摘 要：如何减轻学生学习数学的负担，如何提高我们高中数学学习的实效性. 本文通过对一类代数综合题的归纳，让学生体会如何突破思维障碍，解决数学问题.进而让学生了解归纳意识对数学思维的重要作用，并有意识地进行训练.
　　关键词：思维能力；归纳；代数题型
　　思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物本质和内部的规律. 而高中学生数学思维，是指高中学生在对数学感性认识的基础上，运用分析、比较、归纳、演绎、综合等思维的基本方法，理解并掌握数学内容，而且能对具体的数学问题进行简单的推论和判断，从而认识高中数学知识本质以及规律. 高中学生如何提高数学思维能力呢？我们认为，虽然数学思维能力并非总等同于解题，但可以这样说，高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、基本定理和公式理解的基础上的；数学思维能力的提高与数学解题的过程是紧密相关、无法分割的. 发展学生数学思维最有效、最直接的方法是通过解决问题来实现的. “问题是数学的心脏”. 然而，在学习高中数学过程中，我们经常可以听到学生反映，上课听老师讲课都听得懂，但轮到自己解题时，总感到一头雾水，困难重重，无从入手；有时在课堂上，当我们把某一问题分析完，经常看到学生拍拍自己的脑袋：“唉，我怎么会没有想到这样做呢？”事实上，有不少问题的解答，学生感到困难，并不是因为这些问题的解答都非常难，以致学生没有办法解决，而是因为其思维形式与具体问题的解决存在着一些差异，也就是说，此时学生的数学思维存在障碍. 这种思维障碍，有的来自于我们教学过程中的疏漏，而更多的则来自学生自身，他们的脑海中存在着一些错误的或不科学的知识结构和思维模式. 如何突破这种思维障碍呢？笔者觉得及时对知识进行归纳总结是一种非常有效的方法.
　　所谓的归纳，就是通过观察和比较，发现不同对象之间的区别和联系，然后总结他们的共同特点，得出一般性结论. 这是一种从特殊到一般的推理方法. 有计划地对知识进行梳理、归纳和总结，一方面可以巩固旧知识，而且还可以实现预览新知识的目的；另一方面可以通过归纳总结增强记忆力，加深理解，帮助学生把知识转化为能力，为以后的学习奠定基础. 归纳有很多的形式，可以归纳知识体系，可以归纳解题方法，可以归纳解题步骤，可以归纳错误原因等.归纳无处不在，本文主要是对一类代数综合题的转化方法进行归纳，目的为了让学生掌握这类题型的转化方法，提高他们的思维能力.
　　我们在教学过程中，常常遇到一些有关恒成立和存在性问题的代数综合问题. 这些问题往往涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法. 学生面对这些问题往往一筹莫展，无从下手，或者张冠李戴，转化错误. 其实这类问题的解题的基本思路是：根据已知条件将问题向基本类型转化，通过分离参数或构造函数，转化为最值问题进行求解. 归纳一下，主要有以下几种类型.
　　类型一 “?x∈D，f（x）>g（x）”
　　对于形如?x∈D，f（x）>g（x）的问题，一般先构造函数y=f（x）-g（x），然后转化为?x∈D，y>0，即ymin>0.
　　例1 二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1.
　　（1）求f（x）的解析式；
　　（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围.
　　解：（1）f（x）=x2-x+1.
　　（2）因为y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，故f（x）>2x+m在[-1，1]上恒成立，即x2-x+1>2x+m恒成立，令g（x）=x2-x+1-2x=x2-3x+1，g（x）min>m，而g（x）min= -，所以m<-.
　　点评：本题中，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方可转化为f（x）>2x+m在[-1，1]上恒成立，然后构造函数求解. 注意不能转化为f（x）min>（2x+m）max，因为在本题中左式和右式必须取相同的x.
　　同类型的还有：?x∈D，f（x）>g（x），构造函数y=f（x）-g（x），转化为ymax>0.
　　类型二 ?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2）
　　对于形如?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2）的问题，式中有两个变量x1，x2，我们采取的方法是逐个转化，先把其中一个作为变元，另一个作为常量，如x1为变元，?x1∈D，f（x1）>g（x2），转化为f（x）min>g（x2），再将x2作为变元，?x2∈D，f（x）min>g（x2），转化为f（x）min>g（x）min，进行处理.
　　例2 已知函数f（x）=2|x-m|和函数g（x）=x
　　x-m
　　+2m-8. 若对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[4，+∞），使得f（x1）>g（x2）成立，求实数m的取值范围.
　　解： f（x）=2x-m，x≥m，
　　2m-x，xg（x2）min.
　　①当4≤m≤8时，f（x）在（-∞，4]上单调递减，故f（x）≥f（4）=2m-4. g（x）在[4，m]上单调递减，[m，+∞）上单调递增，故g（x）≥g（m）=2m-8. 所以2m-4>2m-8，解得46.
　　所以4　　②当m>8时，f（x）在（-∞，4]上单调递减，故f（x）≥f（4）=2m-4. g（x）在
　　4，
　　单调递增，
　　，m
　　上单调递减，[m，+∞）上单调递增，
　　g（4）=6m-24>g（m）=2m-8，
　　故g（x）≥g（m）=2m-8. 所以2m-4>2m-8， 　　解得46，所以m>8.
　　③0　　故f（x）≥f（m）=1，g（x）在[4，+∞）上单调递增，
　　故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m<1，即　　④m≤0时，f（x）在（-∞，m]上单调递减，[m，4]上单调递增，
　　故f（x）≥f（m）=1. g（x）在[4，+∞）上单调递增，
　　故g（x）≥g（4）=8-2m. 所以8-2m<1，即m>（舍去）.
