方法吗？
学生3：还可以用外角与内角和之间的关系说明.因为上面已经有2个36°的内角，那么这个三角形的外角恰好是72°，与∠C相等.
教师：同学们真是非常聪明.这两位同学用不同的方法解决了问题.现在我们回过头来看看这个问题解决的过程（教师总结方法）：“①从某个项点出发引一条线段先画出一个等腰三角形，然后证明余下的这个三角形也是一个等腰三角形”.这是我们的第一个共识.现在老师再问一下，这条分割的线段能不能从别的顶点出发？
学生4：还可以从C点出发作一条角平分线，道理跟刚才一样.
教师：那能从A出发吗？
学生4：不能，因为∠A在三个内角中是最小的一个角，再分割的话不可能跟其他两个内角度数相等.
教师：分析的很有道理，这位同学其实帮我们说出了分割的第二个共识：“②最小角不再分割”.
设计意图在“问题解决”中，问题的提出不是任意的，而是“有目的的”，要有恰当的学习目标定向.在“问题解决”中所提出的问题会是系列问题，但起始问题从学生比较熟悉的图形入手，让学生发现把一个本身是等腰的三角形分割成两个等腰三角形是比较容易的，教师及时总结概括分割时的共同特征，这样就为本节课的后续发展打好基础.
教师：刚才大家分割的三角形是等腰三角形，那如果不是一个等腰三角形，你还能办到吗？提出问题3：“如图3，如果三角形的三个内角改成25°、50°、105°，你还能分吗？”
学生5：可以.
教师：今天我们班的学生真的很棒，老师的问题刚出来，立刻就被同学们“消灭”.我们请这位同学到讲台上来讲解一下.
学生5（走上台去）：只要从105°这个角里面先分出一个25°的小角，使左边构成一个等腰三角形，再验证一下右边的也是等要三角形就可以了.
教师：那么大家看看右边的是吗？
学生：是的，因为两个25°相加刚好是等于∠C.
教师：果然如此，看来难不到大家，我再换一个三角形试试.再提出问题4“如图4，如果三角形的三个内角改成20°、60°、100°，你还能分吗？”
学生6：那不是一样吗？只要从60°角中分一个20°就行了. 教师：我们班同学的反应实在太快.我们来看一下这样分可以吗？
学生集体验证发现分割的正确性.
设计意图从特殊三角形改成一般三角形，学生的思维更进一层，并且能让学生在实践过程中学会分类讨论.
3.教师：两个都顺利完成了分割，接下去老师要出难题了.我不再给大家提供三角形了，提出问题5：“请你自己来设计一个三角形，使这个三角形都可以被分割成两个等腰三角形.现在你还能很快完成吗？”
学生：陷入短暂沉思后开始动手尝试操作设计.
几分钟后，学生一一举手发言，教师把每一位发言同学发现的三角形的三个内角度数在黑板上板书，并注明发现者的姓氏.
（1）苏同学：45°、45°、90°；
（2）褚同学：30°、60°、90°；
（3）郑同学：36°、36、108°；
（4）刘同学：20°、40°、120°
（5）张同学：10°、30°、140°；
（6）郁同学：24°、72°、84°.
学生群情激奋，举手此起彼伏.
教师：我相信每位同学都有了自己的发现，由于时间关系我们不能把每一个三角形都写在黑板上.特别要表扬这些同学的发现，这几位同学真的很了不起，发现的三角形的内角度数难度这么大，老师很佩服你们，真聪明.
设计意图通过举例培养学生的逆向思维，学生在设计过程中可能有一些盲目性、偶然性，但是教师正好利用学生偶然设计出的三角形，作为验证条件的资源.在这一环节有一个细节让笔者印象深刻，笔者在每一组推选出来发言的同学举出的实例旁边都注上了发言同学的名字，这一举动让组内其他同学们群情激奋，特别是发言同学，成就感油然而生.学生是“问题解决”教学的主体，教学目标不是依赖教师的传递、学生的被动接受而实现的，而是由学生主动发现、积极探索、实践体验、解决问题而实现的.只有当学生全身心投入到解决问题中去，课堂效率就已经最大化了.
