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“探索规律”，作为新课程进一步强化和突出的重要内容，越来越受到广大教师的普遍关注。加强和重视“探索规律”的教学，不仅可以进一步激发学生数学学习的兴趣，优化学习方式，而且对于加深他们对数学知识的理解与认识，促进思维能力逐步提升等方面均有着重要而积极的作用。《义务教育数学课程标准》（2011年版）对第二学段“探索规律”内容的要求是“探索给定情境中隐含的规律或变化的趋势”。面对“隐含的规律”和“变化的趋势”，一线教师常常很难把握“规律教学”的“要义”和“火候”，要么蜻蜓点水，让规律“走过场”，要么过分强调，让规律“陷僵局”。
台湾著名数学教师林心怡执教的《钉子板上的多边形》一课，简约深刻，自由开放，妙趣横生，以一种新的视角为我们精巧破译了“探索规律”教学的行进“密码”，令人回味无穷。
一、重视过程：让“规律”探索自然行进
“探索规律”的教学，自然是以“规律”探索的过程为基本立足点和出发点。精心设计探索活动，引领学生在具体情境中充分经历规律的探索与发现过程，无疑便成为“探索规律”的关键性一步。
1.整体感知，猜测规律
“规律”的得来，离不开对大量、丰富素材与数据的分析与研究。课始，林老师简要揭示了“周点”“面积”“内点”之后，便以周点为8，面积为4，内点为1的长方形为例，进行了巧妙变化——“如果面积改变，内点、周点的数量会不会改变？”“如果面积变回4，内点、周点会变回来吗？”一边追问，一边结合着钉子板上直观的图形及对应的数据进行对比、观察、分析。这一过程，我认为用意有三：一是让学生整体感知“内点”“周点”和“面积”三个变量之间的紧密关系，为接下来的深入探索提供了思维模型；二是让学生感受到所要研究问题的复杂性，为接下来的分类研究创造机会；三是唤起探究欲望，激发探究兴趣。
2.分步研究，探索规律
面对复杂的问题，既要有整体思想，全面认识，更要有分步研究、层层深入的意识和能力。林老师让学生感受到了问题研究的复杂性之后，便巧妙破解难题，分步推进。“我们先来讨论周点改变，会不会影响面积？”引导学生围绕内点为1，探讨周点和面积之间的关系。此过程，学生四人为一组，每组至少在练习纸上画了三个多边形，并进行了数据记录和分析，各个小组均顺利得到了：S=n÷2。然后，教师进一步提出新的问题：“如果内点为2，它们又会有怎样的关系呢？”学生又以两人为一小组进行了探究。整个探究过程，教师高度放手，从研究素材的生成，到研究数据的观察与分析，再到研究结论的总结与表达，全部由学生来独立完成，科学有序，民主高效。
3.及时对比，总结规律
规律探索，离不开对大量素材和数据的研究与分析。在研究与分析的过程中，有一重要的方法，那便是对比。通过对比，便于寻找异同，发现规律，深刻认识。在林老师的课上，她多次引导学生对数据和得到的结论进行对比分析，不断将规律认识引向深入。特别是每组汇报时，林老师都在黑板上记录下他们总结的关系式，无形间既默默强化了规律，又让学生在对比中感受到了研究者不同、研究素材不同、研究过程和表达方式不同，但却得到了相同的“规律”。在变与不变中感受“规律”的必然性，通用性，体会到了数学研究的无穷魅力。
4.充分验证，强化规律
任何研究结论，都要在充分验证之后才会被进一步认可，特别是运用不完全归纳法得到的“规律”，更需要引导学生充分验证。林老师在放手让学生分别探索了内点为1、内点为2多边形面积与周点的关系之后，引导学生对所得到的结论进行了及时验证。这样一来，既让学生对所发现的“规律”有了进一步的认识与理解，又让学生经历了完整的科学探究之旅，培养了学生科学、严谨的研究态度和研究精神。
二、关注方法：让“规律”探索科学有序
“探索规律”的教学，是以规律探索为素材，引导学生运用科学的方法，经历探索过程，感受探索乐趣，积累探索经验的活动。在这样的过程中，离不开科学、有效的研究方法。研究方法的发现、总结与运用，自然也成为了“探索活动”教学的重任之一。
1.过程中自悟
