论文部分内容阅读
摘 要：优化课堂教学关键要解决好教什么、怎么教的问题。一道题被选为例题，肯定具有代表性。深入挖掘例题功能，利用好例题，不但能很好地完成教学任务，更利于培养学生思维，提高学生学习的兴趣。例题教学能让教师更深刻体会教材编写者的意图，准确把握知识传授的时机、准度、难度，优化课堂教学。
关键词：例题功能；拓展；思维；思想；优化教学
《课标》指出：“教师是教材的执行者，更是教材的开发者和创造者”。教师通过教材进行备课、上课、布置作业及检查学生学业成绩等教学活动，学生利用教材进行自主学习，教材为师生的教与学提供原始材料。作为教材的重要组成部分的例题，具有典型性、示范性和关联性，因此它安排在不同地方，其目的和作用都不一样。有的为了引出概念，有的为了推导某个公式，有的为了强调某种思维方法或解题技巧。设置例题的目的是引导与培养学生应用基本理论知识分析解决问题的能力。因此，教师必须领会和认识例题的潜在功能，调动学生学习数学的积极性，激活学生的思维。
一、 把握例题的“暗示”，适时适度补充新知识
学生刚入高一学习函数时，总有一种迷茫的感觉：知识点多，方法多，又抽象。教师在备课中也很纠结：什么时候补充，补充什么，到什么程度？如何帮学生形成知识体系？教材中的例题恰好“暗示”我们如何解决这个问题。
人教版必修1第二章《函数及其表示》。 课本P17
【例1】 已知函数f（x）=x 3 1x 2。
（1）求函数的定义域；
（2）求f（-3），f23；
（3）当a>0时，求f（a），f（a-1）的值。
学生可能会困惑：函数三要素为什么只举例求定义域，没有求对应法则、值域的例题？这就“暗示”应在此处可以补充一次、二次函数在给定区间
的值域。如：求y=2x 3，x∈[-1，2]的值域；求y=x2-2x-3，x∈[0，3]
的值域等简单的值域问题。事实上课本课后作业A组题第3、9题就出现求值域问题，恰好验证这种“暗示”的存在。至于对应法则的学习主要以解析式为主，这涉及函数的表示法。
如：课本P19页例3 某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数y=f（x）。课本P20页为此例配了一个思考：比较三种表示法，它们各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？解析式是表示函数的最常见的一种形式，这不正“暗示”需补充求函数解析式的方法。这也呼应函数三要素中求对应法则的补充。
课本中这几道例题“暗示”，提醒我们在平时教学中围绕知识系统适时适度补充相关新知识。
又如：课本P21 例3 画出y=|x|的图像。
此例引出的知识是分段函数。这是高中阶段接触的第一个新函数，又是与初中知识相关联，既熟悉又陌生。结合本单元所学内容，可以感受到此例在暗示研究一个函数的基本步骤方法：解析式——定义域——值域——图像。因此本例教学就不能简单教学y=|x|的图像，而应该引入分段函数的定义域、值域、图像，进而扩展到函数图像的常见变换：平移变换、翻折变换等知识。
例题的这些“暗示”让我们教学思路更清晰、目的更明確，教学更有层次、有条理。
二、 利用例题适度拓展，培养学生发散思维
“一题多解”“一题多变” 的教学活动，利于激励学生进行联想和猜想，培养发散思维的能力。在平时教学中，教师有意识地通过课本例题引申拓宽，可以开阔学生思路，把基础知识和方法进行融会贯通，灵活运用，又可以训练和培养他们发散思维。
（一） 突出知识应用的一题多解
以新知识应用为前提，根据知识的发展需要引出的“一题多解”，既巩固新知又拓宽学生思维。
如：人教版必修5课本P44 2.3 等差数列的前n项和
【例2】 已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220。由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
解法一：由sn=na1 n（n-1）2d，列方程组求解；突出基本量计算。
