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2014年巴西世界杯足球赛点燃了大众对足球的热情，茶余饭后人们都在关注世界杯，关注每一个精彩的射门.用数学的观点审视，足球的射门十分讲究角度，虽然角度越大，射中率越高，但角度太正，射出的球却毫无威胁，会被门将轻松“没收”.要想攻破门将的“十指关”，射门的角度必须“刁钻”.2014年淄博市的中考数学，就为数万名考生奉献了一道和射门角度有关的“压轴”大餐.本题一是在通过热点问题考察学生综合运用数学的核心知识（平面直角坐标系、圆周角定理、圆的切线的性质、垂径定理、三角形外角定理、勾股定理、相似三角形、解直角三角形、三角函数、方程等）分析问题、解决问题的同时，还借助动态情境考察学生的分类思想、方程思想、模型思想以及重要的数学方法——构造法.二是从选拔学生的角度看，具有很高的区分度.从某种意义上讲，这道题还为初高中衔接教学提供了一个经典的范例.是近几年难得一见的好题之一.
1原题呈现
如图1，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.
（1）使∠APB=30°的点P有个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由.
2试题分析
题目本身并未提到足球，但看到原题，我首先想到的却是足球射门，如果我们约定在球场所在平面进行研究，把线段AB看成是足球门的话，点P则代表足球运动员，第（1）问就是问球场内使得入射角度∠APB=30°的点P有多少个？第（2）问就是运动员沿着y轴带球，求使得入射角度∠APB=30°的点P的坐标，第（3）问则看成运动员沿着y轴带球，何时入射角度最大？这样，我们就可以构造辅助圆来解题.要构造出30°的圆周角，我们可以利用定理“同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”，通过构造60°的圆心角来完成.有了辅助圆，问题就会迎刃而解.第一问利用定理“同弧或等弧所对的圆周角相等”，不难发现有无数个点P使∠APB=30°；第二问就是求辅助圆与y轴的交点；第三问则要重新构造一个与y轴相切的辅助圆，切点就是所求点P.
3试题解答
解法1（1）无数个.
（2）如图2，以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，则点C的坐标为（3，23），以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1，P2，此时∠AP1B=∠AP2B=30°，⊙C的半径为4，过点C作y的垂线CD，垂足为D，因为CP2=4，CD=3，所以DP2=42-32=7.所以P2（0，23-7），P1（0，23+7）.
同理，当P点在y轴负半轴上时，可得P3（0，-23+7），P4（0，-23-7）.
（3）当过点A，B的⊙D与y轴相切于点P时，∠APB最大.如图3，⊙D的半径为3，
连接DA，作DE垂直于x轴，垂足为E，得DE=DA2-AE2=32-22=5，所以P（0，5）.
当点P在y轴负半轴上时，可得P（0，-5）.
理由：在y轴正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA，MB，MB交⊙D于点N，连接NA，则∠APB=∠ANB，因为∠ANB是△AMN的外角，所以∠ANB>∠AMB，所以∠APB>∠AMB.若点P在y轴的负半轴上，同理可证得∠APB>∠AMB.
对于（2）、（3）下面给出解法2（2）如图4，过点A作PB的垂线，垂足为C，设OP=b，在Rt△AOP和Rt△BOP中，由勾股定理可得：PA=OP2+OA2=b2+1，
PB=OP2+OB2=b2+25，
在Rt△APC中，∠APC=30°，所以AC=12b2+1，由△ABC∽△PBO可得：ACAB=POPB，
即12b2+14=bb2+25，整理得b4-38b2+25=0.
解得b2=19±421，所以b=23±7，
所以P1（0，23+7），P2（0，23-7）.
由对称性可得P3（0，-23+7），P4（0，-23-7）.
（3）只需把第（2）问中的“∠APC=30°”换成“∠APC=α的值”0°<α<90°，
由△ABC∽△PBO可得：ACAB=POPB，
所以AC=AB·POPB=4bb2+25.
因为sinα=ACAB=4bb2+25b2+1=4bb2+25b2+1
=4bb4+26b2+25=4b2+26+25b2=
4b-5b2+36≤46=23，当b-5b2=0，即当b=±5时，因为0°<α<90°，sinα取得最大值，此时，∠APC=α的值最大.所以P（0，5）或P（0，-5）.