二、合作交流，经历解决过程
4.教师：刚才我们同学已经发现了这么多的三角形都可以被分割成两个等腰三角形，提出问题6：“任何三角形都能被分割成两个等腰三角形吗？”
学生7：不能.
教师：为什么不能，你能举出反例吗？
学生7：等边三角形就不能分割.
教师（竖起大拇指）：厉害.反应如此之快，老师都要跟不上你们的节奏了.
要说明一个命题是假命题，只要能举出反例就可以.既然不是所有三角形都能被分割成两个等腰三角形，那么哪些可以被分割呢？这就是我们今天要学习的课题.（投影出示课题）：“探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件”.
以前我们同学做数学题都是题目给出条件，同学们来研究结论.今天我们要反其道而行之，结论已经告诉给大家，分割成两个等腰三角形，但条件不知道，到底要怎样的三角形才可以添一条线段后分割成功？
设计意图多数学生会认为不可以，但是不太拿得定结论的正确性.通过学生对反例的思考，得出要分割成两个等腰三角形是有条件的.紧跟着让学生产生疑问：可以分割的条件会是什么？这样一来下一个问题很自然由学生自己提出，从而问题也由封闭式走向了半开放式.在解决封闭性问题类型时，教师是“闻道在先”、“学有专攻”的引导者，因此教师的主导作用更为突出一些；但在开放性的问题的解决中，学生是主宰，教师有时要失去某些优势，只能扮演协助者、参与者的角色.
教师首先将文字表达数学符号化.出示如图5，△ABC中，设∠A=α，∠B=β，∠C=γ.
教师：刚才我们在分割的时候都是先作一个等腰三角形，然后验证另一个也是等腰三角形，那么现在这种方法还可行吗？
学生8：应该可以.
教师：那我们来试一下.作∠BAD=β，那么△ABD就已经成为一个等腰三角形了，接下来要使△ADC也是一个等腰三角形，要满足什么条件呢？
学生七嘴八舌在下面讨论，教师适时点拨分类思想后请学生总结发现如下.
△ACD为等腰三角形的各种情况：∠ADC=2β，∠DAC=α-β.
（1）∠ADC=∠C，即γ=2β，原三角形有一个角为另一个角的2倍；
（2）∠ADC=∠CAD，即α=3β，原三角形有一个角为另一个角的3倍；
（3）∠C=∠CAD，即α=90°，原三角形是直角三角形.
设计意图数学建模对于八年级的学生来说，是有一定的困难的，教师如果说成“把文字语言变成符号语言”学生可能更能接受些.结合图形，与学生一起分析如何把文字语言转化为符号语言，让学生了解建模的意义和重要性.对照图形，学生应该可以比较容易得出其他相关内角的表示法，在教师的引导下用希腊字母表示其他几个内角.通过角度的表示，把重心逐步转到证明△ACD是等腰三角形的条件上来，让学生明白并不需要证两个等腰，只要先画一个等腰三角形、再证另一个也是等腰三角形即可.判定等腰三角形的条件学生比较熟悉，但是学生可能会只考虑图上看起来象的一种情况，适当引导学生不要被图形所左右，要作分类讨论，学生可以得出△ACD为等腰三角形的三种情况.
6.教师：条件已经成功探索出来，这也可以说使我们大胆的猜想.猜想要变成正确的结论，还需要严密的验证工作.下面我们一一来验证一下这三个条件是否都是正确的.其实聪明的同学可能已经发现了换一下条件和结论的顺序，这个问题就是我们上课开始时候在谈论的问题.
验证发现问题7：“如图6，已知△ABC中，∠B=β，∠C=2β，问：△ABC一定能够被分割成两个等腰三角形吗？”
学生9：只要从∠C中分出一个β就可以了.