好多有效的研究方法，都是研究者在研究过程中自然而然发现并总结出来的。学生的探索活动，也必然会生成和积累一些有价值的研究方法，教师在此过程中要充分关注并为其积极创造条件。林老师在课中，多次适时引导学生发现并总结方法。当学生探索完内点为1的多边形周点和面积之间的关系后，林老师及时追问：“大家觉得哪一组的记录比较容易发现规律？”此语，问得妙！一箭双雕！她既是在引发比较，又是在引出一种有效解决问题的策略——列表。这一过程，唤起了学生对研究方法的关注，更在培养学生一种善于观察、勤于反思、重视方法的意识与能力。
2.互助中共悟
真正有意义的合作学习，不应仅仅是学习团队对知识的习得，而是还应在发现的过程中善于及时反思，总结经验，修正方法。在林老师的课上，她为学生创造了多次合作学习的机会，从4人合作探索内点为1的多边形周点和面积之间的关系，到2人合作探索内点为2的多边形周点和面积之间的关系，再到全班合作验证结论。在合作中，教师适时以问题引领学生进行方法总结与梳理，不断让学生在规律总结的过程中感悟方法，积累经验。
3.必要时点拨
儿童由于年龄小，研究经验不足，因此，一些必要的研究方法有时需要教师及时予以点拨。林老师在学生的研究过程中，结合研究进程，及时对研究方法进行了归纳与总结。不管是“列表找规律”“用字母表示关系式”还是“假设—验证”等，都在适当时机，对学生的研究方法及时予以点拨、归纳，让学生在规律探索的过程中，不断关注方法、重视方法、完善方法。这样，让规律教学不再是仅仅为了得到规律的教学，而是让其承载了更多育人功能，很好地渗透了研究精神与研究方法的培养。
三、训练思维：让“规律”探索超越规律 语文教学，常以“明线”和“暗线”两种视角进行课文分析。我认为，数学教学同样也存在这样两条线索，即学习活动的行进过程为“明线”，思维训练的巧妙渗透为“暗线”。本课中，思维训练虽不是“探索规律”的基本环节和主要任务，但它却作为贯穿整个活动的“暗线”一直存在。在林老师的教学中，她结合探索进程，及时巧妙地予以了关注和渗透，让规律探索超越了“规律”。
1.归纳与类比
林老师的课中，4人合作探索内点为1的多边形周点和面积之间的关系，2人合作探索内点为2的多边形周点和面积之间的关系，这两个环节，都是先研究实例，得出数据，再在数据中提取规律，思维方式是归纳推理。到了内点为0、3、4、5……多边形周点和面积之间的关系的探索过程，却是先猜想多边形面积与周点数量之间的关系，再分组用实例验证是不是存在这样的规律，思维方式是类比推理。两种推理方式的运用，既确保了顺利、及时得到结论，又巧妙训练了学生的思维。
2.比较与分类
比较是确定两个或两个以上的对象或同一个对象在不同时间条件下的相同与不同点的思维方法。本课中，教师多次引导学生进行比较，在比较中发现规律。从周点相同（都为8）时，两个图形面积和内点数量的比较，到学生记录数据方式的比较；从发现内点为2的多边形周点和面积之间的关系时“为什么画出的图不一样，得到的关系式却都是一样”的比较，到最后分排验证规律后的整体比较，等等，时时引导学生在比较中发现规律，加深认识，训练思维。课始，引导学生感受“内点”“周点”和“面积”三个变量时，由于变量多，关系复杂，不便于研究，教师及时对研究对象进行了分类（内点为1时多边形周点和面积之间的关系，内点为2时多边形周点和面积之间的关系，内点为3、4、5……时多边形周点和面积之间的关系），既确保了研究活动的顺利有序进行，又渗透了分类思想。
3.抽象与概括
抽象就是在认识事物中，抽取其共同的、本质属性或特征，舍弃其非本质属性或特征的思维方法。概括则是将抽象出来的同类事物的共同属性连结起来，并把它推广到同一类事物上去的思维方法。林老师的课中，每一个探索活动之后，“作业纸”上都有学生记录关系式的空格，实际上就是在引导学生对发现的规律先进行抽象，然后用数学语言（数据或模型）进行概括表达。几次探索活动，几次抽象与概括，学生的抽象与概括能力得到了提升。
四、一点商榷
