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摘 要：研究股票收益率的分布对股票市场风险价值度量、证券投资组合、资产定价等问题都具有重要的现实意义。大量研究证明收益率分布具有尖峰厚尾的特点，而正态分布并不能很好地描述这一特点，因此本文通过上证综指收益率的描述统计数据、QQ图以及拟合比较，拒绝了传统的正态分布假设，从而验证了双曲分布能更好的反映股票收益率尖峰厚尾的特征。
关键词：收益率分布；正态分布；双曲分布
一 前言
股票收益率在一定时期内表现为一系列的随机变量，它受到很多因素的影响。个别股票收益率可能受单一因素的影响过大，或者由于流动性不足，不便于研究，而股指作为反映市场组合的指标可以避免上述问题，特别是分散投资，组合投资的理念现今被大多数人所认同，更有很多基金或其他金融工具直接将股指作为投资的参照。因此研究股指的收益率具有更大的意义。确定收益率来自于什么分布或者说以什么分布可以更好的拟合实际分布对于风险控制、构造投资组合、预测股价变动等都具有很实际和重要的意义。
陈倩、李金林、张伦[1]通过对上证指数1997年1月2日至2008年4月30日总计2700多个交易日的实证研究，发现上证指数收益率不服从正态分布，具有"尖峰、厚尾"的特性，并且将g-h分布引入收益率序列的分布拟合中，结果发现拟合效果更好。王湃[2]通过对于沪深 300 指数日收益率的统计特征进行观察可以发现，沪深 300 指数的收益率分布具有"尖峰厚尾"的特征。Kendall对股票价格和收益的随机特性进行了系统研究，提出股票价格遵循一种随机游走（Random Walk）规律。Mandelbrot强调了金融收益率序列的"厚尾和高尖峰"特征事实，他提议用稳定帕累托（Stable Paretian）分布来拟合股市收益率的厚尾特征。
可以看出，在收益率分布的假定问题上，有很多种观点，这些分布都较好的描述了收益率分布的特点，弥补了正态分布的不足，而为了解决这个问题，本文引入了双曲分布，通过实证研究表明，双曲分布在拟合金融数据收益率的分布方面较之正态分布更加的精确，更加贴近于实际。
二 双曲分布
1 双曲分布的定义
2 QQ图拟合
通常检验一个分布是否为正态，除了上述讲到的基本统计量峰值和偏度值与正态分布比较之外，最常用的还有QQ拟合图。如果收益率分布服从正态，则Q-Q图是一条直线，反之亦然，图1和2是收益率数据的正态分布QQ图和双曲分布QQ图。
图2 双曲分布QQ图
图1图2使用QQ图对分布进行检验，图1表明，QQ正态图呈现明显的"S"形，左边往下弯，而在右边往上弯，这说明收益率分布较正态分布有更厚的尾部。从图2左右两端的弯曲度上可以看出，双曲分布的分位点对样本数据的分位点拟合效果较之正态分布要好，双曲分布能更好的描述收益率分布的尖峰厚尾现象。
3 正态分布、双曲分布与经验分布的拟合
接下来，我们采取一种更加直观的方法通过正态分布和双曲分布与收益率实际分布的拟合图，来比较两种分布对收益率描述的优劣程度。
图3 收益率分布拟合
从图3可以看出，正态分布对收益率样本数据核密度估计分布的尖峰描述比较差，而且对于尾部附近的概率估计也是偏低的，因此直观上可知收益率数据的实际分布与正态分布有明显的偏差，分布的尖峰和厚尾现象都比较严重，也再次说明收益率不服从正态分布。而双曲分布能很好地描述收益率样本数据核密度估计分布的尖峰现象，并且对其尾部厚度的描述也是比较准确的，因此我们可以得知双曲分布较之正态分布来说，能很好地描述收益率实际分布的尖峰厚尾现象。
四 总结
通过运用峰度值、偏度值以及QQ图对正态分布进行检验，说明上证综指收益率序列不服从正态分布，它具有尖峰、厚尾、有偏的特点，通过正态分布、双曲分布与经验分布的拟合比较，可以看出双曲分布能更好的与收益率序列进行拟合且能展现收益率序列分布的尖峰、厚尾的特性，用双曲分布来拟合收益率序列分布更具有合理性和准确性。
参考文献：
[1]陈倩，李金林，张伦.基于g-h分布的上证指数收益率分布拟合研究[J].中国管理科学. 2008，16：226～230.
[2] 王湃.稳定分布下股指收益的VaR模型及其在股指期货保证金上的应用[D].辽宁：辽宁大学，2008
[3]Barndorff-Nielsen，O.E.（1977）.Exponentially decreasing distributions for the logarithm of particle size， Proceedings of the Royal Society of London A 353：401-419.
[4]Prause，K.（1999）. The generalized hyperbolic model： Estimation， Financial Derivatives and Risk measures， Dissertation， mathematische Fakultat， Albert-Ludwigs-Universitat Freiburgim Breisgau.
