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摘 要：在数学公式的教学中关注和讲究“慢”教学，是针对当下数学教育现状的一种理性反思，也是教育本质回归的追求；“慢”不是目的，不是“快”的简单反义词，更不是低效率磨洋工的代名词，它强调的是对公式生成过程的态度、崇尚回顾旧知的追求、有效优质的教学和多元智能的发展.
关键词：数学公式；理性反思；生成；数学对象
数学公式反映的是数学对象属性间的关系，公式中的字母是数学对象高度概括的具体表征. 学生对数学公式的理解程度决定了其对数学知识的达成度.在当下“高速度”、“快节奏”的现代生活中，教育作为现代生活的一部分，为了进度，为了高考，教师盲目追求高速度、快节奏的现象比比皆是. 一些教师在数学公式的教学中，直抛公式，大量训练，不注重公式的推导或推导不到位，导致学生对公式的理解处于“饥饿”、“吃夹生饭”的状态，更别提灵活的应用.很多学生感叹数学课上“听起来头头是道，做起来莫名其妙”.
面对高速度，快节奏带来的问题，人们提出“慢”生活. 在数学公式的教学中关注和讲究“慢”教学，是针对当下数学教育现状的一种理性反思，也是教育本质回归的追求；“慢”不是目的，不是“快”的简单反义词，更不是低效率磨洋工的代名词，它强调的是对公式生成过程的态度、崇尚回顾旧知的追求、有效优质的教学和多元智能的发展.
本文就结合“点到直线距离公式”教学实践，谈谈数学公式教学在“慢”中关注公式的发生、发展；在“慢”中强化知识的应用；在“慢”中发展学生的多元智能.
已知点P（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0，证点P到直线l的距离d=■.
？摇？摇
■“慢”中蕴涵数学方法，提高计算能力
分析：过点P作l1⊥l，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离，结合两点间的距离公式求解. 依题意l1：Bx-Ay-Bx0+Ay0=0.
Q（x，y）满足：Ax+By+C=0，Bx-Ay-Bx0+Ay0=0 ？圯Q■，■.
根据两点间距离公式得：
PQ2=■-x0■+■-y0■
=■■+■■
=■+■=■，
所以d=PQ=■.
数学知识的解读需要一个“慢”过程. 这种“慢”推导的优点在于证明思路简单，想法贴近学生的“最近发展区”，容易被学生理解和接受；但这对学生的计算能力要求颇高，特别是字母运算，对大多数学生来说是困难的. 学生在处理过程中所品尝到的“挫败感”，使学生感受到加强计算能力的重要性，提高计算能力的必要性. 同时让他们的数学运算能力得到一次很好的锻炼.
■“慢”中展示学生风采，培养思维能力
分析：点P到直线l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离.根据我们学过的知识，还有没其他的方法来证明点到直线距离公式呢？
以下是学生给出的证明.
法1：过点P作PQ⊥l，垂足为Q，过P点分别作x轴、y轴的平行线，交直线l于点S（x1，y0），R（x0，y2），则由Ax1+By0+C=0，Ax0+By2+C=0 得x1=■，y2=■.
PS=x0-x1=■，PR=y0-y2=■，
RS=■=■Ax0+By0+C，
d=PQ=■=■.
法2：对（一）中的l1和l，换个角度思考，重新构造方程. Q（x，y）满足：
Ax+By+C=0，Bx-Ay-Bx0+Ay0=0 ？圯A（x-x0）+B（y-y0）=？摇-Ax0-By0-C？摇……①B（x-x0）–A（y-y0）=0？摇……②.
由①2+②2得：（A2+B2）[（x-x0）2+（y-y0）2]=（Ax0+By0+C）2，
即：d=PQ=■=■.
法3：l上任一点Q（x，y），则PQ2=（x-x0）2+（y-y0）2=（x-x0）2+-■-y0■=■x2-■x+x■+y■+■
利用二次函数的最值公式得：
PQ■■=■=■=■，
即：d=PQmin=■=■.