教师示范第一个条件的验证正确性的说明方法，在教师的启发下，又有了前面的一系列探究活动，学生对于验证已经得心应手，很快两个条件的正确性都验证完成：（2）中的猜想是直接分3倍角、（3）中的猜想是直接分直角.为此学生心中喜悦之情溢于言表，课堂气氛达到高潮. 设计意图等腰三角形的证明对许多学生而言是比较简单的，只是这里可能有聪明的学生会想产生质疑，即万一α<β怎么办？如果学生提出来这个问题，教师可以将钝角三角形的情形作展开，如果学生不质疑，则教师应在此地埋下伏笔.
7.继续追问题8：“如图7，在△ABC中，∠A=36°，∠B=96°，∠C=48°，可以分割成两个等腰三角形吗？”，请试一试.
很多学生比较容易用刚才得到的结论对号入座，可是动手画线实践却发现不能分两个等腰三角形，心里会比较疑惑.
设计意图本题的设置是为了说明在“一个角为另一个角的2倍”这个条件下的一种特殊情况.这样的设计，让学生体验探究是一个逐步深入的过程.
教师进一步启发：问题在哪里呢？条件还缺点什么呢？
这时多数学生产生了顿感：“三角形有一个角是另一个角的2倍时，不一定能够被分割成两个等腰三角形.”
教师再启发性追问：需要增加什么条件呢？这个角有什么限制呢？
8.提出问题9：“你会计算“当原三角形一个角为另一个角2倍时，若分割成两个等腰三角形”，第三角的取值范围吗？”
教师作适当的提示，如图8，在△ABC中，因为x+3β=180，由作图知∠A>∠B，学生通过解不等式x>180-x3，很快就计算出x>45，这样学生探究出这个第三角的限制条件是一定要大于45.
设计意图让学生在质疑之后产生学习的强烈愿望，更让学生感受数学推理的乐趣，体会数学的美.
三、应用新知，品尝探索成果
教师再让学生应用新知（用新的眼光）来验证上面六位同学发现……
9.出示拓展性问题10：（2008年宁波市中考题）
（1）如图9中，∠C=90°.请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）.
（2）已知内角度数的两个三角形如图10、图11所示.请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.
设计意图经过刚才的一番探索，同学们对新知识的应用已成竹在胸.就连平时看上去有畏惧情绪的中考题也似乎变得亲切了.有了知识的积累，解决相应的问题就变成了学生的快乐.
教学思考
首先，教师要关注教学内容的“问题化”.美国著名数学家哈尔莫斯说过，问题数学的心脏，有了问题，思维才有了方向；有了问题，思维才有了动力；有了问题，思维才有了创新.而且教学内容“问题化”是把“内容本位”教学转化为“学生本位”教学的一个有效策略.在整个授课过程中，学生由于受到未知领域的挑战，思维始终处于活跃的状态.
其次，教师要处理好教学内容与“问题连续体”的关系.因为在问题解决教学中，问题的分类是一个值得重视的关键成分.不同的问题具有不同的功能，提出什么类型的问题可以体现什么样的教学价值观.在本案例中，我们发现问题呈现递进式、连贯式，这正是著名学者梅克所提出的“问题连续体”的运用.随着探究的深入，学生渐渐习惯提出问题，解决问题.无论在哪个环节，教师始终把“探究”放到了学习的首位.一个个大大小小问题的解决，都由学生亲自动手操作、动脑验证而解决.古语说的好：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”.因此，学生，可以说每一个学生在历经起初面对课题时的无知懵懂，到逐渐清晰，再到豁然开朗的各个阶段后，所获得的成功并非仅仅局限在课题解决方案，这一区区数学味道很浓的成果上.解决问题过程本身，留给学生的恐怕比这一课题结果来得更有意义，印象更深刻.
培养学生的“问题解决”能力是教育的核心目标，新课程改革的目的和宗旨都离不开学生问题解决能力的培养，缺乏了这一基础性能力的培养，新课程改革很可能陷入一种“钟摆”状态，得不到持续和深入的发展.对广大一线教师而言，如何把新课程的理念转化为具体的教育实践，需要各种行动策略，而“问题解决”教学模式正是为这种转化指明了一个方向，即任何教学策略最终目的之一都是要实现学生的问题意识和问题解决能力的培养.它关注学生对问题解决的过程以及这一过程中学生能力、态度和情感的培养.
