【摘 要】
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两个共边三角形具有下列性质： 性质若△ABC与△ABD有一条公共边AB，且直线CD与直线AB相交于M，则S△ABCS△ABD=CMDM. 图1证明如图1，分别过C、D作AB的垂线CP、DQ，P，Q为垂足，则Rt△CPM∽Rt△DQM，所以CPDQ=CMDM，所以S△ABCS△ABQ=12CP·AB12DQ·AB=CMDM. 类似地，可证明该性质其它三种情形（图2—4）： 图2图3图4该性质
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两个共边三角形具有下列性质：
性质若△ABC与△ABD有一条公共边AB，且直线CD与直线AB相交于M，则S△ABCS△ABD=CMDM.
图1证明如图1，分别过C、D作AB的垂线CP、DQ，P，Q为垂足，则Rt△CPM∽Rt△DQM，所以CPDQ=CMDM，所以S△ABCS△ABQ=12CP·AB12DQ·AB=CMDM.
例4设△ABC的三边BC、CA、AB上各有一点D、E、F，且使AFBF·BDCD·CEAE=1，求证：AD、BE、CF相交于一点.
证明如图8，可先找出AD、BE的交点O，再证明CO与AB的交点F′与F重合.设AD与BE相交于O，连接CO交AB于F′，则由性质有：
AF′BF′·BDCD·CEAE=S△COAS△COB·S△AOBS△AOC·S△BOCS△BOA=1，结合条件等式有AF′BF′=AFBF.所以AF′ BF′BF′=AF BFBF，即ABBF′=ABBF，所以BF′=BF，F′与F重合.从而AD、BE与CF相交于一点.
作者简介尹承利（1963—），男，山东泰安人，中学高级教师，市教学能手，区政府记功，区教学优秀教师、骨干教师.数学奥林匹克优秀辅导员.多次获省、市优秀论文一等奖.发表论文1000余篇，主编或参编著作20余部.曾获"希望杯"全国数学邀请赛命题一等奖.
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