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三角形的高是人教版四年级下册“三角形”单元的内容。课标明确要求学生要掌握高的概念，认识对应的底和高，并会作高。高的认识和作高的技能在小学数学教学中占有非常重要的地位。但三角形作高一直是学生公认的一个难点。练习中错误率比较高，有些学生即使到了六年级，三角形作高仍存在问题。典型错例如下：
一、典型错例
1、画出三角形底边上的高
错解：如图1、2所示：
分析：图1高与底不垂直，图2为直角三角形，其一直角边的高是另一直角边。
2、画钝角三角形底边上的高
错解：如图1、2、3所示：
分析：图1显然没有使高与底垂直，图2虽然与底边垂直但没有过顶点，图3没有向底边画垂线，而是过顶点作邻边的垂线。
二、成因分析
从以上错例看出，典型错误主要有：高没有从顶点出发；高与底不垂直；高与底不对应；不会画钝角三角形的高。经过分析与思考后，我认为有以下原因：
1、高的概念抽象，没有理解
教科书对高的定义是“从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这个对边叫做三角形的底。”，学生理解起来比较困难，其原因有二：一是很抽象，三角形的高必须从顶点出发、底与高必须互相对应，学生不易理解透彻；二是 “对边”的概念不太理解，并且定义里先讲“高”，再定义“底”，而书上要求学生画高时都是先指定三角形的底，再根据指定的底画高，因此教学生画高时，必须先要教学生弄清“底”的“对应顶点”是哪个，增加了学生理解的难度。
2、小学三角形高的定义欠规范，对学生有误导
教科书里“从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线……”给学生一种误导：向对边作垂线，高应画在对边上。而钝角三角形两条短边上的高都在底边的延长线上，在三角形外面的。同时锐角三角形的高在对边上，是内高，会造成锐角三角形内高对钝角三角形外高的负迁移。
3、学生的动手能力尚处于初级阶段，不易画图
三角形有3个顶点和3条对边，并且一一对应，故可以画出3条对应的高。四年级学生的动手协作、准确把握等能力尚处于初级阶段。对于水平底边上的高学生较易正确作出，而在另外两条底边上的高就不能准确对应地作出。
三、改进思考
1、以生为本，从起点入手建构高的概念
就概念教学而言，学生的知识和经验背景是理解概念本质的前提。”学生的知识和经验背景主要有两方面：第一，就生活经验而言，学生对高的理解是“高是与水平方向垂直的”；第二，从学生的学习经验分析，四年级时学生已学习了平行、垂直等概念及在平行四边形、梯形中作高等操作性技能。因此我从生活中的高导入抽象出高的模型，从学生尝试画高构建高的概念。
2、以生为本，新旧对比突显出底和高的本质特征
当学生初步建构“三角形的高”的概念后，让学生比较平行四边形和梯形的高与三角形的高之间的异同，旨在沟通新旧概念间的联系。通过找相同点，理解高和底是互相垂直的关系，这对进一步理解 “高”是有帮助的，也为学生日后的学习奠定了更扎实的基础。同时通过不同点的比较，突出三角形的高是从顶点到对边的垂直线段，使学生在讨论中准确地把握三角形高的本质属性之一——从顶点到对边。这样突显了高的本质特征。建构“三角形的高”的概念后，让学生画锐角三角形的三条高，以锐角三角形的三条高作为理解概念的基础，提高认识并初步形成用三角尺画高的技能。
3、以生为本，沟通三种三角形的高的联系来突破难点
从画锐角三角形的高到画直角三角形和钝角三角形的高，虽然概念本质并未发生变化，但是学生的认识难度却不在同一层面上。事实上，理解钝角三角形的高是本课的一个教学难点。课堂教学中，以锐角三角形的三条高作为理解概念的基础，通过找直角三角形的高来提高学生对概念的本质认识，再通过画钝角三角形的高并运用概念的本质特征进行辨析，从而较好地突破了教学难点。
四、改进实践
（一）从生活中学生中构建三角形高的概念。