作者简介姚志敏，浙江绍兴市柯桥区初中数学教研员，正教授级中学高级教师、浙江省特级教师、浙江省优秀教研员、浙派名师首批导师、杭州市与绍兴市等地名师班导师等.主要研究方向是新理念下的初中数学核心概念课、高效复习课与探究活动课课例研究.有30多篇教科研论文、案例发表在国家级及国家级核心期刊上，多篇论文被人民大学报刊复印资料转载.
我们看到无论是“问题解决”教学理念还是“综合与实践”课程，两者都把着陆点放在“问题”上.课程改革所要建构的课程目标是：“改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程.”该目标表明新课程摒弃以往单一的课程目标，倡导一种综合的课程目标，即在重视学生掌握基础知识和基本技能的基础上，着眼于学生能力、情感、态度和价值观等的整体发展.“问题解决”教学的终极目标是培养有效的问题解决者.
在“问题解决”教学中，由于问题是系列的多类型的体系，它把基础知识基本技能的掌握与能力培养结合起来，把书本只是与经验的改造或生长结合起来，把一般能力与创造能力结合起来，这正是我国基础教育课程改革所孜孜追求的目标.
下面以笔者最近在杭州、宁波、成都与青岛等地的“全国初中数学名师课堂教学展示”活动中所执教的一节综合实践课“探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件”为例，说明在“问题解决”理念下课堂模式的运用.这节课研究活动的开展主要依赖于数学基础知识和基本技能，研究的结果具有一般借鉴性.下面以此案例为着落点，分析数学综合实践课的课堂结构.
图1教学实录
一、创设情境明确问题主体
1.教师出示一张普通三角形图片，提出问题1：“如图1，你能把这张三角形图片分成两个三角形，并涂上不同颜色吗？”
学生1：能，只要画一条线就可以.
教师：这条线从哪里出发呢？随便都可以吗？
学生1：不是的，必须从顶点出发，但是可以从任意一个顶点出发.
教师：回答得非常好，抓住了分割的特点“从顶点出发引一条线段就可以把一个三角形分成两个三角形”.那么如果老师想要大家把这个三角形分割成两个等腰三角形，你能做到吗？
学生都说：不行，因为没有具体的角度就没有办法操作.
教师：没错，这个三角形的内角度数都是未知的，我们无从下手.那么老师给你一个知道内角度数的三角形，大家来试试.
设计意图课堂伊始，教师提出的问题不宜太难，这样就会打击学生听课的热情.故设置起点较低的问题，让每一个学生都有回答的欲望.但正是借助于这样一个简单的问题将学生的思路引向正确的方向.
提出问题2：“小区内有一个三角形小花坛（如图2），现在想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花.已知花坛的三个角分别为36°、72°、72°，你可以帮忙办到吗？”
学生2（立刻举手）：可以.
教师：你为什么这么快就能回答这个问题？
学生2：看角的度数就知道一定可以办到，只要把其中一个72°的角平分就可以了.
教师：哦，为什么这样分就一定是两个等腰三角形了？
学生2，因为∠A是36°，如果平分∠B，那么就会和∠A相等，出现一个等腰三角形.
教师：很好，上面的三角形已经是等腰三角形了，可是怎么说明下面这个三角形也是等要三角形呢？
学生2：可以用三角形内角和为180°来说明还有一个角也是72°.
教师：恩，你是用内角和来说明，还有其他方法吗？
学生3：还可以用外角与内角和之间的关系说明.因为上面已经有2个36°的内角，那么这个三角形的外角恰好是72°，与∠C相等.
教师：同学们真是非常聪明.这两位同学用不同的方法解决了问题.现在我们回过头来看看这个问题解决的过程（教师总结方法）：“①从某个项点出发引一条线段先画出一个等腰三角形，然后证明余下的这个三角形也是一个等腰三角形”.这是我们的第一个共识.现在老师再问一下，这条分割的线段能不能从别的顶点出发？
学生4：还可以从C点出发作一条角平分线，道理跟刚才一样.
