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一、 集合
纵览各种有关集合的新题,大致可分三类:(一) 集合概念的理解与证明;(二) 集合语言的理解与转化;(三) 集合中的新定义问题.
(一) 集合概念的理解与证明
【例1】 设M={x|f(x)=x},
N=xff(x)=x.
(1) 求证:MN.
(2) 当f(x)为单调递增函数时,是否有M=N?证明之.
点评 这类问题的创新点在于其抽象,给人感觉陌生而新鲜.但究其本质即为定义证明,因而只要我们抓住定义、围绕定义问题即可迎刃而解.如本题中的MN要围绕子集的定义即对于两个集合M和N,如果集合M中的任何一个元素都是集合N的元素,则集合M是集合N的子集.当然,证明中要有分类讨论的意识,注意对集合特别是的讨论.
解析 (1) ①若M=,则MN;②若M≠,则存在x1∈N,使fx0=x0,由题ffx0=fx0=x0,所以x0∈N,故MN.
(2) 由题M=N,下用反证法证明.
假设M≠N,则MN.设x1∈N,而x1M,则fx1≠x1.
①若fx1>x1,则ffx1>fx1,即x1>fx1,矛盾;
②若fx1 (二) 集合语言的理解与转化.
【例2】 设集合A=(x,y)m2≤(x-2)2+y2≤m2,x,y∈R,B=(x,y)2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R,若A∩B≠,则实数m的取值范围是.
点评 这类问题的创新点在于用集合语言描述数学知识.解决其关键就是将集合语言翻译成我们熟悉的数学问题,并注意利用其他各章节的知识解题,如将本题中的集合A、B、A∩B≠翻译成对应的几何意义,利用直线与圆的位置关系解题.
解析 由题A∩B≠知A≠,因此
m2≤m2,得m≥12或m≤0.下对m讨论.
①若m=0,点(2,0)显然不在区域
0≤x+y≤1内,所以m≠0;
②若m≠0,要使A∩B≠,则只需圆(x-2)2+y2=m2与x+y=2m或x+y=2m+1有交点,利用圆心与直线的距离有2-2m2≤m或1-2m2≤m,解得2-22≤m≤2+2,
即12≤m≤2+2.综上,12≤m≤2+2.
(三) 集合中的新定义问题.
【例3】 在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为k,即k=5n+kn∈Z,k=0,1,2,3,4,给出如下四个结论①2011∈1;②-3∈3;③Z=0∪1∪2∪3∪4; ④“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈0”.其中正确的结论是.
点评 这类问题的创新点在于以集合为背景,给出一个新的定义.对于集合新定义问题,解题关键是读懂题目,弄清新定义概念的含义,如本题中的“类”的意义所指.
解析 所谓k“类”即被5除所得余数为k的所有整数的集合.下用新定义解题.
①2011被5除余1,满足;②-3被5除余2,不合;③任一整数被5除余数必为0,1,2,3,4中之一,满足;④充分性:若整数a,b属于同一类,设a=5n1+k,b=5n2+k,则a-b=5n1-n2,满足a-b∈0;必要性:若a-b∈0,设a-b=5n,不妨设b=5m+k,则a=5m+5n+k,满足整数a,b属于同一类.故正确结论是①③④.
二、 简易逻辑
简易逻辑是集合的另一种数学语言,因此语言转化是其解题的关键.纵览各种有关简易逻辑的新题,大致可分三类:(一) 充要条件的推理与反例;(二) 充要条件的理解与转化;(三) 四种命题、全称量词和存在量词的理解与转化.
(一) 充要条件的推理与反例
【例4】 若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补,记(a,b)=a2+b2-a-b,那么(a,b)=0是a与b互补的条件.
点评 这类问题的创新点在于在全新的、抽象的背景下研究充要条件.对于充要条件的研究正确推理和列举反例是首要方法.
解析 答案为充要条件,正确推理是关键.若(a,b)=0,则a2+b2=a+b,平方得ab=0,且a≥0,b≥0,故a与b互补;若a与b互补,则a≥0,b≥0且ab=0,即a=0,b≥0或b=0,a≥0,此时都有(a,b)=0,充要条件得证.
(二) 充要条件的理解与转化
【例5】 已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤1},B={(x,y)|x2+y2≤r2,r>0},若“点(x,y)∈A”是“点(x,y)∈B”的必要条件,则r的最大值是.
点评 推理难,背景复杂是这类充要条件新题的难点.对于这种推理难,背景复杂的问题,理解题意并进行等价转化是解题的关键,当然也是充要条件研究的另一种有效方法.