作者简介：王超（1987-），男，山东省济宁市，硕士，研究方向为金融工程；刘兴华（1969-），男，山东省济宁市，教授，硕士生导师，研究方向为金融工程。
关键词：收益率分布；正态分布；双曲分布
一 前言
股票收益率在一定时期内表现为一系列的随机变量，它受到很多因素的影响。个别股票收益率可能受单一因素的影响过大，或者由于流动性不足，不便于研究，而股指作为反映市场组合的指标可以避免上述问题，特别是分散投资，组合投资的理念现今被大多数人所认同，更有很多基金或其他金融工具直接将股指作为投资的参照。因此研究股指的收益率具有更大的意义。确定收益率来自于什么分布或者说以什么分布可以更好的拟合实际分布对于风险控制、构造投资组合、预测股价变动等都具有很实际和重要的意义。
陈倩、李金林、张伦[1]通过对上证指数1997年1月2日至2008年4月30日总计2700多个交易日的实证研究，发现上证指数收益率不服从正态分布，具有"尖峰、厚尾"的特性，并且将g-h分布引入收益率序列的分布拟合中，结果发现拟合效果更好。王湃[2]通过对于沪深 300 指数日收益率的统计特征进行观察可以发现，沪深 300 指数的收益率分布具有"尖峰厚尾"的特征。Kendall对股票价格和收益的随机特性进行了系统研究，提出股票价格遵循一种随机游走（Random Walk）规律。Mandelbrot强调了金融收益率序列的"厚尾和高尖峰"特征事实，他提议用稳定帕累托（Stable Paretian）分布来拟合股市收益率的厚尾特征。
可以看出，在收益率分布的假定问题上，有很多种观点，这些分布都较好的描述了收益率分布的特点，弥补了正态分布的不足，而为了解决这个问题，本文引入了双曲分布，通过实证研究表明，双曲分布在拟合金融数据收益率的分布方面较之正态分布更加的精确，更加贴近于实际。
二 双曲分布
1 双曲分布的定义
2 QQ图拟合
通常检验一个分布是否为正态，除了上述讲到的基本统计量峰值和偏度值与正态分布比较之外，最常用的还有QQ拟合图。如果收益率分布服从正态，则Q-Q图是一条直线，反之亦然，图1和2是收益率数据的正态分布QQ图和双曲分布QQ图。
图2 双曲分布QQ图
图1图2使用QQ图对分布进行检验，图1表明，QQ正态图呈现明显的"S"形，左边往下弯，而在右边往上弯，这说明收益率分布较正态分布有更厚的尾部。从图2左右两端的弯曲度上可以看出，双曲分布的分位点对样本数据的分位点拟合效果较之正态分布要好，双曲分布能更好的描述收益率分布的尖峰厚尾现象。
3 正态分布、双曲分布与经验分布的拟合
接下来，我们采取一种更加直观的方法通过正态分布和双曲分布与收益率实际分布的拟合图，来比较两种分布对收益率描述的优劣程度。
图3 收益率分布拟合
从图3可以看出，正态分布对收益率样本数据核密度估计分布的尖峰描述比较差，而且对于尾部附近的概率估计也是偏低的，因此直观上可知收益率数据的实际分布与正态分布有明显的偏差，分布的尖峰和厚尾现象都比较严重，也再次说明收益率不服从正态分布。而双曲分布能很好地描述收益率样本数据核密度估计分布的尖峰现象，并且对其尾部厚度的描述也是比较准确的，因此我们可以得知双曲分布较之正态分布来说，能很好地描述收益率实际分布的尖峰厚尾现象。
四 总结
通过运用峰度值、偏度值以及QQ图对正态分布进行检验，说明上证综指收益率序列不服从正态分布，它具有尖峰、厚尾、有偏的特点，通过正态分布、双曲分布与经验分布的拟合比较，可以看出双曲分布能更好的与收益率序列进行拟合且能展现收益率序列分布的尖峰、厚尾的特性，用双曲分布来拟合收益率序列分布更具有合理性和准确性。
参考文献：
[1]陈倩，李金林，张伦.基于g-h分布的上证指数收益率分布拟合研究[J].中国管理科学. 2008，16：226～230.
[2] 王湃.稳定分布下股指收益的VaR模型及其在股指期货保证金上的应用[D].辽宁：辽宁大学，2008
[3]Barndorff-Nielsen，O.E.（1977）.Exponentially decreasing distributions for the logarithm of particle size， Proceedings of the Royal Society of London A 353：401-419.
[4]Prause，K.（1999）. The generalized hyperbolic model： Estimation， Financial Derivatives and Risk measures， Dissertation， mathematische Fakultat， Albert-Ludwigs-Universitat Freiburgim Breisgau.
作者简介：王超（1987-），男，山东省济宁市，硕士，研究方向为金融工程；刘兴华（1969-），男，山东省济宁市，教授，硕士生导师，研究方向为金融工程。