教师：那能从A出发吗？
学生4：不能，因为∠A在三个内角中是最小的一个角，再分割的话不可能跟其他两个内角度数相等.
教师：分析的很有道理，这位同学其实帮我们说出了分割的第二个共识：“②最小角不再分割”.
设计意图在“问题解决”中，问题的提出不是任意的，而是“有目的的”，要有恰当的学习目标定向.在“问题解决”中所提出的问题会是系列问题，但起始问题从学生比较熟悉的图形入手，让学生发现把一个本身是等腰的三角形分割成两个等腰三角形是比较容易的，教师及时总结概括分割时的共同特征，这样就为本节课的后续发展打好基础.
教师：刚才大家分割的三角形是等腰三角形，那如果不是一个等腰三角形，你还能办到吗？提出问题3：“如图3，如果三角形的三个内角改成25°、50°、105°，你还能分吗？”
学生5：可以.
教师：今天我们班的学生真的很棒，老师的问题刚出来，立刻就被同学们“消灭”.我们请这位同学到讲台上来讲解一下.
学生5（走上台去）：只要从105°这个角里面先分出一个25°的小角，使左边构成一个等腰三角形，再验证一下右边的也是等要三角形就可以了.
教师：那么大家看看右边的是吗？
学生：是的，因为两个25°相加刚好是等于∠C.
教师：果然如此，看来难不到大家，我再换一个三角形试试.再提出问题4“如图4，如果三角形的三个内角改成20°、60°、100°，你还能分吗？”
学生6：那不是一样吗？只要从60°角中分一个20°就行了. 教师：我们班同学的反应实在太快.我们来看一下这样分可以吗？
学生集体验证发现分割的正确性.
设计意图从特殊三角形改成一般三角形，学生的思维更进一层，并且能让学生在实践过程中学会分类讨论.
3.教师：两个都顺利完成了分割，接下去老师要出难题了.我不再给大家提供三角形了，提出问题5：“请你自己来设计一个三角形，使这个三角形都可以被分割成两个等腰三角形.现在你还能很快完成吗？”
学生：陷入短暂沉思后开始动手尝试操作设计.
几分钟后，学生一一举手发言，教师把每一位发言同学发现的三角形的三个内角度数在黑板上板书，并注明发现者的姓氏.
（1）苏同学：45°、45°、90°；
（2）褚同学：30°、60°、90°；
（3）郑同学：36°、36、108°；
（4）刘同学：20°、40°、120°
（5）张同学：10°、30°、140°；
（6）郁同学：24°、72°、84°.
学生群情激奋，举手此起彼伏.
教师：我相信每位同学都有了自己的发现，由于时间关系我们不能把每一个三角形都写在黑板上.特别要表扬这些同学的发现，这几位同学真的很了不起，发现的三角形的内角度数难度这么大，老师很佩服你们，真聪明.
设计意图通过举例培养学生的逆向思维，学生在设计过程中可能有一些盲目性、偶然性，但是教师正好利用学生偶然设计出的三角形，作为验证条件的资源.在这一环节有一个细节让笔者印象深刻，笔者在每一组推选出来发言的同学举出的实例旁边都注上了发言同学的名字，这一举动让组内其他同学们群情激奋，特别是发言同学，成就感油然而生.学生是“问题解决”教学的主体，教学目标不是依赖教师的传递、学生的被动接受而实现的，而是由学生主动发现、积极探索、实践体验、解决问题而实现的.只有当学生全身心投入到解决问题中去，课堂效率就已经最大化了.
二、合作交流，经历解决过程
4.教师：刚才我们同学已经发现了这么多的三角形都可以被分割成两个等腰三角形，提出问题6：“任何三角形都能被分割成两个等腰三角形吗？”
学生7：不能.
教师：为什么不能，你能举出反例吗？
学生7：等边三角形就不能分割.
教师（竖起大拇指）：厉害.反应如此之快，老师都要跟不上你们的节奏了.
