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《球》一节在教材(人教版高中数学第二册下A)中位于立体几何的最后一个内容,参考课时是立体几何中安排课时最多的内容之一,在高考中也是常考的一个内容(从2005年到2010年的全国卷中每年都有一题,5分)。可见《球》在立体几何中的重要地位。下面就与球有关的考查方向进行分类,以期能对同学们在学习或复习《球》这节内容时有所帮助。
1.对球截面性质的考查
例1 [2009年全国卷I 文(15) ] 已知如图1,OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球得到圆M,若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于 。
【解析】 圆M的面积为3π,设其半径为r,则r= ,设球的半径为R,由球截面的性质得R =( ) +( ) ,所以R=2,因此球的表面积为16π。
点评:掌握球截面的性质是解题的关键。
2.对球的性质的考查
例2 连接球面上两点的线段称为球的弦,半径为5的球上有两条弦AB、CD的长度分别等于8、2 ,M、N为弦AB、CD的中点,每条弦的两个端点都在球面上运动,求MN的最小(大)值。
【解析】 因为A、B、C、D在球面上运动,要使MN最短,则MN为AB、CD的公垂线段,所以可以将AB、CD移动到它们所在的截面平行且这两个平面与同一直径垂直,这样MN的长就是这两个平行平面间的距离。由球截面的性质可得MNmin=1,同理可得MNmax=5。
点评:球是一个旋转体,因此它既是轴对称图形也是中心对称图形,结合运动的观点就可以解决此题。
3.对球面距离的考查
例3 已知如图2,在地球东经120°线上有A、B两地,A在北纬70°,B在北纬40°,则A、B两地的球面距离(地球半径为R)为( )
A. B. R C. D.
【解析】 过地轴和东经120°线作一大圆,由圆的知识和纬度定义知∠AOB=AB的度数等于30°即 。由弧长公式可得A、B两地的球面距为 ,故选D。
点评:与球面距离有关的题目关键要理解球面距离的定义和计算方法。
【练习】已知球的表面积为4π,A、B、C三点都在球面上且任意两点间的球面距为 ,求OA与平面ABC所成的角的正切值。
4.球外接于多面体
例4 [2006年全国卷I文 (9) ] 已知各个顶点都在球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是 ( )
A.16π B.20π C.24π D.32π
【解析】已知如图3由正四棱柱的体积可得其底面边长2,又球的直径等于正四棱柱的对角线,设球的半径为R,则(2R)2=4 +2 +2 =24,则R2=6,所以球的表面积为24π,故选C。
点评:本题源于课本P77第6题,是它的拓展。
【练习】设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且侧棱长均为2 ,求其外接球的表面积。
5.球内切于多面体
例5 在棱长为a的正方体内有一个内切球,过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线,求该直线被球面截在球内的线段长为 。
【解析】已知如图4由球与正方体的性质知,球心O为正方体的对角线的交点,球与下底面的切点为下底面的中心M,E、F、R分别是B1C1、AB、BC的中点,OM=MR= a,OE=OF=FR= a,ER=a,EF= = a;由过EF与球心O作球截面,如图5,设圆O与EF相交于点G、H,则GH为所求。过O作OI垂直于EF,垂足为I则IF= = a,所以OI= = a,HI= = a,GH=2HI= a。
点评:关于球与多面体的相切的问题,作出轴截面是解题的关键。通过截面把几何体中的主要元素尽可能集中于其中,从而把立体几何问题转化为平面几何问题解决。
(作者单位:广西天峨县高级中学)
1.对球截面性质的考查
例1 [2009年全国卷I 文(15) ] 已知如图1,OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球得到圆M,若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于 。
【解析】 圆M的面积为3π,设其半径为r,则r= ,设球的半径为R,由球截面的性质得R =( ) +( ) ,所以R=2,因此球的表面积为16π。
点评:掌握球截面的性质是解题的关键。
2.对球的性质的考查
例2 连接球面上两点的线段称为球的弦,半径为5的球上有两条弦AB、CD的长度分别等于8、2 ,M、N为弦AB、CD的中点,每条弦的两个端点都在球面上运动,求MN的最小(大)值。
【解析】 因为A、B、C、D在球面上运动,要使MN最短,则MN为AB、CD的公垂线段,所以可以将AB、CD移动到它们所在的截面平行且这两个平面与同一直径垂直,这样MN的长就是这两个平行平面间的距离。由球截面的性质可得MNmin=1,同理可得MNmax=5。
点评:球是一个旋转体,因此它既是轴对称图形也是中心对称图形,结合运动的观点就可以解决此题。
3.对球面距离的考查
例3 已知如图2,在地球东经120°线上有A、B两地,A在北纬70°,B在北纬40°,则A、B两地的球面距离(地球半径为R)为( )
A. B. R C. D.
【解析】 过地轴和东经120°线作一大圆,由圆的知识和纬度定义知∠AOB=AB的度数等于30°即 。由弧长公式可得A、B两地的球面距为 ,故选D。
点评:与球面距离有关的题目关键要理解球面距离的定义和计算方法。
【练习】已知球的表面积为4π,A、B、C三点都在球面上且任意两点间的球面距为 ,求OA与平面ABC所成的角的正切值。
4.球外接于多面体
例4 [2006年全国卷I文 (9) ] 已知各个顶点都在球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是 ( )
A.16π B.20π C.24π D.32π
【解析】已知如图3由正四棱柱的体积可得其底面边长2,又球的直径等于正四棱柱的对角线,设球的半径为R,则(2R)2=4 +2 +2 =24,则R2=6,所以球的表面积为24π,故选C。
点评:本题源于课本P77第6题,是它的拓展。
【练习】设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且侧棱长均为2 ,求其外接球的表面积。
5.球内切于多面体
例5 在棱长为a的正方体内有一个内切球,过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线,求该直线被球面截在球内的线段长为 。
【解析】已知如图4由球与正方体的性质知,球心O为正方体的对角线的交点,球与下底面的切点为下底面的中心M,E、F、R分别是B1C1、AB、BC的中点,OM=MR= a,OE=OF=FR= a,ER=a,EF= = a;由过EF与球心O作球截面,如图5,设圆O与EF相交于点G、H,则GH为所求。过O作OI垂直于EF,垂足为I则IF= = a,所以OI= = a,HI= = a,GH=2HI= a。
点评:关于球与多面体的相切的问题,作出轴截面是解题的关键。通过截面把几何体中的主要元素尽可能集中于其中,从而把立体几何问题转化为平面几何问题解决。
(作者单位:广西天峨县高级中学)