1、生活经验引入，唤起学生对“高度”的认知。
请两位同学比身高，并说一说比身高时应注意的地方。
2、课件出示三角形屋顶的房子和斜拉桥。
问：你能想办法测量出三角形房顶和斜拉桥的高度吗？
课件抽象出三角形的形状，让学生拿出练习纸，在练习纸上操作
3、课件出示三幅图，哪条虚线是该三角形的高？为什么？
4、不知道答案的时候，再看看书，学会从书中找答案！阅读课本P81高和底的定义。二人小组讨论以下问题：
（1）定义中“对边”是什么意思？顶点A的对边是指那条边？顶点B呢？C呢？
（2）从顶点向对边作垂线，那所作的线与顶点、对边有什么关系？
（3）哪条线是高？哪条线是底？
（4）再次判断哪条虚线是该三角形的高，
并说明理由。
5、课件出示第4幅图，判断虚线是三角形的高吗？为什么？
（二）新旧对比加深理解三角形高的本质特征
1.呈现平行四边形、梯形各一个
请比较一下，三角形的高与平行四边形、梯形的高之间有什么异同？
2.初次画高：你能用一个三角尺画出这个锐角三角形另外两条底边上的高吗？学生二人一组尝试，你们怎么画的？
3.画平行四边形的高就是画两条底边之间的垂直线段，那么画三角形的高就是原来学过的画什么？
（三）强化练习，提高认识，形成技能
1.找高，你能找出直角三角形三条底边的高吗？
2.再次画高，呈现一个钝角三角形，画出三条高。
（1）学生独立画出三角形的高。
（2）辨析。哪一条是底边的高？为什么？
3.回顾反思，深化认识：通过练习，你对三角形的高又有了哪些新的认识？
五、实践成效
上完这节课，从课后作业效果中发现三角形作高的正确率有了大幅度的提升。仅新授课 “作高”正确率就达到了80%以上。通过课后对学生的访谈发现，学生对“什么是三角形的高？”“三角形的高与底的关系”等知识更清晰。在三角形的形状大小发生变化的情况下，学生任能正确找出对应的“底和高”。可见从学生的学习起点，学生的已有知识和经验，学生的已知和新知的联系，来建构新概念，才能让学生真正地理解新概念，进而应用新概念，从而突破难点。因此那怎样更好地判断和利用学生的已有知识与经验，为理解新概念服务呢？这正是我们当今教育者思考的方向，努力的方向！
【作者单位：上虞市曹娥街道小学 浙江】
一、典型错例
1、画出三角形底边上的高
错解：如图1、2所示：
分析：图1高与底不垂直，图2为直角三角形，其一直角边的高是另一直角边。
2、画钝角三角形底边上的高
错解：如图1、2、3所示：
分析：图1显然没有使高与底垂直，图2虽然与底边垂直但没有过顶点，图3没有向底边画垂线，而是过顶点作邻边的垂线。
二、成因分析
从以上错例看出，典型错误主要有：高没有从顶点出发；高与底不垂直；高与底不对应；不会画钝角三角形的高。经过分析与思考后，我认为有以下原因：
1、高的概念抽象，没有理解
教科书对高的定义是“从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这个对边叫做三角形的底。”，学生理解起来比较困难，其原因有二：一是很抽象，三角形的高必须从顶点出发、底与高必须互相对应，学生不易理解透彻；二是 “对边”的概念不太理解，并且定义里先讲“高”，再定义“底”，而书上要求学生画高时都是先指定三角形的底，再根据指定的底画高，因此教学生画高时，必须先要教学生弄清“底”的“对应顶点”是哪个，增加了学生理解的难度。
2、小学三角形高的定义欠规范，对学生有误导
教科书里“从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线……”给学生一种误导：向对边作垂线，高应画在对边上。而钝角三角形两条短边上的高都在底边的延长线上，在三角形外面的。同时锐角三角形的高在对边上，是内高，会造成锐角三角形内高对钝角三角形外高的负迁移。
3、学生的动手能力尚处于初级阶段，不易画图
三角形有3个顶点和3条对边，并且一一对应，故可以画出3条对应的高。四年级学生的动手协作、准确把握等能力尚处于初级阶段。对于水平底边上的高学生较易正确作出，而在另外两条底边上的高就不能准确对应地作出。