4深入研究
4.1规律探究
其实，足球的入射角度问题，和物体的最大视角问题属于同一个数学模型.最大视角问题，也称米勒问题.1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB=3米，立在一个底座上，底座的高BC=22米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地17米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点.在米勒的家乡哥尼斯堡，该问题又被称作雷奇奥莫塔努斯极大值问题，最终都是由当时的另一位数学家罗斯（Ad·Lorsch）用几何方法（辅助圆）解决的.他根据直线和圆的位置关系，分析发现：图5如图5：过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，此时视角最大.要求EM的长，可以转化为求弦的弦心距.根据图中的数据可以求得该圆的半径是2米，然后根据勾股定理即可求解.数学家罗斯（Ad·Lorsch）的解法，就是我们的解法1. 通过上述解析，我们不难发现两种解法的优劣.虽然解法二不用辅助圆也能求解，但过程很复杂，很多考生在列出方程或找出关系之后，耗费大量时间却无法得到最后的答案.其实，辅助圆也是辅助线中的一种，对于本题，从题设和结论来看似乎与圆没有什么关系，此时如果受到思维定势的影响，可能解题就会束手无策.若能构造辅助圆，然后再运用圆的定义、性质，便能够顺利地建立起条件与结论之间的联系，进而找到简捷、巧妙的解题方法，从而“圆”满地解决问题.可见，解决本题的关键是构造辅助圆.首先是构造经过A、B两点的圆，这样的圆有无数个，圆心都在线段AB的垂直平分线上，然后是构造圆周角为30°的圆，而想到60°的圆心角是关键.点P在y轴上移动，圆由大变小，由小变大，当圆与y轴相交时，交点就是第二问中点P的位置，当圆与y轴相切时，切点就是第三问中点P的位置，可见解决本题时要让“圆”动起来，这样便于观察，易于操作和验证.
本题的设计遵循了从易到难的命题规律.第（1）问难度较低，属于感知水平，只要学生用手中的三角板摆弄几下，就不难找到答案.第（2）问难度中等，要具备一定的分析、综合和数学建模能力.第（3）问难度较大，涉及“极限”的思想，这在中考题中还比较难得.在笔者看来，“极限”作为重要的数学思想，在初中阶段作必要渗透不只是为顺利衔接高中阶段极限及与之相关知识如（导数的学习）作铺垫，也是为更深层次的数学学习做好准备.
4.2其他解法
在阅卷过程中，还发现了个别同学用高中知识求解，思路如下：
解法3利用三角函数公式求解，如图4，可用解法二中的相关图形和数据
（2）因为∠PAO是△PAB的外角，所以∠APB=∠PAO-∠PBO，tan∠APB=tan（∠PAO-∠PBO）=
tan∠PAO-tan∠PBO1+tan∠PAO·tan∠PBO=b-b51+b·b5=4b5+b2=tan30°=33，解得：b=23±7，其他同解法2.
（3）tan∠APB=tan∠PAO-∠PBO=
tan∠PAO-tan∠PBO1+tan∠PAO·tan∠PBO=b-b51+b·b5=4b5+b2=
45b+b.因为5b+b≥25，所以45b+b≤425.
令5b+b=25，解得b=±5时，tan∠APB最大，此时，∠APB最大所以P（0，5）或P（0，-5）.
说明上述解法还有一种思路是直接利用“∠APB=∠OPB-∠OPA”，运用两角差的正切公式求解.
解法4利用余弦定理求解，如图4，可用解法2中的相关图形和数据.
在△PAB中，由余弦定理得：AB2=PA2+PB2-2PA·PB·cos∠APB，即：42=b2+1+b2+25-2×b2+1b2+25×cos30°.
整理得：b4-38b2+25=0，后面同解法2.
解法5利用圆的解析式求解.
（2）如图2，可用解法一中的图形和辅助线求出点C的坐标为（3，23）和圆C的半径CA=CB=4，所以⊙C的解析式为：x-32+y-232=42，令x=0，解得y=23±7，后同解法1.