解法二：设sn=An2 Bn，代入条件求解。灵活运用公式，也为了后续从函数角度分析前n项。
和作铺垫
提出思考：如何求前30项和？
又引出新解法：s20-s10=a11 a12 … a20=5（a11 a20）=5（a1 a30）
在此基础上 猜想：s10，s20-s10，s30-s20的关系？推广引出前n项和的性质。
在此例教学中，既强化等差数列前n项和公式，又揭示新知识“等差数列前n项和的性质”的知识来源。
（二） 突出模块知识的综合应用的一题多解
人教版选修模块内容既体现知识的发展提高，更体现各模块知识的综合。这种各模块知识的交叉应用的解法多样性，让例题教学更加丰富多彩，利于调动学生学习的积极性。
如：人教版选修2-2课本P87 2.2.1 《综合法和分析法》
【例3】 求证：7 3<25。
证法一：分析法。这是课本提供的方法，目的在于巩固新知。
证法二：估算。7大约在2.6到2.7之间，3约等于1.732…，5约等于2.236…得证。此法考验学生的数感，这也是需要培养的核心素养之一。
证法三：考虑被开方数3，5，7成等差数列，把7 3<25化为
7-5<5-3构造函数
f（x）=x-x-2，x>2利用f′（x）<0，f（x）递减得
f（7） 证法四：从结论形式上猜想基本不等式7 322<
（7）2 （3）22。
多角度开放，检验学生知识综合应用能力。
（三） 基于例题背景的变式教学
通过变换例题的题设、结论、设问等引申出新的问题，在变式中发展学生思维灵活性。在教学过程中有意识对例题总结、提炼和灵活运用，深度挖掘数学例题的教学功能。“一题多解”“一题多变”教学活动，不仅利于培养学生的创造能力，还可以帮助学生深刻理解知识的系统性、特殊性、广泛性。
如：人教版选修2-1课本P41 2.2.1 《椭圆及其标准方程》
【例3】 设点A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0）。直线AM、BM相较于点M，且它们的斜率之积是
-49，求点M的 轨迹方程。
变式一：条件一般化。若点A、B的坐标分别为（-a，0），（a，0）呢？
变式二：交换条件与结论。若点M是椭圆
x2a2 y2b2=1（a>b>0）上不同于左右顶点的任意一点，点A、B是左右顶点，求直线AM、BM的斜率之积。
变式三：改变条件：点A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0）。直线AM、BM相较于点M，且它们的斜率之积是
49。求点M的轨迹方程。此时是双曲线，为后续学习做准备。
变式四： 斜率之积是k呢？
这样的教学设计能让学生感受变式的原理，体会特殊与一般的思想。
三、 例题可以促进学生的思维形成，提升学生数学核心素养
数学思维形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的，不完全是解题活动，而解决问题是发展高中学生数学思维最有效的方法。在解题过程中体现思维的形成过程，提升学生的数学素养。
（一） 例题的解答过程就是思维形成过程
如：必修5课本P99 3.4 《基本不等式》
【例1】 （1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
表面上看此例是基本不等式的直接应用，实际上此例有两大优点：
①体现数学核心素养。建模——把熟悉的实际问题概括为抽象的数学问题。归纳概括——问题的解决可以归纳概括基本不等式在求最值的应用：和定积最大；积定和最小。逻辑性——在基本不等式应用中对取等条件的判断也利于培养思维缜密。
②整个解答过程恰好是应用基本不等式的思维过程（一正二算三取等），也体现解决问题的思维过程：条件判断——计算——检验。
（二） 例题有助于逆向思维培养
若学生的正向思维活跃，容易形成思维定势，不利于学生数学核心素养的培养。因此，教师要在例题教学中对学生进行逆向思维培养，突出公式、定理或规律的逆向教学。
如：选修2-1课本P70 2.4.2 《抛物线的简单几何性质》
