论文部分内容阅读
一、引言
矩阵A的秩 (A)是线性相关性（线性代数的核心概念）在矩阵上的反映，它构成矩阵的最本质的属性，是线性代数的重要概念。
在国内外的现行教材中，关于矩阵的秩的概念，一般地，是这样建立的：首先从矩阵的三个角度确立三个非负整数，分别称它们为矩阵的三种秩，然后建立它们相等的事实，最后定义这个非负整数为矩阵的秩。形式地，具体地，陈述如下。
定义1.1 令A为数域F上一m×n矩阵，m，n ∈ Z 。称A的由m[n] 个n[m]元F-行[列]向量构成的行[列]向量组的秩为A的行 [列 ]秩，记为 (A) [ (A)]；称非零矩阵A的不等于零的子式的最大阶数为A的行列式秩，记为 (A)，显然 (A)≥1；又规定零矩阵0的行列式秩为0，即 (0)=0。
推论1.2
1． (A) = ( A＇)， (A) = ( A＇) ；
2． (A)=( A＇)。
其中，A＇是A的转置矩阵。
定理1.3 关于数域F上m×n矩阵A，常有
(A) = (A) = (A)。
定义1.4 称上定理中的非负整数
(A) = (A) = (A)
为A的秩，记为 (A)。
但在教学过程中，我们发现，关于定理1.3的通常的证明，诸如文献[1]，[2]，[3]，[5]和[6]所给出的，并不能使学生在“感情上”马上接受“ (A)= (A)”(甚至于在一段时间里，“感情上”不接受它)。而文献[4]是通过建立事实
(＊)“矩阵的行[列]变换不但不改变其行[列]秩，也不改变其列[行]秩”去证明“ (A)= (A)”的，于是上面的那个问题就不存在了。
本文将对（＊）作再处理，从而给出 (A) = (A) = (A)的一个新的，简明的讲授处理 （这一处理也具体地阐述了我们在[7]和[8]中所涉及到的某些观点）。我们的教材[5]（[6]是其第二版）的第三版也将对此作出相应的教材处理。
二、讲授处理的基础
我们总假设，教材内容的开发路线是，在讨论 (A)的有关概念和事实之前，下列若干事实已经建立，而且其中所涉及的向量和矩阵，总是某一给定数域上具某一“尺寸（型号）”的。
引理2.1 令A为一n阶方阵，X为一n元未知列向量。则齐次线性方程组
AX=0
只有零解当且仅当A非奇异（即，∣A∣≠0）。
引理2.2 向量组在其涉及向量的初等变换下，其秩不变。
引理2.3 任意m×n矩阵可以经由若干次行和列的涉及向量的初等变换变成m×n矩阵 ，其中 的左上角为一r阶单位矩阵，r为一非负整数。这里，我们并不探究r的含义，且约定r=0时， =0。
引理2.4 线性方程组在其涉及方程的初等变换下，其解不变。
三、讲授处理的框架
相应于向量组的涉及向量的初等变换，我们有对偶的
定义3.1 向量组｛ ｝的涉及分量的初等变换指的是向量组间的下列三类变换：
(i)， 的各自的第i，j分量作交换， 。
(ii) ，的第i个分量的k倍分别加到各自的第j个分量上， 。
(iii)， 的第i个分量都乘以k， ， 。
据推论1.2，引理2.1，引理2.2，引理2.3以及定义3.1，我们能建立
定理3.2下列诸款等价：
ⅰ，关于任意矩阵A， (A) = (A)；
ⅱ，关于任意矩阵A， (A) = (A)；
ⅲ，关于任意矩阵A， (A) = (A)；
ⅳ，关于任意矩阵A，若A－r→B，则不但 (A) = (B)，而且 (A) = (B)；
ⅴ，关于任意矩阵A，若A－c→B，则不但 (A) = (B)，而且 (A)= (B)；
ⅵ，向量组在其涉及分量的初等变换下，其秩不变;
ⅵi，关于任意矩阵A，若A－rc→B，则 (A) = (B)， (A)= (B)。
其中，A－r→B[A－c→B ，A－rc→B] 表示B是由矩阵A经由有限次行[列，行和列] 的初等变换得到的矩阵，这里所谓矩阵的行的初等变换是指矩阵的行向量组的涉及向量的初等变换，矩阵的列[行和列]的初等变换的意义相同。
而且，据引理2.4，我们能建立定理3.3 上定理中的ⅵ成立。
于是，在证明了定理3.3之后，据定理3.2，就得到了定理1.3。
四、讲授处理的细节（定理的证明）
定理3.2的证明.