法1学生通过预习和分析借助几何直观，减少了计算量，使学生的“数形结合”思维得到发展. 法2通过拼凑，体现“设而不求”的思维过程，达到证明的目的. 法3就是通过一般的二次函数最值问题，使学生对二次函数有了更深的理解和应用上的深度认识. 在做的过程中学生感受数学的魅力，激发他们对数学思维的神往；结束后，学生感叹“数学真神！”
数学问题的解决过程是一个“慢”过程. 教学中要确立学生的主体地位，就必须让学生参与解决问题的过程来，教师要舍得花时间“慢”下来，使学生充分展示自己的才华，张扬自己的个性，发展自己的思维，享受思维带给她们的乐趣和成就感.
■“慢”中体验数学情感，强化探究能力
分析：平面解析几何要注重点线在坐标内的位置关系，结合我们前面学习的倾斜角和斜率，不妨想一想，画一画，说一说，写一写.
想一想：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段长，这里有垂直；通过P点作x轴、y轴的垂线与直线l相交，这里有直角三角形……
画一画：
说一说：在△PRQ中，PR长可求，角α与直线的倾斜角θ相等或互补，PQ=PRcosα.
写一写：Rx0，■，PR=■；
θ>90°时，α=π-θ（如图2）；θ<90°时，α=θ（如图3）.
两种情况均有tan2α=tan2θ=■，cosα=■=■，PQ=PRcosα=■·■=■；得证.
数学学习的情感养成是一个“慢”过程.通过操作、探究，学生自行发现解决问题的方法. 学生在成功与失败、正确与错误的矛盾冲突中不断的深入，积极地探究；思维的碰撞激起强大的个体创造力. 让学生在“慢”操作中享受愉悦、积极的情感体验，最终在理解公式的同时饱尝成就感和幸福感. ■“慢”中拓展数学视野，锻炼创新能力
分析：在《必修5》“基本不等式”中我们对柯西不等式进行了补充和拓展，“柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）>=（ac+bd）2，当且仅当ad=bc时等号成立”，柯西不等式对这个公式的证明有没有什么借鉴价值呢？
由PQ2=（x-x0）2+（？摇y-y0）2，Ax+By+C=0来构造柯西不等式：
（A2+B2）[（x-x0）2+（y-y0）2]≥[A（x-x0）+B（y-y0）]2=（Ax0+By0+C）2？摇
所以■≥■，
当且仅当A（y-y0）=B（x-x0）时取等号，即最小值就是d=■. 数学感知发现的过程是一个“慢”过程. 应用不同的知识解决问题，所表现出来的机智和灵活性是大不同的，这就要求我们数学学习注重分析，要弄清知识的来龙去脉，领悟其中蕴涵的数学思想，“慢”工出细活，以此来提高自身的数学素养，锻炼自己的创新能力. 在享受数学学习所带来的乐趣同时，拓宽思路，让自己更喜欢数学，更会学数学.
■“慢”中感受数学魅力，升华应用能力
分析：在《必修4》的学习中，我们分析了第二章向量“空间”均为三角函数问题的第一章和第三章；我们知道向量作为工具，在高中的数学推理论证中的作用举足重轻. 向量作为工具对于点到直线距离公式的证明也不例外，把向量的学习放在解析几何之前，就为证明铺好路. 如何用向量来证明点到直线距离公式呢？
取直线l：Ax+By+C=0的方向向量v=（B，-A），直线上任意一点T（x，y），直线l的法向量为γ=（A，B），向量■=（x-x■，y-y■）在γ上的投影为■·■.
■·■=■=■=■，d=■·■？摇=■.
数学应用能力的培养是一个“慢”过程. 在“慢”中让学生感受如何将已学知识与新知识联系，如何让旧知识服务新知识，引导学生将已有知识转化为生产力. 教师要创造条件，让学生积极参与到分析的过程中来，在探索、发现中，体验成功的乐趣，感受数学的魅力，培养对数学的美好感情.
学生学习数学需要的是一个自己分析，或在他人正向引导下的分析、探究、理解和反思的“慢”过程. 不应当是被动的，“赶”着吸收书本的现成结论，而需要的是一个亲自参与的充满丰富思维活动的分析、实践、创新的过程. 数学的学习决不能只关心结果，死记硬背定理、法则、公式，而忽视其发生、发展、形成的过程. 数学公式教学“慢”下来，符合数学学科特点，符合数学教学规律的形成，符合生态教学的精神.