笔者以为，“举例验证”环节虽然涉及了，但来得有些迟。如果在发现内点为1的多边形周点和面积之间的关系（即S=n÷2）之后，接着引导学生进行举例验证，那样效果将会更好。理由有三，一是让学生明白“举例验证”是探索规律的重要环节之一，必不可少；二是让学生体会“探索活动”的完整性、科学性与严谨性；三是为后续的探内点为2、3、4、5……的多边形周点和面积之间的关系积累经验。一人之见，还请各位批评指正。
台湾著名数学教师林心怡执教的《钉子板上的多边形》一课，简约深刻，自由开放，妙趣横生，以一种新的视角为我们精巧破译了“探索规律”教学的行进“密码”，令人回味无穷。
一、重视过程：让“规律”探索自然行进
“探索规律”的教学，自然是以“规律”探索的过程为基本立足点和出发点。精心设计探索活动，引领学生在具体情境中充分经历规律的探索与发现过程，无疑便成为“探索规律”的关键性一步。
1.整体感知，猜测规律
“规律”的得来，离不开对大量、丰富素材与数据的分析与研究。课始，林老师简要揭示了“周点”“面积”“内点”之后，便以周点为8，面积为4，内点为1的长方形为例，进行了巧妙变化——“如果面积改变，内点、周点的数量会不会改变？”“如果面积变回4，内点、周点会变回来吗？”一边追问，一边结合着钉子板上直观的图形及对应的数据进行对比、观察、分析。这一过程，我认为用意有三：一是让学生整体感知“内点”“周点”和“面积”三个变量之间的紧密关系，为接下来的深入探索提供了思维模型；二是让学生感受到所要研究问题的复杂性，为接下来的分类研究创造机会；三是唤起探究欲望，激发探究兴趣。
2.分步研究，探索规律
面对复杂的问题，既要有整体思想，全面认识，更要有分步研究、层层深入的意识和能力。林老师让学生感受到了问题研究的复杂性之后，便巧妙破解难题，分步推进。“我们先来讨论周点改变，会不会影响面积？”引导学生围绕内点为1，探讨周点和面积之间的关系。此过程，学生四人为一组，每组至少在练习纸上画了三个多边形，并进行了数据记录和分析，各个小组均顺利得到了：S=n÷2。然后，教师进一步提出新的问题：“如果内点为2，它们又会有怎样的关系呢？”学生又以两人为一小组进行了探究。整个探究过程，教师高度放手，从研究素材的生成，到研究数据的观察与分析，再到研究结论的总结与表达，全部由学生来独立完成，科学有序，民主高效。
3.及时对比，总结规律
规律探索，离不开对大量素材和数据的研究与分析。在研究与分析的过程中，有一重要的方法，那便是对比。通过对比，便于寻找异同，发现规律，深刻认识。在林老师的课上，她多次引导学生对数据和得到的结论进行对比分析，不断将规律认识引向深入。特别是每组汇报时，林老师都在黑板上记录下他们总结的关系式，无形间既默默强化了规律，又让学生在对比中感受到了研究者不同、研究素材不同、研究过程和表达方式不同，但却得到了相同的“规律”。在变与不变中感受“规律”的必然性，通用性，体会到了数学研究的无穷魅力。
4.充分验证，强化规律
任何研究结论，都要在充分验证之后才会被进一步认可，特别是运用不完全归纳法得到的“规律”，更需要引导学生充分验证。林老师在放手让学生分别探索了内点为1、内点为2多边形面积与周点的关系之后，引导学生对所得到的结论进行了及时验证。这样一来，既让学生对所发现的“规律”有了进一步的认识与理解，又让学生经历了完整的科学探究之旅，培养了学生科学、严谨的研究态度和研究精神。
二、关注方法：让“规律”探索科学有序
“探索规律”的教学，是以规律探索为素材，引导学生运用科学的方法，经历探索过程，感受探索乐趣，积累探索经验的活动。在这样的过程中，离不开科学、有效的研究方法。研究方法的发现、总结与运用，自然也成为了“探索活动”教学的重任之一。
1.过程中自悟
好多有效的研究方法，都是研究者在研究过程中自然而然发现并总结出来的。学生的探索活动，也必然会生成和积累一些有价值的研究方法，教师在此过程中要充分关注并为其积极创造条件。林老师在课中，多次适时引导学生发现并总结方法。当学生探索完内点为1的多边形周点和面积之间的关系后，林老师及时追问：“大家觉得哪一组的记录比较容易发现规律？”此语，问得妙！一箭双雕！她既是在引发比较，又是在引出一种有效解决问题的策略——列表。这一过程，唤起了学生对研究方法的关注，更在培养学生一种善于观察、勤于反思、重视方法的意识与能力。