4.3殊途同归
比较各种解法，第（2）问中无论是运用余弦定理、三角函数公式，还是用圆的解析式求解，最终都会回到解法二运用三角形相似所得出的方程.在阅卷中还遇到学生对第（3）问的两种解法，方法如下：
作点A关于y轴的对称点A′，连接PA′，当PA′与PB垂直时，∠APB最大.此时，由△A′PO∽△PBO可得：OP2=OA′·OB=1×5=5，或者直接利用△APO∽△PBO可得OP2=OA·OB=1×5=5求解.所以OP=±5时，∠APB最大所以P（0，5）或P（0，-5）
毫无疑问，这两种解法都能得到正确答案，但道理何在？只要我们回到解法一的辅助圆，道理自在其中.还有，解法三中的第（3）问，用两角差的正切公式求解，仔细分析一下，也是如此.
tan∠APB=tan∠PAO-∠PBO=
tan∠PAO-tan∠PBO1+tan∠PAO·tan∠PBO=OPOA-OPOB1+OPOA·OPOB=
AB1+OA·OBOP，分子AB为定值，而分母OP+OA·OBOP≥2OA·OB，当且仅当OP=OA·OBOP时，取“=”号，即有：OP2=OA·OB，这几种解法都同归殊途于OP2=OA·OB，结果都必定为OP=OA·OB.
4.4追根溯源
掩卷长思，不禁想起1986年的全国高考试卷的第五大题，它们竟然如此相似，其本质是一样的，为了便于比较，特将原题摘录如下：
（1986年全国理工农医类高考卷）如图6，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B.试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值.
通过比较，我们不难发现，这两题的已知条件和最终结论都是一致的，只是呈现形式有所区别.经过网络搜索，我们还发现，这类最大角度问题最早出现在1984年西安市中学生数学竞赛中，后在和1986年的全国高考试卷、2005年的天津高考试卷、浙江高考试卷、2010年的江苏高考试卷中相继出现，2001年希望杯竞赛·高二、2004年和2006年的全国高中数学联赛也出现过此类问题.但在中考题中出现还是第一次.
或许有老师会说，20多年前的高考题、竞赛题再次走进中考考场，这公平吗？
其实不然，这道题还确实体现了中考的公平.理由是：在运动中探究角度的最大值，几乎所有的初中教辅资料上都没有见过，属于原创，且表述简洁、明了.能较好地考察学生自主探究、解决问题的能力，这正是新课标所倡导的；本题考察了初中数学的核心知识和基本的数学思想，关注了学生的基本数学活动经验，紧扣课程标准.尤其值得一提的是，该题第（1）、（2）小问的设计，把角度具体化，层层递进，意在引导学生运用辅助圆，为最终解决第（3）问搭建了一个梯子.这样设计更加贴近初中生的认知水平.从这个角度看，作为本卷的压轴题同样也体现了中考命题的公平公正.
5几点启示
1.中考考学生也是考教师.因此，教师应加强对新课标和各地考题的研究.教师研究的范围要广，不仅要研究它考查的内容，考察的深度，难度及解题思路，还应加强对考题的变式研究，提倡“陈题新编，陈题新做”，“小题大做”，用研究的成果来指导教学实践，使教学的针对性更强，训练的效果更好.2.平时教学中，要注重对“数学活动”和“课题学习”的教学，舍得在这些地方花时间.“课题学习”作为初中数学四大领域之一，它是一种新型的学习活动，也成了新课程标准的一大特色.它可以弥补数学学科实践能力的不足，加强实践环节，重视数学思维的训练，不断积累数学活动经验，促进学生兴趣、个性、特长等自主、和谐地发展，从而全面提高学生的素质.3.在复习的过程中，要引导学生用联系的观点看问题，要将相关知识点进行有机整合，串联起来，建立知识网络，形成能力.4.教师应充分认识课本例习题所蕴涵的价值，善于捕捉典型例习题的求解信息加以研究，挖掘出所蕴含的基本数学思想和方法，引导学生进行解题后的反思.在平时课堂教学中能有意识地对其通过师生共探的方式展示，不仅有利于引导学生更好地利用课本，突出教材的基础地位，同时有利于减轻学生无效的学习负担，提升学生的创新能力.