三、改进思考
1、以生为本，从起点入手建构高的概念
就概念教学而言，学生的知识和经验背景是理解概念本质的前提。”学生的知识和经验背景主要有两方面：第一，就生活经验而言，学生对高的理解是“高是与水平方向垂直的”；第二，从学生的学习经验分析，四年级时学生已学习了平行、垂直等概念及在平行四边形、梯形中作高等操作性技能。因此我从生活中的高导入抽象出高的模型，从学生尝试画高构建高的概念。
2、以生为本，新旧对比突显出底和高的本质特征
当学生初步建构“三角形的高”的概念后，让学生比较平行四边形和梯形的高与三角形的高之间的异同，旨在沟通新旧概念间的联系。通过找相同点，理解高和底是互相垂直的关系，这对进一步理解 “高”是有帮助的，也为学生日后的学习奠定了更扎实的基础。同时通过不同点的比较，突出三角形的高是从顶点到对边的垂直线段，使学生在讨论中准确地把握三角形高的本质属性之一——从顶点到对边。这样突显了高的本质特征。建构“三角形的高”的概念后，让学生画锐角三角形的三条高，以锐角三角形的三条高作为理解概念的基础，提高认识并初步形成用三角尺画高的技能。
3、以生为本，沟通三种三角形的高的联系来突破难点
从画锐角三角形的高到画直角三角形和钝角三角形的高，虽然概念本质并未发生变化，但是学生的认识难度却不在同一层面上。事实上，理解钝角三角形的高是本课的一个教学难点。课堂教学中，以锐角三角形的三条高作为理解概念的基础，通过找直角三角形的高来提高学生对概念的本质认识，再通过画钝角三角形的高并运用概念的本质特征进行辨析，从而较好地突破了教学难点。
四、改进实践
（一）从生活中学生中构建三角形高的概念。
1、生活经验引入，唤起学生对“高度”的认知。
请两位同学比身高，并说一说比身高时应注意的地方。
2、课件出示三角形屋顶的房子和斜拉桥。
问：你能想办法测量出三角形房顶和斜拉桥的高度吗？
课件抽象出三角形的形状，让学生拿出练习纸，在练习纸上操作
3、课件出示三幅图，哪条虚线是该三角形的高？为什么？
4、不知道答案的时候，再看看书，学会从书中找答案！阅读课本P81高和底的定义。二人小组讨论以下问题：
（1）定义中“对边”是什么意思？顶点A的对边是指那条边？顶点B呢？C呢？
（2）从顶点向对边作垂线，那所作的线与顶点、对边有什么关系？
（3）哪条线是高？哪条线是底？
（4）再次判断哪条虚线是该三角形的高，
并说明理由。
5、课件出示第4幅图，判断虚线是三角形的高吗？为什么？
（二）新旧对比加深理解三角形高的本质特征
1.呈现平行四边形、梯形各一个
请比较一下，三角形的高与平行四边形、梯形的高之间有什么异同？
2.初次画高：你能用一个三角尺画出这个锐角三角形另外两条底边上的高吗？学生二人一组尝试，你们怎么画的？
3.画平行四边形的高就是画两条底边之间的垂直线段，那么画三角形的高就是原来学过的画什么？
（三）强化练习，提高认识，形成技能
1.找高，你能找出直角三角形三条底边的高吗？
2.再次画高，呈现一个钝角三角形，画出三条高。
（1）学生独立画出三角形的高。
（2）辨析。哪一条是底边的高？为什么？
3.回顾反思，深化认识：通过练习，你对三角形的高又有了哪些新的认识？
五、实践成效
上完这节课，从课后作业效果中发现三角形作高的正确率有了大幅度的提升。仅新授课 “作高”正确率就达到了80%以上。通过课后对学生的访谈发现，学生对“什么是三角形的高？”“三角形的高与底的关系”等知识更清晰。在三角形的形状大小发生变化的情况下，学生任能正确找出对应的“底和高”。可见从学生的学习起点，学生的已有知识和经验，学生的已知和新知的联系，来建构新概念，才能让学生真正地理解新概念，进而应用新概念，从而突破难点。因此那怎样更好地判断和利用学生的已有知识与经验，为理解新概念服务呢？这正是我们当今教育者思考的方向，努力的方向！
【作者单位：上虞市曹娥街道小学 浙江】