要说明一个命题是假命题，只要能举出反例就可以.既然不是所有三角形都能被分割成两个等腰三角形，那么哪些可以被分割呢？这就是我们今天要学习的课题.（投影出示课题）：“探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件”.
以前我们同学做数学题都是题目给出条件，同学们来研究结论.今天我们要反其道而行之，结论已经告诉给大家，分割成两个等腰三角形，但条件不知道，到底要怎样的三角形才可以添一条线段后分割成功？
设计意图多数学生会认为不可以，但是不太拿得定结论的正确性.通过学生对反例的思考，得出要分割成两个等腰三角形是有条件的.紧跟着让学生产生疑问：可以分割的条件会是什么？这样一来下一个问题很自然由学生自己提出，从而问题也由封闭式走向了半开放式.在解决封闭性问题类型时，教师是“闻道在先”、“学有专攻”的引导者，因此教师的主导作用更为突出一些；但在开放性的问题的解决中，学生是主宰，教师有时要失去某些优势，只能扮演协助者、参与者的角色.
教师首先将文字表达数学符号化.出示如图5，△ABC中，设∠A=α，∠B=β，∠C=γ.
教师：刚才我们在分割的时候都是先作一个等腰三角形，然后验证另一个也是等腰三角形，那么现在这种方法还可行吗？
学生8：应该可以.
教师：那我们来试一下.作∠BAD=β，那么△ABD就已经成为一个等腰三角形了，接下来要使△ADC也是一个等腰三角形，要满足什么条件呢？
学生七嘴八舌在下面讨论，教师适时点拨分类思想后请学生总结发现如下.
△ACD为等腰三角形的各种情况：∠ADC=2β，∠DAC=α-β.
（1）∠ADC=∠C，即γ=2β，原三角形有一个角为另一个角的2倍；
（2）∠ADC=∠CAD，即α=3β，原三角形有一个角为另一个角的3倍；
（3）∠C=∠CAD，即α=90°，原三角形是直角三角形.
设计意图数学建模对于八年级的学生来说，是有一定的困难的，教师如果说成“把文字语言变成符号语言”学生可能更能接受些.结合图形，与学生一起分析如何把文字语言转化为符号语言，让学生了解建模的意义和重要性.对照图形，学生应该可以比较容易得出其他相关内角的表示法，在教师的引导下用希腊字母表示其他几个内角.通过角度的表示，把重心逐步转到证明△ACD是等腰三角形的条件上来，让学生明白并不需要证两个等腰，只要先画一个等腰三角形、再证另一个也是等腰三角形即可.判定等腰三角形的条件学生比较熟悉，但是学生可能会只考虑图上看起来象的一种情况，适当引导学生不要被图形所左右，要作分类讨论，学生可以得出△ACD为等腰三角形的三种情况.
6.教师：条件已经成功探索出来，这也可以说使我们大胆的猜想.猜想要变成正确的结论，还需要严密的验证工作.下面我们一一来验证一下这三个条件是否都是正确的.其实聪明的同学可能已经发现了换一下条件和结论的顺序，这个问题就是我们上课开始时候在谈论的问题.
验证发现问题7：“如图6，已知△ABC中，∠B=β，∠C=2β，问：△ABC一定能够被分割成两个等腰三角形吗？”
学生9：只要从∠C中分出一个β就可以了.
教师示范第一个条件的验证正确性的说明方法，在教师的启发下，又有了前面的一系列探究活动，学生对于验证已经得心应手，很快两个条件的正确性都验证完成：（2）中的猜想是直接分3倍角、（3）中的猜想是直接分直角.为此学生心中喜悦之情溢于言表，课堂气氛达到高潮. 设计意图等腰三角形的证明对许多学生而言是比较简单的，只是这里可能有聪明的学生会想产生质疑，即万一α<β怎么办？如果学生提出来这个问题，教师可以将钝角三角形的情形作展开，如果学生不质疑，则教师应在此地埋下伏笔.
7.继续追问题8：“如图7，在△ABC中，∠A=36°，∠B=96°，∠C=48°，可以分割成两个等腰三角形吗？”，请试一试.