【例5】 过抛物线焦点F的直线交抛物线与A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线与点Q，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
从结论出发可得：过抛物线焦点F的直线交抛物线与A、B两点，直线DB平行于抛物线的对称轴交准线与点D，求证：点A、O、D三点共线。
此例突出规律的逆向教学。
又如：人教版必修4课本P140 3.2 简单的三角恒等变换
【例2】 求证：
（1）sinαcosβ=12[sin（α β） sin（α-β）]；
（2）sinθ sinφ=2sinθ φ2cosθ-φ2。
虽然积化和差、和差化积公式不作考试要求，教学中很多教师会忽略此例，但作为一种思维训练，此例体现公式的逆用。
（3）例题教学渗透数学思想方法
数学思想方法的培养不是一朝一夕就可以做到，需要教师平时教学中有意识地进行渗透。例题作为教材主要构成部分，为渗透数学思想方法提供大量机会。
如：人教版必修5課本P31 2.1 数列的概念与简单表示法
【例3】 设数列{an}满足a1=1an=1 1an-1（n>1），
写出这个数列的前5项。
表面上是代入计算问题，但深层次的问题是：有限与无限思想的渗透。把握这点，学生对递推公式表示数列就会有更深刻的理解。若再问“根据前5项，写出数列的一个通项公式”又能让学生体会通项与递推的关系。这样，此例的功能才被充分发挥。
四、 例题具有示范引领功能
解题的规范性有利于帮助学生巩固知识和形成正确的思维方式。例题是规范解题的最佳参照样本。所谓规范解题，就是按照一定的形式、格式进行的层次分明、结论明确的解题过程。解题规范包括：步骤过程规范、思路规范、书写表达规范、分类讨论规范等。高中数学学习中，有些题目的解答是有严格规范要求的。如定义法证明函数单调性、立几证明中定理的应用书写格式要求、分析法和反证法描述、数学归纳法的书写模式等。教学中充分利用有关例题培养学生规范的书写习惯，通过规范的书写促进思路的规范。
当然，例题的功能很多。教师只有用心去体会例题意图，明确例题的目的和要求，在教学中才会有所侧重。只有充分挖掘例题功能，才能合理安排教学，优化课堂教学。
作者简介：李俊文，福建省将乐县第一中学。
关键词：例题功能；拓展；思维；思想；优化教学
《课标》指出：“教师是教材的执行者，更是教材的开发者和创造者”。教师通过教材进行备课、上课、布置作业及检查学生学业成绩等教学活动，学生利用教材进行自主学习，教材为师生的教与学提供原始材料。作为教材的重要组成部分的例题，具有典型性、示范性和关联性，因此它安排在不同地方，其目的和作用都不一样。有的为了引出概念，有的为了推导某个公式，有的为了强调某种思维方法或解题技巧。设置例题的目的是引导与培养学生应用基本理论知识分析解决问题的能力。因此，教师必须领会和认识例题的潜在功能，调动学生学习数学的积极性，激活学生的思维。
一、 把握例题的“暗示”，适时适度补充新知识
学生刚入高一学习函数时，总有一种迷茫的感觉：知识点多，方法多，又抽象。教师在备课中也很纠结：什么时候补充，补充什么，到什么程度？如何帮学生形成知识体系？教材中的例题恰好“暗示”我们如何解决这个问题。
人教版必修1第二章《函数及其表示》。 课本P17
【例1】 已知函数f（x）=x 3 1x 2。
（1）求函数的定义域；
（2）求f（-3），f23；
（3）当a>0时，求f（a），f（a-1）的值。
学生可能会困惑：函数三要素为什么只举例求定义域，没有求对应法则、值域的例题？这就“暗示”应在此处可以补充一次、二次函数在给定区间
的值域。如：求y=2x 3，x∈[-1，2]的值域；求y=x2-2x-3，x∈[0，3]
的值域等简单的值域问题。事实上课本课后作业A组题第3、9题就出现求值域问题，恰好验证这种“暗示”的存在。至于对应法则的学习主要以解析式为主，这涉及函数的表示法。