　　综上，m的取值范围是
　　，5
　　∪（6，+∞）.
　　点评：注意与例1的区别，这里左、右两边的变量可以取不同的值.
　　同类型的还有：（1）?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2），转化为f（x）min>g（x）max；
　　（2）?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2），转化为f（x）max>g（x）max；
　　（3）?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2），转化为f（x）max>g（x）min.
　　类型三 ?x1∈D，?x2∈D，f（x1）=g（x2）
　　对于形如?x1∈D，?x2∈D，f（x1）=g（x2）的问题，可将f（x）的值域记为A，函数g（x）的值域记为B，该问题等价为A?B.
　　例3 函数f（x）=x2-2x，g（x）=mx+2，对任意x1∈[-1，2]，存在x2∈[-1，2]，使g（x1）=f（x2），则实数m的取值范围是________.
　　解：x1∈[-1，2]，g（x）=mx+2的值域记为A，x2∈[-1，2]，f（x）=x2-2x的值域记为B，易知B=[-1，3]. 因为对任意x1∈[-1，2]，存在x2∈[-1，2]，使g（x1）=f（x2），故A?B.
　　（1）当m>0，A=[-m+2，2m+2]，所以2m+2≤3且-m+2≥-1，即0　　（2）当m<0，A=[2m+2，-m+2]，所以 -m+2≤3且2m+2≥-1，即-1≤m<0.
　　（3）当m=0，A={2}，满足A?B.
　　综上所述，m∈
　　-1，
　　.
　　点评：根据函数的定义，任一个自变量x，都存在唯一的应变量y与之对应，所以?x∈D，f（x）=m要成立，m的取值集合就是函数f（x）的值域，?x∈D，m=g（x），m应该属于g（x）的取值集合，故函数f（x）的值域为g（x）的值域的子集.
　　类型四 ?x1，x2∈D，
　　f（x1）-f（x2）
　　≤C
　　对于形如?x1，x2∈D，
　　f（x1）-f（x2）
　　≤C的问题，因为
　　f（x1）-f（x2）
　　≤f（x）max-f（x）min，所以原命题等价为f（x）max-f（x）min≤C.
　　例4 已知函数f（x）=x2-2ax+5（a>1）.
　　（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
　　（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有
　　f（x1）-f（x2）
　　≤4，求实数a的取值范围.
　　解：（1）因为f（x）=（x-a）2+5-a2（a>1），所以f（x）在[1，a]上是减函数，
　　又定义域和值域均为[1，a]，
　　所以f（1）=a，
　　f（a）=1，即1-2a+5=a，
　　a2-2a2+5=1，解得a=2.
　　（2）因为f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，所以a≥2.
　　又x=a∈[1，a+1]且（a+1）-a≤a-1，
　　所以f（x）max=f（1）=6-2a，f（x）min=f（a）=5-a2.
　　因为对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有
　　f（x1）-f（x2）
　　≤4，
　　所以f（x）max-f（x）min≤4，所以2≤a≤3.
　　点评：c≥f（x）恒成立，即c≥f（x）max，因为x1，x2是两个不相关的变量，所以可以等价为函数f（x）在区间D上的函数差的最大值小于c. 如果x1，x2是两个相关变量，则需要代入x1，x2之间的关系式转化为一元问题进行处理.
　　类型五 ?x1，x2∈D，
　　f（x1）-f（x2）
　　≤a
　　x1-x2
　　对于形如?x1，x2∈D，
　　f（x1）-f（x2）
　　≤a
　　x1-x2
　　这样的问题，首先根据函数f（x）的单调性去掉
　　f（x1）-f（x2）
　　≤a
　　x1-x2
　　中的绝对值符号，再构造函数g（x）=f（x）-ax，从而将问题转化为新函数g（x）的单调性.
　　例5 在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数f（x）为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”. 已知函数f（x）=1-.
　　（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；
　　（2）设x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，证明：
　　f（x1）-f（x2）
　　<
　　x1-x2
　　；
　　解：（1）显然f（x）在区间（0，1]上为增函数，因为f（x）=（1-）=·=·=·=，所以f（x）在区间（0，1]上为减函数.
　　所以f（x）在区间（0，1]上为“弱增函数”.
　　（2）要证
　　f（x1）-f（x2）
　　<
　　x1-x2
　　，不妨设0≤x1f（x1），那么只要证f（x2）-f（x1）<（x2-x1），即证f（x2）-x2　　点评：?x1，x2∈D，
　　f（x1）-f（x2）
　　　　x1-x2
　　等价为
　　k
　　=≤a，再进一步等价为
　　f ′（x）
　　≤a，这种做法虽可以解出正确答案，但由于缺乏理论支持，解题时不可直接使用.
　　所以我们在解决这一类问题时，应该首先分辨所属问题的类型，如果只有一个变量问题，那么首先考虑参数分离；如果不能参数分离或者参数分离后所形成函数不能够处理，那么可以选择构造函数来处理；如果有两个变量，那么只需要按照上面归纳方法来处理即可.
　　总之，数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量，所以我们要重视研究解题的方向和策略. 这就需要我们时刻拥有归纳意识. 如果我们在解题过程中，经常归纳总结题型、方法和注意点，并储存在记忆中. 这样拿到一道题目时，就可以很快地从题目的条件和求解（或求证）的过程中提取有用的信息，联系记忆系统中的数学认知结构，提取相关的知识，推动题目信息的延伸，归结到某个确定的数学关系，从而形成一个解题方向. 当我们在解题过程中不断进行这样的思考和操作时，数学思维能力将得到有效的提高.