摘 要：数学概念教学一直受到广泛关注，新课程标准更加重视数学概念的形成过程，提倡概念的本质、背景以及蕴含的数学方法。“任意角的三角函数 ”是研究一个实数集（角的弧度制组成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些集合图形的直观帮助，这体现了数形结合的思想。本节课将围绕任意角的三角函数的概念展开，能够利用单位圆理解该定义，是教学中的关键。
　　关键词：单位圆；任意角；三角函数；自主探究
　　一、案例的设计分析
　　（一）教学内容背景的分析
　　本节课是新人教A版必修四第一章《三角函数》的第1.2《任意角的三角函数》第一课时，是一节概念课。在初中，学生已经学过直角三角形中，锐角的三角函数是一个比值。在此基础上，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度之后，这里相应的也要将锐角三角函数推广到任意角的三角函数。
　　（二）学生分析
　　学生过去在直角三角形中研究过锐角三角函数，这可能对研究任意角三角函数会有一定的局限性，学生在用角的终边上的点的坐标来研究三角函数时可能会有一定的困难。
　　（三）学习目标
　　（1）知识与技能：
　　①借助直角坐标系和单位圆理解任意角的三角函数的定义；
　　②能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
　　（2）过程与方法：经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生发展过程，体会函数思想，领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验；
　　（3）情感与价值：通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜想的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
　　（四）教学重点、难点
　　（1）重点：任意三角函数的定义
　　（2）难点：用单位圆上点的坐标刻画三角函数。
　　二、教学过程
　　（一）复习引入
　　提问：你能回忆锐角三角函数的定义吗？
　　设计意图：从初中学过的知识出发，来让学生认识任意角的三角函数的定义。
　　（二）新课讲解
　　（1）问题系统一：
　　提问：你能用直角坐标系中角终边的点的坐标来表示锐角三角函数吗？引导学生用坐标法来研究锐角三角函数。此时教师在直角三角形所在的平面上画出相应的直角坐标系，画出角α的终边，学生给出相应的坐标，并用坐标表示三角函数值。进一步提问，如果改变终边上点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？
　　设计意图：以此说明三角函数值与终边上的点的位置无关。
　　即时训练1：已知角α的终边经过，求角α的正弦、余弦和正切值。
　　（2）问题系统二：
　　提问：能否通过取适当的点而将表达简化？学生可发现取到原点距离为1的点最简单。设计意图：由此引出单位圆定义，给出任意角三角函数的定义。
　　（三）课堂小结
　　（1）今天我们都学了什么？
　　（2）在解决这些问题时我们都采用了哪些数学思想和方法？
　　设计意图：对学习过程进行反思，对问题的思想方法进行总结。此环节先让学生自己总结，教师在此基础上再进行概括，应注意数学方法和数学思想。
　　三、本案例课堂教学引发的思考
　　（一）教学中关键点的处理上出现的问题
　　学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时出现问题，原因是他们认为这一特殊点不具有任意性。我便引导学生利用相似三角形的知识来证明，明白对于一个确定的角，其三角函数值也就随之唯一确定了，与终边上所取点的位置无关。
　　（二）教学设计及教学实施过程我认为有以下意义
　　善于思考的人才能学好数学。本案例所有问题的设计，都经过深思熟虑，结合学生的接受能力，层层递进，引导学生进入思考的境界，让学生在思考中体验新旧知识的内在联系，在思考中体会数形结合、类比等数学思想方法，在思考中学会分析、解决问题。
　　章建跃老师曾写过：在概念教学上要理解數学，理解学生，理解教学。教师不仅要掌握丰富的学科知识，中学数学知识结构体系、教学重点，还要掌握学生数学学习的难点，评估学生理解知识的水平。内容所反映的数学思想方法的理解决定了教学水平的高低。概念教学的核心是概括，将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生观察、分析各类事物的属性、抽象概括本质属性，归纳得出数学概念。这样我们才有正确的理论，指导我们得到高效的概念课堂。