如：课本P19页例3 某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数y=f（x）。课本P20页为此例配了一个思考：比较三种表示法，它们各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？解析式是表示函数的最常见的一种形式，这不正“暗示”需补充求函数解析式的方法。这也呼应函数三要素中求对应法则的补充。
课本中这几道例题“暗示”，提醒我们在平时教学中围绕知识系统适时适度补充相关新知识。
又如：课本P21 例3 画出y=|x|的图像。
此例引出的知识是分段函数。这是高中阶段接触的第一个新函数，又是与初中知识相关联，既熟悉又陌生。结合本单元所学内容，可以感受到此例在暗示研究一个函数的基本步骤方法：解析式——定义域——值域——图像。因此本例教学就不能简单教学y=|x|的图像，而应该引入分段函数的定义域、值域、图像，进而扩展到函数图像的常见变换：平移变换、翻折变换等知识。
例题的这些“暗示”让我们教学思路更清晰、目的更明確，教学更有层次、有条理。
二、 利用例题适度拓展，培养学生发散思维
“一题多解”“一题多变” 的教学活动，利于激励学生进行联想和猜想，培养发散思维的能力。在平时教学中，教师有意识地通过课本例题引申拓宽，可以开阔学生思路，把基础知识和方法进行融会贯通，灵活运用，又可以训练和培养他们发散思维。
（一） 突出知识应用的一题多解
以新知识应用为前提，根据知识的发展需要引出的“一题多解”，既巩固新知又拓宽学生思维。
如：人教版必修5课本P44 2.3 等差数列的前n项和
【例2】 已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220。由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
解法一：由sn=na1 n（n-1）2d，列方程组求解；突出基本量计算。
解法二：设sn=An2 Bn，代入条件求解。灵活运用公式，也为了后续从函数角度分析前n项。
和作铺垫
提出思考：如何求前30项和？
又引出新解法：s20-s10=a11 a12 … a20=5（a11 a20）=5（a1 a30）
在此基础上 猜想：s10，s20-s10，s30-s20的关系？推广引出前n项和的性质。
在此例教学中，既强化等差数列前n项和公式，又揭示新知识“等差数列前n项和的性质”的知识来源。
（二） 突出模块知识的综合应用的一题多解
人教版选修模块内容既体现知识的发展提高，更体现各模块知识的综合。这种各模块知识的交叉应用的解法多样性，让例题教学更加丰富多彩，利于调动学生学习的积极性。
如：人教版选修2-2课本P87 2.2.1 《综合法和分析法》
【例3】 求证：7 3<25。
证法一：分析法。这是课本提供的方法，目的在于巩固新知。
证法二：估算。7大约在2.6到2.7之间，3约等于1.732…，5约等于2.236…得证。此法考验学生的数感，这也是需要培养的核心素养之一。
证法三：考虑被开方数3，5，7成等差数列，把7 3<25化为
7-5<5-3构造函数
f（x）=x-x-2，x>2利用f′（x）<0，f（x）递减得
f（7）
多角度开放，检验学生知识综合应用能力。
（三） 基于例题背景的变式教学
通过变换例题的题设、结论、设问等引申出新的问题，在变式中发展学生思维灵活性。在教学过程中有意识对例题总结、提炼和灵活运用，深度挖掘数学例题的教学功能。“一题多解”“一题多变”教学活动，不仅利于培养学生的创造能力，还可以帮助学生深刻理解知识的系统性、特殊性、广泛性。
如：人教版选修2-1课本P41 2.2.1 《椭圆及其标准方程》
【例3】 设点A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0）。直线AM、BM相较于点M，且它们的斜率之积是
-49，求点M的 轨迹方程。
变式一：条件一般化。若点A、B的坐标分别为（-a，0），（a，0）呢？
变式二：交换条件与结论。若点M是椭圆
x2a2 y2b2=1（a>b>0）上不同于左右顶点的任意一点，点A、B是左右顶点，求直线AM、BM的斜率之积。