很多学生比较容易用刚才得到的结论对号入座，可是动手画线实践却发现不能分两个等腰三角形，心里会比较疑惑.
设计意图本题的设置是为了说明在“一个角为另一个角的2倍”这个条件下的一种特殊情况.这样的设计，让学生体验探究是一个逐步深入的过程.
教师进一步启发：问题在哪里呢？条件还缺点什么呢？
这时多数学生产生了顿感：“三角形有一个角是另一个角的2倍时，不一定能够被分割成两个等腰三角形.”
教师再启发性追问：需要增加什么条件呢？这个角有什么限制呢？
8.提出问题9：“你会计算“当原三角形一个角为另一个角2倍时，若分割成两个等腰三角形”，第三角的取值范围吗？”
教师作适当的提示，如图8，在△ABC中，因为x+3β=180，由作图知∠A>∠B，学生通过解不等式x>180-x3，很快就计算出x>45，这样学生探究出这个第三角的限制条件是一定要大于45.
设计意图让学生在质疑之后产生学习的强烈愿望，更让学生感受数学推理的乐趣，体会数学的美.
三、应用新知，品尝探索成果
教师再让学生应用新知（用新的眼光）来验证上面六位同学发现……
9.出示拓展性问题10：（2008年宁波市中考题）
（1）如图9中，∠C=90°.请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）.
（2）已知内角度数的两个三角形如图10、图11所示.请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.
设计意图经过刚才的一番探索，同学们对新知识的应用已成竹在胸.就连平时看上去有畏惧情绪的中考题也似乎变得亲切了.有了知识的积累，解决相应的问题就变成了学生的快乐.
教学思考
首先，教师要关注教学内容的“问题化”.美国著名数学家哈尔莫斯说过，问题数学的心脏，有了问题，思维才有了方向；有了问题，思维才有了动力；有了问题，思维才有了创新.而且教学内容“问题化”是把“内容本位”教学转化为“学生本位”教学的一个有效策略.在整个授课过程中，学生由于受到未知领域的挑战，思维始终处于活跃的状态.
其次，教师要处理好教学内容与“问题连续体”的关系.因为在问题解决教学中，问题的分类是一个值得重视的关键成分.不同的问题具有不同的功能，提出什么类型的问题可以体现什么样的教学价值观.在本案例中，我们发现问题呈现递进式、连贯式，这正是著名学者梅克所提出的“问题连续体”的运用.随着探究的深入，学生渐渐习惯提出问题，解决问题.无论在哪个环节，教师始终把“探究”放到了学习的首位.一个个大大小小问题的解决，都由学生亲自动手操作、动脑验证而解决.古语说的好：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”.因此，学生，可以说每一个学生在历经起初面对课题时的无知懵懂，到逐渐清晰，再到豁然开朗的各个阶段后，所获得的成功并非仅仅局限在课题解决方案，这一区区数学味道很浓的成果上.解决问题过程本身，留给学生的恐怕比这一课题结果来得更有意义，印象更深刻.
培养学生的“问题解决”能力是教育的核心目标，新课程改革的目的和宗旨都离不开学生问题解决能力的培养，缺乏了这一基础性能力的培养，新课程改革很可能陷入一种“钟摆”状态，得不到持续和深入的发展.对广大一线教师而言，如何把新课程的理念转化为具体的教育实践，需要各种行动策略，而“问题解决”教学模式正是为这种转化指明了一个方向，即任何教学策略最终目的之一都是要实现学生的问题意识和问题解决能力的培养.它关注学生对问题解决的过程以及这一过程中学生能力、态度和情感的培养.
作者简介姚志敏，浙江绍兴市柯桥区初中数学教研员，正教授级中学高级教师、浙江省特级教师、浙江省优秀教研员、浙派名师首批导师、杭州市与绍兴市等地名师班导师等.主要研究方向是新理念下的初中数学核心概念课、高效复习课与探究活动课课例研究.有30多篇教科研论文、案例发表在国家级及国家级核心期刊上，多篇论文被人民大学报刊复印资料转载.