2.互助中共悟
真正有意义的合作学习，不应仅仅是学习团队对知识的习得，而是还应在发现的过程中善于及时反思，总结经验，修正方法。在林老师的课上，她为学生创造了多次合作学习的机会，从4人合作探索内点为1的多边形周点和面积之间的关系，到2人合作探索内点为2的多边形周点和面积之间的关系，再到全班合作验证结论。在合作中，教师适时以问题引领学生进行方法总结与梳理，不断让学生在规律总结的过程中感悟方法，积累经验。
3.必要时点拨
儿童由于年龄小，研究经验不足，因此，一些必要的研究方法有时需要教师及时予以点拨。林老师在学生的研究过程中，结合研究进程，及时对研究方法进行了归纳与总结。不管是“列表找规律”“用字母表示关系式”还是“假设—验证”等，都在适当时机，对学生的研究方法及时予以点拨、归纳，让学生在规律探索的过程中，不断关注方法、重视方法、完善方法。这样，让规律教学不再是仅仅为了得到规律的教学，而是让其承载了更多育人功能，很好地渗透了研究精神与研究方法的培养。
三、训练思维：让“规律”探索超越规律 语文教学，常以“明线”和“暗线”两种视角进行课文分析。我认为，数学教学同样也存在这样两条线索，即学习活动的行进过程为“明线”，思维训练的巧妙渗透为“暗线”。本课中，思维训练虽不是“探索规律”的基本环节和主要任务，但它却作为贯穿整个活动的“暗线”一直存在。在林老师的教学中，她结合探索进程，及时巧妙地予以了关注和渗透，让规律探索超越了“规律”。
1.归纳与类比
林老师的课中，4人合作探索内点为1的多边形周点和面积之间的关系，2人合作探索内点为2的多边形周点和面积之间的关系，这两个环节，都是先研究实例，得出数据，再在数据中提取规律，思维方式是归纳推理。到了内点为0、3、4、5……多边形周点和面积之间的关系的探索过程，却是先猜想多边形面积与周点数量之间的关系，再分组用实例验证是不是存在这样的规律，思维方式是类比推理。两种推理方式的运用，既确保了顺利、及时得到结论，又巧妙训练了学生的思维。
2.比较与分类
比较是确定两个或两个以上的对象或同一个对象在不同时间条件下的相同与不同点的思维方法。本课中，教师多次引导学生进行比较，在比较中发现规律。从周点相同（都为8）时，两个图形面积和内点数量的比较，到学生记录数据方式的比较；从发现内点为2的多边形周点和面积之间的关系时“为什么画出的图不一样，得到的关系式却都是一样”的比较，到最后分排验证规律后的整体比较，等等，时时引导学生在比较中发现规律，加深认识，训练思维。课始，引导学生感受“内点”“周点”和“面积”三个变量时，由于变量多，关系复杂，不便于研究，教师及时对研究对象进行了分类（内点为1时多边形周点和面积之间的关系，内点为2时多边形周点和面积之间的关系，内点为3、4、5……时多边形周点和面积之间的关系），既确保了研究活动的顺利有序进行，又渗透了分类思想。
3.抽象与概括
抽象就是在认识事物中，抽取其共同的、本质属性或特征，舍弃其非本质属性或特征的思维方法。概括则是将抽象出来的同类事物的共同属性连结起来，并把它推广到同一类事物上去的思维方法。林老师的课中，每一个探索活动之后，“作业纸”上都有学生记录关系式的空格，实际上就是在引导学生对发现的规律先进行抽象，然后用数学语言（数据或模型）进行概括表达。几次探索活动，几次抽象与概括，学生的抽象与概括能力得到了提升。
四、一点商榷
笔者以为，“举例验证”环节虽然涉及了，但来得有些迟。如果在发现内点为1的多边形周点和面积之间的关系（即S=n÷2）之后，接着引导学生进行举例验证，那样效果将会更好。理由有三，一是让学生明白“举例验证”是探索规律的重要环节之一，必不可少；二是让学生体会“探索活动”的完整性、科学性与严谨性；三是为后续的探内点为2、3、4、5……的多边形周点和面积之间的关系积累经验。一人之见，还请各位批评指正。