(i) (ii)，令A=( ) P ，m，n Z 。若 (A) = (A)=r，r min{m，n}，則A有r个行向量 构成A的行向量组 的一个极大无关组。记
A =
显然， (A )=r。由（i）， (A )=r。记 构成A 的列向量组 的一
个极大无关组，因此，方程 = 只有零解，即方程
组A X=0只有零解，其中，
A = ，X= 。
据引理2.1，知0，但 为A的一个r阶子式，从而 (A) r。又由(i)知A的任意r+1个行（列）向量都线性相关，因此，A的任意r+1阶子式为零（依然据引理2.1可知），从而 (A) r。联系到上面已得到的 (A)r，我们有 (A)=r。
(ii) (iii)，关于任意矩阵A，由(ii)，
(A )= (A )，
据推论1.2，
(A)= (A )，
(A)= (A )，
因此 (A)= (A)。
(iii) iv)，显然，由一个类似于“(ii) iii)”的证明，我们可知“(iii) (ii)”成立，因此，(ii) (iii)，从而“(iii) (i)”成立。下面只须证明(i) (iv)。
关于任意A，由
A r B，
据引理2.2，
(A)= (B)，
由(i)，
(A)= (A)， (B)= (B)，
因此
(A)= (B)。
(iv) (v)，由
A c B，
有Ar B ，
又由(iv)，有
(A )= (B )， (A )= (B )，
据推论1.2，
(A)= (B)， (A)= (B)。
(v) (vi)，令 为n元行向量。作矩阵
A=。
若A c B，则由(v)，有
(A)= (B)，
即r =r ，其中，r 为向量组｛ ｝的秩， 为B的m个行向量。而
“A c B”
等价于“｛ ｝经由涉及分量的初等变换得｛ ｝”。
(vi) (vii)，由(vi)，据引理2.2，即得(vii)。
(vii) (i)，关于任意矩阵A，据引理2.3，
A rc E ，
由(vii)，
(A)= (E )=r= (E )= (A)。
定理3.3的证明.
令 = ， = ，•••， = ，•••， = ，
r =r，且不失一般性，令｛ ｝为{ }的一个极大线性无关组。又
= ，= ，•••，= ，•••，=
是 经由有限次涉及分量的初等变换所得到的向量组。
下证rr 。这只须指出 线性无关即可。事实上，方程组
（ ） X =（1）
与方程组
（ ） X = （2）
同解（引理2.4），而方程组（1）只有零解（ 线性无关），因此方程组（2）也只有零解，这指出了 线性无关。
易知，向量组的涉及分量的初等变换也都是可逆的，因此｛ ｝也可从｛ ｝经由有限次涉及分量的初等变换得到。于是，根据上面的证明，我们又会有rr 。
注记. 定理3.2有如下的推论。下三款中任两款蕴含另一款：
I , 向量组在其涉及向量的初等变换下，其秩不变；
II, 向量组在其涉及分量的初等变换下，其秩不变；
III, 关于任意矩阵A， (A)= (A)。
参考文献
[1] 屠伯埙、徐诚浩、王芬.高等代数.上海科技出版社,1987
[2] 张禾瑞、郝炳新.高等代数.高等教育出版社,1983
[3] 北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数.高等教育出版社,2003
[4] 邱维声.高等代数.高等教育出版社,1997
[5] 郭聿琦、岑嘉评、徐贵桐.线性代数导引（教育部面向21世纪课程教材）.科学出版社,2004
[6] Guo,Y.Q.,Shum,K.P.,Xu,G.T..Linear Algebra ([5]的第二版.仅出英文版.由香港中文大学Tam，P.K.翻译), Science Press.Beijing,2007
[7] 郭聿琦、段方平、李红婷.关于大学本科教育的若干思考.高等理科教育,N.2.26-28.2007
[8] 郭聿琦、冯爱芳、王正攀.关于基础课程教材的现代化处理.高等数学研究,2010