作者简介张宇清，中学高级教师.淄博市数学学科带头人、教学能手.淄博市优秀教师、家庭教育先进个人.曾获市级优质课评选一等奖第一名，省优质课评选一等奖，多次执教市级观摩课、公开课.参与主持的市级课题“探究—主体参与型”课堂教学模式的研究，获省优秀教研成果一等奖.参与主编十余本教辅用书，发表40余篇论文.
1原题呈现
如图1，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.
（1）使∠APB=30°的点P有个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由.
2试题分析
题目本身并未提到足球，但看到原题，我首先想到的却是足球射门，如果我们约定在球场所在平面进行研究，把线段AB看成是足球门的话，点P则代表足球运动员，第（1）问就是问球场内使得入射角度∠APB=30°的点P有多少个？第（2）问就是运动员沿着y轴带球，求使得入射角度∠APB=30°的点P的坐标，第（3）问则看成运动员沿着y轴带球，何时入射角度最大？这样，我们就可以构造辅助圆来解题.要构造出30°的圆周角，我们可以利用定理“同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”，通过构造60°的圆心角来完成.有了辅助圆，问题就会迎刃而解.第一问利用定理“同弧或等弧所对的圆周角相等”，不难发现有无数个点P使∠APB=30°；第二问就是求辅助圆与y轴的交点；第三问则要重新构造一个与y轴相切的辅助圆，切点就是所求点P.
3试题解答
解法1（1）无数个.
（2）如图2，以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，则点C的坐标为（3，23），以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1，P2，此时∠AP1B=∠AP2B=30°，⊙C的半径为4，过点C作y的垂线CD，垂足为D，因为CP2=4，CD=3，所以DP2=42-32=7.所以P2（0，23-7），P1（0，23+7）.
同理，当P点在y轴负半轴上时，可得P3（0，-23+7），P4（0，-23-7）.
（3）当过点A，B的⊙D与y轴相切于点P时，∠APB最大.如图3，⊙D的半径为3，
连接DA，作DE垂直于x轴，垂足为E，得DE=DA2-AE2=32-22=5，所以P（0，5）.
当点P在y轴负半轴上时，可得P（0，-5）.
理由：在y轴正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA，MB，MB交⊙D于点N，连接NA，则∠APB=∠ANB，因为∠ANB是△AMN的外角，所以∠ANB>∠AMB，所以∠APB>∠AMB.若点P在y轴的负半轴上，同理可证得∠APB>∠AMB.
对于（2）、（3）下面给出解法2（2）如图4，过点A作PB的垂线，垂足为C，设OP=b，在Rt△AOP和Rt△BOP中，由勾股定理可得：PA=OP2+OA2=b2+1，
PB=OP2+OB2=b2+25，
在Rt△APC中，∠APC=30°，所以AC=12b2+1，由△ABC∽△PBO可得：ACAB=POPB，
即12b2+14=bb2+25，整理得b4-38b2+25=0.
解得b2=19±421，所以b=23±7，
所以P1（0，23+7），P2（0，23-7）.
由对称性可得P3（0，-23+7），P4（0，-23-7）.
（3）只需把第（2）问中的“∠APC=30°”换成“∠APC=α的值”0°<α<90°，
由△ABC∽△PBO可得：ACAB=POPB，
所以AC=AB·POPB=4bb2+25.
因为sinα=ACAB=4bb2+25b2+1=4bb2+25b2+1
=4bb4+26b2+25=4b2+26+25b2=
4b-5b2+36≤46=23，当b-5b2=0，即当b=±5时，因为0°<α<90°，sinα取得最大值，此时，∠APC=α的值最大.所以P（0，5）或P（0，-5）.
