教师讲复习课容易走两种极端,一是题海战术,让学生每天进行无休止的机械训练;二是表演战术,每节课从第一分钟讲到最后一分钟,学生没有任何自主利用的时间.数学教师的确离不开讲题,几乎每一天都会解题、讲题、评题,其中值得总结的地方很多.本文提出一种模式,小题大作,即选定一个典型的问题,最好是一道学生熟悉的题或出自课本上的题,然后一节课都围绕这一道题展开,师生互动,将主要数学思想方法通过题目的开发渗透其中.
　　题目:已知a2+b2=1,求证:acosθ+bsinθ≤1.
　　这是人教版必修4-5《不等式选讲》第36页的习题3.1的第4题,用柯西不等式学生很容易解决.考虑到数学题的美感,笔者将其变形开发为一道更具一般性的问题,再引导学生进行开发.
　　变式:已知a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1求证:ax+by≤1.
　　1. 本题的常规解法
　　方法1,用柯西不等式.
　　∵(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,a2+b2=1,x2+y2=1
　　∴(ax+by)2≤1,即:ax+by≤1.
　　方法2,用三角代换.
　　∵x2+y2=1,a2+b2=1
　　∴设x=sinα,y=cosα,a=sinθ,b=cosθ
　　∴ax+by=sinθsinα+cosθcosα=cos(θ-α)≤1.
　　方法3,用向量方法.
　　设∵=(a,b),=(x,y),∵a2+b2=1,x2+y2=1
　　∴==1,由•≤•得ax+by≤1.
　　以上三种方法学生可以经过研究自己发现,理应由学生完成而不能教师代劳.开发这一道题,只要教师给出了这一道题,学生在很短的时间内便可给出上述解法,教师适时点评即可.特别是由a2+b2=1与x2+y2=1联系到三角代换体现了化归与转化的思想,为后续延伸与拓展打下埋伏,向量方法学生也容易想到,因为课本上柯西不等式的证明就是用向量方法证明的.
　　2. 本题的几何解法
　　方法4,解析几何方法.
　　∵a2+b2=1,∴ax+by=,即看作单位圆x2+y2=1上的点P(x,y)到直线ax+by=0的距离,∴该直线过圆心,结合图形可知ax+by≤1.
　　方法5,平面几何方法.
　　x,y,a,b中有一个为0时结论显然成立,考虑到ax+by≤a•x+b•y,构造一个直径为1的圆并作一个内接四边形,令AC为直经.设AB=y,BC=x,AD=a,CD=b,显然a2+b2=1,x2+y2=1.用托勒密定理AB•CD+AB•BC≤AC•BD,易知结论成立.
　　方法6,复数方法.
　　设Z1=a+bi(a,b∈R),Z2=y+xi(x,y∈R),依题意a2+b2=1,x2+y2=1.
　　∵Z1=Z2=1,∴Z1•Z2=Z1•Z2
　　∴1=Z1•Z2=(a+bi)(y+xi)
　　=(ay-bx)(ax+by)i
　　=
　　∵(ay-bx)2≥0,∴(ax+by)2≤1,即:ax+by≤1.
　　上述三种方法都具有明显的几何特征,结合图形思考问题是很多学生欠缺的.在师生互动的前提下,学生在教师的引领下沿着指明的方向往前走,不难得到上述解法.
　　3. 本题的另类解法
　　既然是开发题目,不妨给学生一些另类的解法,将题目进行延伸与拓展.虽然这些方法难以想到,但能提起学生的兴趣,让学生们觉得小题也可大作.
　　方法7,反证法.
　　假设ax+by>1,则(ax+by)2=a2x2+b2y2+2abxy>1①
　　由已知(a2+b2)(x2+y2)=1可得a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=1②
　　由①-②得2abxy-(b2x2+a2y2)>0,即(bx-ay)2<0.
　　这是不可能成立的,假设错误,故结论成立.
　　方法8,证明其逆否命题.
　　若ax+by>1则x2+y2与a2+b2至少有一个不等于1.
　　∵ax+by>1,∴1<(ax+by)2≤(x2+y2)(a2+b2),即(x2+y2)(a2+b2)>1,∴x2+y2与a2+b2至少一个不等于1.
　　∴逆否命题真,故原命题也真.
　　方法9,放缩法.
　　∵a2+b2=1,x2+y2=1
　　∴ax+by≤ax+by≤+=(a2+b2+x2+y2)=1.
　　方法10,构造二次函数.
　　令f(t)=(a2+b2)t2+2(ax+by)t+(x2+y2),即f(t)=(at+x)2+(bt+y)2≥0
　　∴=4(ax+by)2-4(a2+b2)(x2+y2)≤0,即(ax+by)2≤1,即ax+by≤1.
　　4. 本题的变式与拓展
　　上述解法体观了解数学题的常用思维与技巧,是学生应试前必须熟练掌握的.为了巩固与提高,可以开发出一些变式题作为学生课后练习巩固用.
　　1. 求函数y=5+的最大值.
　　2. 已知a,b,c,d∈R且a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求证:1≤a≤2.
　　3. 若a,b,c,x,y,z∈R且a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=1,求证:ax+by+cz≤1.
　　4. 若x,y,a,b∈R且x2+y2=1,a2+b2=1,求证:(a-x)2+(b-y)2≤4.
　　5. 已知f(x)=,a≠b,求证f(a)-f(b)　　讲题也是一门艺术,如果能将数学思想方法渗透到日常教学中,让学生在日常学习过程中享受到做题的无穷乐趣,体验数学的无穷魅力,就是我们数学讲题教学追求的境界.
　　 责任编辑 罗 峰