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不等式证明问题是高中数学中的一个重点,也是一个难点问题.证明不等式的方法多种多样,常见的有分析法、作商法、作差法、反证法、放缩法等.在解题时,我们需要根据不同的题型进行分析,选择合适的方法,这样才能有效地提升解题的效率.
一、分析法
分析法是指通过分析题目中的不等式关系,从未知推出已知的方法,属于一种逆向思维的方式.在解题中,我们一般采用“要证明……,即需证明……,只需证明……”的句式来证明结论.
二、数学归纳法
数学归纳法也是证明不等式的一种基本方法,常用于证明一个与正整数n有关的不等式问题.在证明不等式时,我们可按下列步骤进行:
(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时不等式成立;
(2)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时不等式成立,证明當n=k+1时不等式也成立.
完成了这两个步骤,我们就可以断定要证明的不等式对从n0开始的所有正整数n都成立.
例2.已知数列{xn}满足x1=2(1),且xn+1=2-xn(xn)(n∈N*),证明:0<xn<1;
证明:??当n=1时,x1=2(1)??(0,1),不等式成立.
??假设当n=k(k??N*,k≥1)时,结论成立,即xk??(0,1),
则当n=k+1时,xk+1=2-xk(xk),
因为xk??(0,1),所以2-xk>0,即xk+1>0.
又因为xk+1-1=2-xk(xk-1)<0,所以0<xk+1<1.
综合????可知0<xn<1.
这里主要运用了数学归纳法,采用了上述步骤分别证明了当n=1和n=k+1时不等式均成立.
三、比较法
一、分析法
分析法是指通过分析题目中的不等式关系,从未知推出已知的方法,属于一种逆向思维的方式.在解题中,我们一般采用“要证明……,即需证明……,只需证明……”的句式来证明结论.
二、数学归纳法
数学归纳法也是证明不等式的一种基本方法,常用于证明一个与正整数n有关的不等式问题.在证明不等式时,我们可按下列步骤进行:
(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时不等式成立;
(2)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时不等式成立,证明當n=k+1时不等式也成立.
完成了这两个步骤,我们就可以断定要证明的不等式对从n0开始的所有正整数n都成立.
例2.已知数列{xn}满足x1=2(1),且xn+1=2-xn(xn)(n∈N*),证明:0<xn<1;
证明:??当n=1时,x1=2(1)??(0,1),不等式成立.
??假设当n=k(k??N*,k≥1)时,结论成立,即xk??(0,1),
则当n=k+1时,xk+1=2-xk(xk),
因为xk??(0,1),所以2-xk>0,即xk+1>0.
又因为xk+1-1=2-xk(xk-1)<0,所以0<xk+1<1.
综合????可知0<xn<1.
这里主要运用了数学归纳法,采用了上述步骤分别证明了当n=1和n=k+1时不等式均成立.
三、比较法
比较法主要有作商法和作差法.作商(差)法是通过将不等式左右两边的函数式进行作商(差),然后将得出的值与1(0)进行比较的方法.在证明不等式时,我们要根据不等式的结构特征选择比较的方法,若不等式两边的式子是幂、对数、乘积的形式,一般选择作商法;若不等式两边的式子是除式、和式、差式,一般选择作差法.
在证明该不等式时,我们首先将不等式变形,通过作差得到一个与原不等式等价的新不等式,然后通过分解因式,利用完全平方公式和配方法证明了新不等式成立,从而证明结论成立.
证明不等式的方法多种多样,并且每一种证明方法并不是孤立存在的,有时一道题目往往需要结合多种方法才能得以获解,因此同学们要牢固掌握这些方法,并灵活地将它们应用于解题当中.
(作者单位:江苏省包场高级中学)