解析 充分不必要条件可等价转化为结论是条件的子集,必要条件即条件是结论的子集,因而例5可利用B是A的子集解题,即圆面x2+y2≤r2在正方形区域x+y≤1内,显然相切时r取得最大值;从另一个角度讲,充分不必要条件也可等价转化为在条件下结论恒成立.
(三) 四种命题、全称量词和存在量词的理解与转化
【例6】 已知条件p:2xx-1<1,条件q:x-ax-3>0.若
p是
q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.
【例7】 已知函数f(x)=x2,g(x)=12x-m,若对x1∈[-1,3],x1∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.
点评 与四种命题、全称量词和存在量词有关的新题往往是符号复杂,难懂,如例6中的
p是
q的必要不充分条件,例7中的,,使得f(x1)≥g(x2)等.解决问题的关键是理解题意,利用命题的等价关系进行命题转化,利用全称量词与存在量词的意义进行最值转化.
解析 利用原命题与逆否命题的等价性,例6中
p是
q的必要不充分条件可转化为p是q的充分不必要条件,即p是q的子集,问题迎刃而解;例7利用存在性与任意性对问题进行最值转化,即任意性与恒成立等价,存在与有解等价.因而x1∈[-1,3],x1∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)在[-1,3]上的最小值大于等于g(x)在[0,2]的最小值,即0≥14-m,解得m≥14.
考虑了很少的那几样东西之后,整个的事情就归结为纯几何,这是物理和力学的一个目标。—莱布尼茨
牛刀小试
1. 设集合M={y|y=|cos2θ-sin2θ|,x∈R},
N=xx-1i<2,i为虚数单位,x∈R,
则M∩N=.
2. 已知α1,α2,α3是三个相互平行的平面,平面α1,α2之间的距离为d1,平面α2,α3之间的距离为d2,直线l和α1,α2,α3分别相交于P1,P2,P3,那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的 条件.
3. 设x,y∈R,则“x≠2或y≠2”是“x2+y2≠8”的条件.
4. 设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a=.
【参考答案】
1. 0,1 提示:将集合语言分别转化三角函数值域和复数的模.
2. 充分必要 提示:正确推理是解题关键.
3. 必要不充分 提示:利用原命题与逆否命题的等价性进行转化更利于解题.
4. 4 提示:利用全称量词意义进行最值转化.
纵览各种有关集合的新题,大致可分三类:(一) 集合概念的理解与证明;(二) 集合语言的理解与转化;(三) 集合中的新定义问题.
(一) 集合概念的理解与证明
【例1】 设M={x|f(x)=x},
N=xff(x)=x.
(1) 求证:MN.
(2) 当f(x)为单调递增函数时,是否有M=N?证明之.
点评 这类问题的创新点在于其抽象,给人感觉陌生而新鲜.但究其本质即为定义证明,因而只要我们抓住定义、围绕定义问题即可迎刃而解.如本题中的MN要围绕子集的定义即对于两个集合M和N,如果集合M中的任何一个元素都是集合N的元素,则集合M是集合N的子集.当然,证明中要有分类讨论的意识,注意对集合特别是的讨论.
解析 (1) ①若M=,则MN;②若M≠,则存在x1∈N,使fx0=x0,由题ffx0=fx0=x0,所以x0∈N,故MN.
(2) 由题M=N,下用反证法证明.
假设M≠N,则MN.设x1∈N,而x1M,则fx1≠x1.
①若fx1>x1,则ffx1>fx1,即x1>fx1,矛盾;
②若fx1
【例2】 设集合A=(x,y)m2≤(x-2)2+y2≤m2,x,y∈R,B=(x,y)2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R,若A∩B≠,则实数m的取值范围是.
点评 这类问题的创新点在于用集合语言描述数学知识.解决其关键就是将集合语言翻译成我们熟悉的数学问题,并注意利用其他各章节的知识解题,如将本题中的集合A、B、A∩B≠翻译成对应的几何意义,利用直线与圆的位置关系解题.
解析 由题A∩B≠知A≠,因此
m2≤m2,得m≥12或m≤0.下对m讨论.
①若m=0,点(2,0)显然不在区域
0≤x+y≤1内,所以m≠0;
②若m≠0,要使A∩B≠,则只需圆(x-2)2+y2=m2与x+y=2m或x+y=2m+1有交点,利用圆心与直线的距离有2-2m2≤m或1-2m2≤m,解得2-22≤m≤2+2,
即12≤m≤2+2.综上,12≤m≤2+2.
(三) 集合中的新定义问题.