矩阵A的秩 (A)是线性相关性（线性代数的核心概念）在矩阵上的反映，它构成矩阵的最本质的属性，是线性代数的重要概念。
在国内外的现行教材中，关于矩阵的秩的概念，一般地，是这样建立的：首先从矩阵的三个角度确立三个非负整数，分别称它们为矩阵的三种秩，然后建立它们相等的事实，最后定义这个非负整数为矩阵的秩。形式地，具体地，陈述如下。
定义1.1 令A为数域F上一m×n矩阵，m，n ∈ Z 。称A的由m[n] 个n[m]元F-行[列]向量构成的行[列]向量组的秩为A的行 [列 ]秩，记为 (A) [ (A)]；称非零矩阵A的不等于零的子式的最大阶数为A的行列式秩，记为 (A)，显然 (A)≥1；又规定零矩阵0的行列式秩为0，即 (0)=0。
推论1.2
1． (A) = ( A＇)， (A) = ( A＇) ；
2． (A)=( A＇)。
其中，A＇是A的转置矩阵。
定理1.3 关于数域F上m×n矩阵A，常有
(A) = (A) = (A)。
定义1.4 称上定理中的非负整数
(A) = (A) = (A)
为A的秩，记为 (A)。
但在教学过程中，我们发现，关于定理1.3的通常的证明，诸如文献[1]，[2]，[3]，[5]和[6]所给出的，并不能使学生在“感情上”马上接受“ (A)= (A)”(甚至于在一段时间里，“感情上”不接受它)。而文献[4]是通过建立事实
(＊)“矩阵的行[列]变换不但不改变其行[列]秩，也不改变其列[行]秩”去证明“ (A)= (A)”的，于是上面的那个问题就不存在了。
本文将对（＊）作再处理，从而给出 (A) = (A) = (A)的一个新的，简明的讲授处理 （这一处理也具体地阐述了我们在[7]和[8]中所涉及到的某些观点）。我们的教材[5]（[6]是其第二版）的第三版也将对此作出相应的教材处理。
二、讲授处理的基础
我们总假设，教材内容的开发路线是，在讨论 (A)的有关概念和事实之前，下列若干事实已经建立，而且其中所涉及的向量和矩阵，总是某一给定数域上具某一“尺寸（型号）”的。
引理2.1 令A为一n阶方阵，X为一n元未知列向量。则齐次线性方程组
AX=0
只有零解当且仅当A非奇异（即，∣A∣≠0）。
引理2.2 向量组在其涉及向量的初等变换下，其秩不变。
引理2.3 任意m×n矩阵可以经由若干次行和列的涉及向量的初等变换变成m×n矩阵 ，其中 的左上角为一r阶单位矩阵，r为一非负整数。这里，我们并不探究r的含义，且约定r=0时， =0。
引理2.4 线性方程组在其涉及方程的初等变换下，其解不变。
三、讲授处理的框架
相应于向量组的涉及向量的初等变换，我们有对偶的
定义3.1 向量组｛ ｝的涉及分量的初等变换指的是向量组间的下列三类变换：
(i)， 的各自的第i，j分量作交换， 。
(ii) ，的第i个分量的k倍分别加到各自的第j个分量上， 。
(iii)， 的第i个分量都乘以k， ， 。
据推论1.2，引理2.1，引理2.2，引理2.3以及定义3.1，我们能建立
定理3.2下列诸款等价：
ⅰ，关于任意矩阵A， (A) = (A)；
ⅱ，关于任意矩阵A， (A) = (A)；
ⅲ，关于任意矩阵A， (A) = (A)；
ⅳ，关于任意矩阵A，若A－r→B，则不但 (A) = (B)，而且 (A) = (B)；
ⅴ，关于任意矩阵A，若A－c→B，则不但 (A) = (B)，而且 (A)= (B)；
ⅵ，向量组在其涉及分量的初等变换下，其秩不变;
ⅵi，关于任意矩阵A，若A－rc→B，则 (A) = (B)， (A)= (B)。
其中，A－r→B[A－c→B ，A－rc→B] 表示B是由矩阵A经由有限次行[列，行和列] 的初等变换得到的矩阵，这里所谓矩阵的行的初等变换是指矩阵的行向量组的涉及向量的初等变换，矩阵的列[行和列]的初等变换的意义相同。
而且，据引理2.4，我们能建立定理3.3 上定理中的ⅵ成立。
于是，在证明了定理3.3之后，据定理3.2，就得到了定理1.3。
四、讲授处理的细节（定理的证明）
定理3.2的证明.