4深入研究
4.1规律探究
其实，足球的入射角度问题，和物体的最大视角问题属于同一个数学模型.最大视角问题，也称米勒问题.1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB=3米，立在一个底座上，底座的高BC=22米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地17米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点.在米勒的家乡哥尼斯堡，该问题又被称作雷奇奥莫塔努斯极大值问题，最终都是由当时的另一位数学家罗斯（Ad·Lorsch）用几何方法（辅助圆）解决的.他根据直线和圆的位置关系，分析发现：图5如图5：过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，此时视角最大.要求EM的长，可以转化为求弦的弦心距.根据图中的数据可以求得该圆的半径是2米，然后根据勾股定理即可求解.数学家罗斯（Ad·Lorsch）的解法，就是我们的解法1. 通过上述解析，我们不难发现两种解法的优劣.虽然解法二不用辅助圆也能求解，但过程很复杂，很多考生在列出方程或找出关系之后，耗费大量时间却无法得到最后的答案.其实，辅助圆也是辅助线中的一种，对于本题，从题设和结论来看似乎与圆没有什么关系，此时如果受到思维定势的影响，可能解题就会束手无策.若能构造辅助圆，然后再运用圆的定义、性质，便能够顺利地建立起条件与结论之间的联系，进而找到简捷、巧妙的解题方法，从而“圆”满地解决问题.可见，解决本题的关键是构造辅助圆.首先是构造经过A、B两点的圆，这样的圆有无数个，圆心都在线段AB的垂直平分线上，然后是构造圆周角为30°的圆，而想到60°的圆心角是关键.点P在y轴上移动，圆由大变小，由小变大，当圆与y轴相交时，交点就是第二问中点P的位置，当圆与y轴相切时，切点就是第三问中点P的位置，可见解决本题时要让“圆”动起来，这样便于观察，易于操作和验证.
本题的设计遵循了从易到难的命题规律.第（1）问难度较低，属于感知水平，只要学生用手中的三角板摆弄几下，就不难找到答案.第（2）问难度中等，要具备一定的分析、综合和数学建模能力.第（3）问难度较大，涉及“极限”的思想，这在中考题中还比较难得.在笔者看来，“极限”作为重要的数学思想，在初中阶段作必要渗透不只是为顺利衔接高中阶段极限及与之相关知识如（导数的学习）作铺垫，也是为更深层次的数学学习做好准备.
4.2其他解法
在阅卷过程中，还发现了个别同学用高中知识求解，思路如下：
解法3利用三角函数公式求解，如图4，可用解法二中的相关图形和数据
（2）因为∠PAO是△PAB的外角，所以∠APB=∠PAO-∠PBO，tan∠APB=tan（∠PAO-∠PBO）=
tan∠PAO-tan∠PBO1+tan∠PAO·tan∠PBO=b-b51+b·b5=4b5+b2=tan30°=33，解得：b=23±7，其他同解法2.
（3）tan∠APB=tan∠PAO-∠PBO=
tan∠PAO-tan∠PBO1+tan∠PAO·tan∠PBO=b-b51+b·b5=4b5+b2=
45b+b.因为5b+b≥25，所以45b+b≤425.
令5b+b=25，解得b=±5时，tan∠APB最大，此时，∠APB最大所以P（0，5）或P（0，-5）.
说明上述解法还有一种思路是直接利用“∠APB=∠OPB-∠OPA”，运用两角差的正切公式求解.
解法4利用余弦定理求解，如图4，可用解法2中的相关图形和数据.
在△PAB中，由余弦定理得：AB2=PA2+PB2-2PA·PB·cos∠APB，即：42=b2+1+b2+25-2×b2+1b2+25×cos30°.
整理得：b4-38b2+25=0，后面同解法2.
解法5利用圆的解析式求解.
（2）如图2，可用解法一中的图形和辅助线求出点C的坐标为（3，23）和圆C的半径CA=CB=4，所以⊙C的解析式为：x-32+y-232=42，令x=0，解得y=23±7，后同解法1.