【例3】 在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为k,即k=5n+kn∈Z,k=0,1,2,3,4,给出如下四个结论①2011∈1;②-3∈3;③Z=0∪1∪2∪3∪4; ④“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈0”.其中正确的结论是.
点评 这类问题的创新点在于以集合为背景,给出一个新的定义.对于集合新定义问题,解题关键是读懂题目,弄清新定义概念的含义,如本题中的“类”的意义所指.
解析 所谓k“类”即被5除所得余数为k的所有整数的集合.下用新定义解题.
①2011被5除余1,满足;②-3被5除余2,不合;③任一整数被5除余数必为0,1,2,3,4中之一,满足;④充分性:若整数a,b属于同一类,设a=5n1+k,b=5n2+k,则a-b=5n1-n2,满足a-b∈0;必要性:若a-b∈0,设a-b=5n,不妨设b=5m+k,则a=5m+5n+k,满足整数a,b属于同一类.故正确结论是①③④.
二、 简易逻辑
简易逻辑是集合的另一种数学语言,因此语言转化是其解题的关键.纵览各种有关简易逻辑的新题,大致可分三类:(一) 充要条件的推理与反例;(二) 充要条件的理解与转化;(三) 四种命题、全称量词和存在量词的理解与转化.
(一) 充要条件的推理与反例
【例4】 若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补,记(a,b)=a2+b2-a-b,那么(a,b)=0是a与b互补的条件.
点评 这类问题的创新点在于在全新的、抽象的背景下研究充要条件.对于充要条件的研究正确推理和列举反例是首要方法.
解析 答案为充要条件,正确推理是关键.若(a,b)=0,则a2+b2=a+b,平方得ab=0,且a≥0,b≥0,故a与b互补;若a与b互补,则a≥0,b≥0且ab=0,即a=0,b≥0或b=0,a≥0,此时都有(a,b)=0,充要条件得证.
(二) 充要条件的理解与转化
【例5】 已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤1},B={(x,y)|x2+y2≤r2,r>0},若“点(x,y)∈A”是“点(x,y)∈B”的必要条件,则r的最大值是.
点评 推理难,背景复杂是这类充要条件新题的难点.对于这种推理难,背景复杂的问题,理解题意并进行等价转化是解题的关键,当然也是充要条件研究的另一种有效方法.
解析 充分不必要条件可等价转化为结论是条件的子集,必要条件即条件是结论的子集,因而例5可利用B是A的子集解题,即圆面x2+y2≤r2在正方形区域x+y≤1内,显然相切时r取得最大值;从另一个角度讲,充分不必要条件也可等价转化为在条件下结论恒成立.
(三) 四种命题、全称量词和存在量词的理解与转化
【例6】 已知条件p:2xx-1<1,条件q:x-ax-3>0.若
p是
q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.
【例7】 已知函数f(x)=x2,g(x)=12x-m,若对x1∈[-1,3],x1∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.
点评 与四种命题、全称量词和存在量词有关的新题往往是符号复杂,难懂,如例6中的
p是
q的必要不充分条件,例7中的,,使得f(x1)≥g(x2)等.解决问题的关键是理解题意,利用命题的等价关系进行命题转化,利用全称量词与存在量词的意义进行最值转化.
解析 利用原命题与逆否命题的等价性,例6中
p是
q的必要不充分条件可转化为p是q的充分不必要条件,即p是q的子集,问题迎刃而解;例7利用存在性与任意性对问题进行最值转化,即任意性与恒成立等价,存在与有解等价.因而x1∈[-1,3],x1∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)在[-1,3]上的最小值大于等于g(x)在[0,2]的最小值,即0≥14-m,解得m≥14.
考虑了很少的那几样东西之后,整个的事情就归结为纯几何,这是物理和力学的一个目标。—莱布尼茨
牛刀小试
1. 设集合M={y|y=|cos2θ-sin2θ|,x∈R},
N=xx-1i<2,i为虚数单位,x∈R,
则M∩N=.
2. 已知α1,α2,α3是三个相互平行的平面,平面α1,α2之间的距离为d1,平面α2,α3之间的距离为d2,直线l和α1,α2,α3分别相交于P1,P2,P3,那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的 条件.
3. 设x,y∈R,则“x≠2或y≠2”是“x2+y2≠8”的条件.
4. 设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a=.
【参考答案】
1. 0,1 提示:将集合语言分别转化三角函数值域和复数的模.
2. 充分必要 提示:正确推理是解题关键.
3. 必要不充分 提示:利用原命题与逆否命题的等价性进行转化更利于解题.
4. 4 提示:利用全称量词意义进行最值转化.