(i) (ii)，令A=( ) P ，m，n Z 。若 (A) = (A)=r，r min{m，n}，則A有r个行向量 构成A的行向量组 的一个极大无关组。记
A =
显然， (A )=r。由（i）， (A )=r。记 构成A 的列向量组 的一
个极大无关组，因此，方程 = 只有零解，即方程
组A X=0只有零解，其中，
A = ，X= 。
据引理2.1，知0，但 为A的一个r阶子式，从而 (A) r。又由(i)知A的任意r+1个行（列）向量都线性相关，因此，A的任意r+1阶子式为零（依然据引理2.1可知），从而 (A) r。联系到上面已得到的 (A)r，我们有 (A)=r。
(ii) (iii)，关于任意矩阵A，由(ii)，
(A )= (A )，
据推论1.2，
(A)= (A )，
(A)= (A )，
因此 (A)= (A)。
(iii) iv)，显然，由一个类似于“(ii) iii)”的证明，我们可知“(iii) (ii)”成立，因此，(ii) (iii)，从而“(iii) (i)”成立。下面只须证明(i) (iv)。
关于任意A，由
A r B，
据引理2.2，
(A)= (B)，
由(i)，
(A)= (A)， (B)= (B)，
因此
(A)= (B)。
(iv) (v)，由
A c B，
有Ar B ，
又由(iv)，有
(A )= (B )， (A )= (B )，
据推论1.2，
(A)= (B)， (A)= (B)。
(v) (vi)，令 为n元行向量。作矩阵
A=。
若A c B，则由(v)，有
(A)= (B)，
即r =r ，其中，r 为向量组｛ ｝的秩， 为B的m个行向量。而
“A c B”
等价于“｛ ｝经由涉及分量的初等变换得｛ ｝”。
(vi) (vii)，由(vi)，据引理2.2，即得(vii)。
(vii) (i)，关于任意矩阵A，据引理2.3，
A rc E ，
由(vii)，
(A)= (E )=r= (E )= (A)。
定理3.3的证明.
令 = ， = ，•••， = ，•••， = ，
r =r，且不失一般性，令｛ ｝为{ }的一个极大线性无关组。又
= ，= ，•••，= ，•••，=
是 经由有限次涉及分量的初等变换所得到的向量组。
下证rr 。这只须指出 线性无关即可。事实上，方程组
（ ） X =（1）
与方程组
（ ） X = （2）
同解（引理2.4），而方程组（1）只有零解（ 线性无关），因此方程组（2）也只有零解，这指出了 线性无关。
易知，向量组的涉及分量的初等变换也都是可逆的，因此｛ ｝也可从｛ ｝经由有限次涉及分量的初等变换得到。于是，根据上面的证明，我们又会有rr 。
注记. 定理3.2有如下的推论。下三款中任两款蕴含另一款：
I , 向量组在其涉及向量的初等变换下，其秩不变；
II, 向量组在其涉及分量的初等变换下，其秩不变；
III, 关于任意矩阵A， (A)= (A)。
参考文献
[1] 屠伯埙、徐诚浩、王芬.高等代数.上海科技出版社,1987
[2] 张禾瑞、郝炳新.高等代数.高等教育出版社,1983
[3] 北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数.高等教育出版社,2003
[4] 邱维声.高等代数.高等教育出版社,1997
[5] 郭聿琦、岑嘉评、徐贵桐.线性代数导引（教育部面向21世纪课程教材）.科学出版社,2004
[6] Guo,Y.Q.,Shum,K.P.,Xu,G.T..Linear Algebra ([5]的第二版.仅出英文版.由香港中文大学Tam，P.K.翻译), Science Press.Beijing,2007
[7] 郭聿琦、段方平、李红婷.关于大学本科教育的若干思考.高等理科教育,N.2.26-28.2007
[8] 郭聿琦、冯爱芳、王正攀.关于基础课程教材的现代化处理.高等数学研究,2010