变式三：改变条件：点A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0）。直线AM、BM相较于点M，且它们的斜率之积是
49。求点M的轨迹方程。此时是双曲线，为后续学习做准备。
变式四： 斜率之积是k呢？
这样的教学设计能让学生感受变式的原理，体会特殊与一般的思想。
三、 例题可以促进学生的思维形成，提升学生数学核心素养
数学思维形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的，不完全是解题活动，而解决问题是发展高中学生数学思维最有效的方法。在解题过程中体现思维的形成过程，提升学生的数学素养。
（一） 例题的解答过程就是思维形成过程
如：必修5课本P99 3.4 《基本不等式》
【例1】 （1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
表面上看此例是基本不等式的直接应用，实际上此例有两大优点：
①体现数学核心素养。建模——把熟悉的实际问题概括为抽象的数学问题。归纳概括——问题的解决可以归纳概括基本不等式在求最值的应用：和定积最大；积定和最小。逻辑性——在基本不等式应用中对取等条件的判断也利于培养思维缜密。
②整个解答过程恰好是应用基本不等式的思维过程（一正二算三取等），也体现解决问题的思维过程：条件判断——计算——检验。
（二） 例题有助于逆向思维培养
若学生的正向思维活跃，容易形成思维定势，不利于学生数学核心素养的培养。因此，教师要在例题教学中对学生进行逆向思维培养，突出公式、定理或规律的逆向教学。
如：选修2-1课本P70 2.4.2 《抛物线的简单几何性质》
【例5】 过抛物线焦点F的直线交抛物线与A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线与点Q，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
从结论出发可得：过抛物线焦点F的直线交抛物线与A、B两点，直线DB平行于抛物线的对称轴交准线与点D，求证：点A、O、D三点共线。
此例突出规律的逆向教学。
又如：人教版必修4课本P140 3.2 简单的三角恒等变换
【例2】 求证：
（1）sinαcosβ=12[sin（α β） sin（α-β）]；
（2）sinθ sinφ=2sinθ φ2cosθ-φ2。
虽然积化和差、和差化积公式不作考试要求，教学中很多教师会忽略此例，但作为一种思维训练，此例体现公式的逆用。
（3）例题教学渗透数学思想方法
数学思想方法的培养不是一朝一夕就可以做到，需要教师平时教学中有意识地进行渗透。例题作为教材主要构成部分，为渗透数学思想方法提供大量机会。
如：人教版必修5課本P31 2.1 数列的概念与简单表示法
【例3】 设数列{an}满足a1=1an=1 1an-1（n>1），
写出这个数列的前5项。
表面上是代入计算问题，但深层次的问题是：有限与无限思想的渗透。把握这点，学生对递推公式表示数列就会有更深刻的理解。若再问“根据前5项，写出数列的一个通项公式”又能让学生体会通项与递推的关系。这样，此例的功能才被充分发挥。
四、 例题具有示范引领功能
解题的规范性有利于帮助学生巩固知识和形成正确的思维方式。例题是规范解题的最佳参照样本。所谓规范解题，就是按照一定的形式、格式进行的层次分明、结论明确的解题过程。解题规范包括：步骤过程规范、思路规范、书写表达规范、分类讨论规范等。高中数学学习中，有些题目的解答是有严格规范要求的。如定义法证明函数单调性、立几证明中定理的应用书写格式要求、分析法和反证法描述、数学归纳法的书写模式等。教学中充分利用有关例题培养学生规范的书写习惯，通过规范的书写促进思路的规范。
当然，例题的功能很多。教师只有用心去体会例题意图，明确例题的目的和要求，在教学中才会有所侧重。只有充分挖掘例题功能，才能合理安排教学，优化课堂教学。
作者简介：李俊文，福建省将乐县第一中学。