关键词：数学公式；理性反思；生成；数学对象
数学公式反映的是数学对象属性间的关系，公式中的字母是数学对象高度概括的具体表征. 学生对数学公式的理解程度决定了其对数学知识的达成度.在当下“高速度”、“快节奏”的现代生活中，教育作为现代生活的一部分，为了进度，为了高考，教师盲目追求高速度、快节奏的现象比比皆是. 一些教师在数学公式的教学中，直抛公式，大量训练，不注重公式的推导或推导不到位，导致学生对公式的理解处于“饥饿”、“吃夹生饭”的状态，更别提灵活的应用.很多学生感叹数学课上“听起来头头是道，做起来莫名其妙”.
面对高速度，快节奏带来的问题，人们提出“慢”生活. 在数学公式的教学中关注和讲究“慢”教学，是针对当下数学教育现状的一种理性反思，也是教育本质回归的追求；“慢”不是目的，不是“快”的简单反义词，更不是低效率磨洋工的代名词，它强调的是对公式生成过程的态度、崇尚回顾旧知的追求、有效优质的教学和多元智能的发展.
本文就结合“点到直线距离公式”教学实践，谈谈数学公式教学在“慢”中关注公式的发生、发展；在“慢”中强化知识的应用；在“慢”中发展学生的多元智能.
已知点P（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0，证点P到直线l的距离d=■.
？摇？摇
■“慢”中蕴涵数学方法，提高计算能力
分析：过点P作l1⊥l，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离，结合两点间的距离公式求解. 依题意l1：Bx-Ay-Bx0+Ay0=0.
Q（x，y）满足：Ax+By+C=0，Bx-Ay-Bx0+Ay0=0 ？圯Q■，■.
根据两点间距离公式得：
PQ2=■-x0■+■-y0■
=■■+■■
=■+■=■，
所以d=PQ=■.
数学知识的解读需要一个“慢”过程. 这种“慢”推导的优点在于证明思路简单，想法贴近学生的“最近发展区”，容易被学生理解和接受；但这对学生的计算能力要求颇高，特别是字母运算，对大多数学生来说是困难的. 学生在处理过程中所品尝到的“挫败感”，使学生感受到加强计算能力的重要性，提高计算能力的必要性. 同时让他们的数学运算能力得到一次很好的锻炼.
■“慢”中展示学生风采，培养思维能力
分析：点P到直线l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离.根据我们学过的知识，还有没其他的方法来证明点到直线距离公式呢？
以下是学生给出的证明.
法1：过点P作PQ⊥l，垂足为Q，过P点分别作x轴、y轴的平行线，交直线l于点S（x1，y0），R（x0，y2），则由Ax1+By0+C=0，Ax0+By2+C=0 得x1=■，y2=■.
PS=x0-x1=■，PR=y0-y2=■，
RS=■=■Ax0+By0+C，
d=PQ=■=■.
法2：对（一）中的l1和l，换个角度思考，重新构造方程. Q（x，y）满足：
Ax+By+C=0，Bx-Ay-Bx0+Ay0=0 ？圯A（x-x0）+B（y-y0）=？摇-Ax0-By0-C？摇……①B（x-x0）–A（y-y0）=0？摇……②.
由①2+②2得：（A2+B2）[（x-x0）2+（y-y0）2]=（Ax0+By0+C）2，
即：d=PQ=■=■.
法3：l上任一点Q（x，y），则PQ2=（x-x0）2+（y-y0）2=（x-x0）2+-■-y0■=■x2-■x+x■+y■+■
利用二次函数的最值公式得：
PQ■■=■=■=■，
即：d=PQmin=■=■.
