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不等式证明问题是高中数学中的一个重点，也是一个难点问题.证明不等式的方法多种多样，常见的有分析法、作商法、作差法、反证法、放缩法等.在解题时，我们需要根据不同的题型进行分析，选择合适的方法，这样才能有效地提升解题的效率.
一、分析法
分析法是指通过分析题目中的不等式关系，从未知推出已知的方法，属于一种逆向思维的方式.在解题中，我们一般采用“要证明……，即需证明……，只需证明……”的句式来证明结论.
二、数学归纳法
数学归纳法也是证明不等式的一种基本方法，常用于证明一个与正整数n有关的不等式问题.在证明不等式时，我们可按下列步骤进行：
（1）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时不等式成立;
（2）假设n=k（k≥n0，k∈N*）时不等式成立，证明當n=k+1时不等式也成立.
完成了这两个步骤，我们就可以断定要证明的不等式对从n0开始的所有正整数n都成立.
例2.已知数列{xn}满足x1=2（1），且xn+1=2-xn（xn）（n∈N*），证明：0<xn<1;
证明：??当n=1时，x1=2（1）??（0，1），不等式成立.
??假设当n=k（k??N*，k≥1）时，结论成立，即xk??（0，1），
则当n=k+1时，xk+1=2-xk（xk），
因为xk??（0，1），所以2-xk>0，即xk+1>0.
又因为xk+1-1=2-xk（xk-1）<0，所以0<xk+1<1.
综合????可知0<xn<1.
这里主要运用了数学归纳法，采用了上述步骤分别证明了当n=1和n=k+1时不等式均成立.
三、比较法
一、分析法
分析法是指通过分析题目中的不等式关系，从未知推出已知的方法，属于一种逆向思维的方式.在解题中，我们一般采用“要证明……，即需证明……，只需证明……”的句式来证明结论.
二、数学归纳法
数学归纳法也是证明不等式的一种基本方法，常用于证明一个与正整数n有关的不等式问题.在证明不等式时，我们可按下列步骤进行：
（1）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时不等式成立;
（2）假设n=k（k≥n0，k∈N*）时不等式成立，证明當n=k+1时不等式也成立.
完成了这两个步骤，我们就可以断定要证明的不等式对从n0开始的所有正整数n都成立.
例2.已知数列{xn}满足x1=2（1），且xn+1=2-xn（xn）（n∈N*），证明：0<xn<1;
证明：??当n=1时，x1=2（1）??（0，1），不等式成立.
??假设当n=k（k??N*，k≥1）时，结论成立，即xk??（0，1），
则当n=k+1时，xk+1=2-xk（xk），
因为xk??（0，1），所以2-xk>0，即xk+1>0.
又因为xk+1-1=2-xk（xk-1）<0，所以0<xk+1<1.
综合????可知0<xn<1.
这里主要运用了数学归纳法，采用了上述步骤分别证明了当n=1和n=k+1时不等式均成立.
三、比较法
比较法主要有作商法和作差法.作商（差）法是通过将不等式左右两边的函数式进行作商（差），然后将得出的值与1（0）进行比较的方法.在证明不等式时，我们要根据不等式的结构特征选择比较的方法，若不等式两边的式子是幂、对数、乘积的形式，一般选择作商法;若不等式两边的式子是除式、和式、差式，一般选择作差法.
在证明该不等式时，我们首先将不等式变形，通过作差得到一个与原不等式等价的新不等式，然后通过分解因式，利用完全平方公式和配方法证明了新不等式成立，从而证明结论成立.
证明不等式的方法多种多样，并且每一种证明方法并不是孤立存在的，有时一道题目往往需要结合多种方法才能得以获解，因此同学们要牢固掌握这些方法，并灵活地将它们应用于解题当中.
（作者单位：江苏省包场高级中学）