4.3殊途同归
比较各种解法，第（2）问中无论是运用余弦定理、三角函数公式，还是用圆的解析式求解，最终都会回到解法二运用三角形相似所得出的方程.在阅卷中还遇到学生对第（3）问的两种解法，方法如下：
作点A关于y轴的对称点A′，连接PA′，当PA′与PB垂直时，∠APB最大.此时，由△A′PO∽△PBO可得：OP2=OA′·OB=1×5=5，或者直接利用△APO∽△PBO可得OP2=OA·OB=1×5=5求解.所以OP=±5时，∠APB最大所以P（0，5）或P（0，-5）
毫无疑问，这两种解法都能得到正确答案，但道理何在？只要我们回到解法一的辅助圆，道理自在其中.还有，解法三中的第（3）问，用两角差的正切公式求解，仔细分析一下，也是如此.
tan∠APB=tan∠PAO-∠PBO=
tan∠PAO-tan∠PBO1+tan∠PAO·tan∠PBO=OPOA-OPOB1+OPOA·OPOB=
AB1+OA·OBOP，分子AB为定值，而分母OP+OA·OBOP≥2OA·OB，当且仅当OP=OA·OBOP时，取“=”号，即有：OP2=OA·OB，这几种解法都同归殊途于OP2=OA·OB，结果都必定为OP=OA·OB.
4.4追根溯源
掩卷长思，不禁想起1986年的全国高考试卷的第五大题，它们竟然如此相似，其本质是一样的，为了便于比较，特将原题摘录如下：
（1986年全国理工农医类高考卷）如图6，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B.试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值.
通过比较，我们不难发现，这两题的已知条件和最终结论都是一致的，只是呈现形式有所区别.经过网络搜索，我们还发现，这类最大角度问题最早出现在1984年西安市中学生数学竞赛中，后在和1986年的全国高考试卷、2005年的天津高考试卷、浙江高考试卷、2010年的江苏高考试卷中相继出现，2001年希望杯竞赛·高二、2004年和2006年的全国高中数学联赛也出现过此类问题.但在中考题中出现还是第一次.
或许有老师会说，20多年前的高考题、竞赛题再次走进中考考场，这公平吗？
其实不然，这道题还确实体现了中考的公平.理由是：在运动中探究角度的最大值，几乎所有的初中教辅资料上都没有见过，属于原创，且表述简洁、明了.能较好地考察学生自主探究、解决问题的能力，这正是新课标所倡导的；本题考察了初中数学的核心知识和基本的数学思想，关注了学生的基本数学活动经验，紧扣课程标准.尤其值得一提的是，该题第（1）、（2）小问的设计，把角度具体化，层层递进，意在引导学生运用辅助圆，为最终解决第（3）问搭建了一个梯子.这样设计更加贴近初中生的认知水平.从这个角度看，作为本卷的压轴题同样也体现了中考命题的公平公正.
5几点启示
1.中考考学生也是考教师.因此，教师应加强对新课标和各地考题的研究.教师研究的范围要广，不仅要研究它考查的内容，考察的深度，难度及解题思路，还应加强对考题的变式研究，提倡“陈题新编，陈题新做”，“小题大做”，用研究的成果来指导教学实践，使教学的针对性更强，训练的效果更好.2.平时教学中，要注重对“数学活动”和“课题学习”的教学，舍得在这些地方花时间.“课题学习”作为初中数学四大领域之一，它是一种新型的学习活动，也成了新课程标准的一大特色.它可以弥补数学学科实践能力的不足，加强实践环节，重视数学思维的训练，不断积累数学活动经验，促进学生兴趣、个性、特长等自主、和谐地发展，从而全面提高学生的素质.3.在复习的过程中，要引导学生用联系的观点看问题，要将相关知识点进行有机整合，串联起来，建立知识网络，形成能力.4.教师应充分认识课本例习题所蕴涵的价值，善于捕捉典型例习题的求解信息加以研究，挖掘出所蕴含的基本数学思想和方法，引导学生进行解题后的反思.在平时课堂教学中能有意识地对其通过师生共探的方式展示，不仅有利于引导学生更好地利用课本，突出教材的基础地位，同时有利于减轻学生无效的学习负担，提升学生的创新能力.
作者简介张宇清，中学高级教师.淄博市数学学科带头人、教学能手.淄博市优秀教师、家庭教育先进个人.曾获市级优质课评选一等奖第一名，省优质课评选一等奖，多次执教市级观摩课、公开课.参与主持的市级课题“探究—主体参与型”课堂教学模式的研究，获省优秀教研成果一等奖.参与主编十余本教辅用书，发表40余篇论文.