法1学生通过预习和分析借助几何直观，减少了计算量，使学生的“数形结合”思维得到发展. 法2通过拼凑，体现“设而不求”的思维过程，达到证明的目的. 法3就是通过一般的二次函数最值问题，使学生对二次函数有了更深的理解和应用上的深度认识. 在做的过程中学生感受数学的魅力，激发他们对数学思维的神往；结束后，学生感叹“数学真神！”
数学问题的解决过程是一个“慢”过程. 教学中要确立学生的主体地位，就必须让学生参与解决问题的过程来，教师要舍得花时间“慢”下来，使学生充分展示自己的才华，张扬自己的个性，发展自己的思维，享受思维带给她们的乐趣和成就感.
■“慢”中体验数学情感，强化探究能力
分析：平面解析几何要注重点线在坐标内的位置关系，结合我们前面学习的倾斜角和斜率，不妨想一想，画一画，说一说，写一写.
想一想：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段长，这里有垂直；通过P点作x轴、y轴的垂线与直线l相交，这里有直角三角形……
画一画：
说一说：在△PRQ中，PR长可求，角α与直线的倾斜角θ相等或互补，PQ=PRcosα.
写一写：Rx0，■，PR=■；
θ>90°时，α=π-θ（如图2）；θ<90°时，α=θ（如图3）.
两种情况均有tan2α=tan2θ=■，cosα=■=■，PQ=PRcosα=■·■=■；得证.
数学学习的情感养成是一个“慢”过程.通过操作、探究，学生自行发现解决问题的方法. 学生在成功与失败、正确与错误的矛盾冲突中不断的深入，积极地探究；思维的碰撞激起强大的个体创造力. 让学生在“慢”操作中享受愉悦、积极的情感体验，最终在理解公式的同时饱尝成就感和幸福感. ■“慢”中拓展数学视野，锻炼创新能力
分析：在《必修5》“基本不等式”中我们对柯西不等式进行了补充和拓展，“柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）>=（ac+bd）2，当且仅当ad=bc时等号成立”，柯西不等式对这个公式的证明有没有什么借鉴价值呢？
由PQ2=（x-x0）2+（？摇y-y0）2，Ax+By+C=0来构造柯西不等式：
（A2+B2）[（x-x0）2+（y-y0）2]≥[A（x-x0）+B（y-y0）]2=（Ax0+By0+C）2？摇
所以■≥■，
当且仅当A（y-y0）=B（x-x0）时取等号，即最小值就是d=■. 数学感知发现的过程是一个“慢”过程. 应用不同的知识解决问题，所表现出来的机智和灵活性是大不同的，这就要求我们数学学习注重分析，要弄清知识的来龙去脉，领悟其中蕴涵的数学思想，“慢”工出细活，以此来提高自身的数学素养，锻炼自己的创新能力. 在享受数学学习所带来的乐趣同时，拓宽思路，让自己更喜欢数学，更会学数学.
■“慢”中感受数学魅力，升华应用能力
分析：在《必修4》的学习中，我们分析了第二章向量“空间”均为三角函数问题的第一章和第三章；我们知道向量作为工具，在高中的数学推理论证中的作用举足重轻. 向量作为工具对于点到直线距离公式的证明也不例外，把向量的学习放在解析几何之前，就为证明铺好路. 如何用向量来证明点到直线距离公式呢？
取直线l：Ax+By+C=0的方向向量v=（B，-A），直线上任意一点T（x，y），直线l的法向量为γ=（A，B），向量■=（x-x■，y-y■）在γ上的投影为■·■.
■·■=■=■=■，d=■·■？摇=■.
数学应用能力的培养是一个“慢”过程. 在“慢”中让学生感受如何将已学知识与新知识联系，如何让旧知识服务新知识，引导学生将已有知识转化为生产力. 教师要创造条件，让学生积极参与到分析的过程中来，在探索、发现中，体验成功的乐趣，感受数学的魅力，培养对数学的美好感情.
学生学习数学需要的是一个自己分析，或在他人正向引导下的分析、探究、理解和反思的“慢”过程. 不应当是被动的，“赶”着吸收书本的现成结论，而需要的是一个亲自参与的充满丰富思维活动的分析、实践、创新的过程. 数学的学习决不能只关心结果，死记硬背定理、法则、公式，而忽视其发生、发展、形成的过程. 数学公式教学“慢”下来，符合数学学科特点，符合数学教学规律的形成，符合生态教学的精神.