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【摘要】本文以《搭配中的学问》一课的教学片段为例，剖析学生有序搭配的问题，并结合学情调查分析，论述基于学生数学现实的教学重构对策，包括“活动整合：从零散到集约;资源展示：从无序到有序;对比优化：从直观到抽象”等。
【关键词】小学课堂 数学现实 教学重构
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）07A-0102-03
北师大版小学数学三年级上册《搭配中的学问》一课，主要研究在两类不同对象之间进行搭配的问题，这属于“排列与组合”中比较简单的“组合类型”问题。因这一课内容相对比较独立，且贴近生活实际，较易引起学生的兴趣，许多教师在公开研讨活动都会选择这一课作为教学内容。在一次市级学校“送教下乡”的研讨活动中，一位教师在《搭配中的学问》一课执教过程中的两个教学片段引起了笔者的思考。
一、教学片段
【片段一】摆一摆，说一说
（一）出示活动要求
同桌两人互相合作，用信封里的图片（一顶绿帽子、一顶蓝帽子、三条裤子）摆一摆，然后说一说一共有多少种搭配方法。
（二）展示与交流
生1展示：固定帽子搭配裤子，两顶帽子中一顶从左往右搭配、一顶从右往左搭配（例如帽子2搭配裤子3、帽子1搭配裤子1、帽子2搭配裤子2……如图1）。
师：他是怎么摆的？
生：看不清，感觉很复杂。
生2展示：搭配方法和第一个学生相同，但这个学生边展示边介绍。
师：这下看清楚了吗？
生：看清楚了。
生3展示：先用帽子1分别搭配三条裤子，再用帽子2分别搭配三条裤子。
师：他用了什么好方法？
生：先用一顶帽子搭配三条裤子，再换一顶帽子搭配三条裤子。
师：像这样按顺序搭配，叫做“有序搭配”，这样做才不会重复、遗漏。如果不移动图片，有什么好方法可以展示搭配的结果？
生：连线。
（师课件展示连线方法）
（三）思考
第一名上台展示的学生，他的方法是固定帽子搭配裤子，两顶帽子中一顶从左往右搭配，先搭一条裤子作为第一种搭配，然后另一顶帽子从右往左搭配，搭的第一条裤子作为第二种搭配，如此类推，完成搭配。这样摆其实也有一定的顺序，为什么教师会认为他没有按顺序搭配？学生为什么会这样摆？
图1
【片段二】画一画，说一说
（一）搭配展示讨论
师：每次都靠图片搭配，很麻烦，有什么好方法可以记录搭配的过程？
1.学生尝试用各种方法表示搭配的过程。
2.学生交流展示各自的表示方法。
3.教师展示学生不同的表示方法：文字、图形、字母等。
（二）思考
在探索“服装搭配”的情境中，先让学生“摆一摆，说一说”，再“画一画，说一说”。摆的目的是什么？不摆能不能也达到相同的目的？
二、调查分析
针对听课中产生的思考，笔者对本班58名学生进行了前测。
（一）测试题目
如果一件上衣和一件裤子可以搭配成一套衣服（如图2），可以有几种不同的搭配方法？把你的想法记录在练习纸上。
图2
（二）答题情况
参加前测的学生有58人，能找到6种搭配方法的有49人，没有找到6种搭配方法的有9人，其中正确答案为6种搭配方法，因此，正确率为84.5%。具体的搭配过程展示方法如下：
1.具体的文字描述（如图3）表示的有19人。其中有4人还列了算式：2×3=6（种）。
2.用“文字+连线”（如图4）表示的有16人，其中有2人列算式。
3.用“推理+算式”（如图5）表示的有4人。
4.画实物图连线（如图6）表示的有3人。
5.用图形表示（如图7）表示的有4人。
6.用字母或数字（如图8）表示的有3人。
7.错误的9人中，认为有2种搭配方法的有4人、有3种搭配方法的有3人、有4种搭配方法的有2人。
笔者在课堂访谈中了解到，认为有2种搭配方法的学生觉得“衣服搭配时都是一套一套的，没有意识到可以互相搭配”，他们先把其中两件搭配一套，再用其他两件搭配一套，最后还剩下一条裤子（如图9）。认为有3种或4种搭配方法的，错误的原因都在缺乏有序思考，导致遗漏。
（三）结果分析
1.大多数学生在生活中具备一定的搭配經验，但对于生活中存在的搭配现象，学生很少用数学的眼光去观察与分析，也缺乏用数学的方法去解决问题。生活中搭配服装的经验甚至对部分学生产生负迁移，例如有4名学生受自身衣服搭配的经验误导，认为只有2种搭配方法。
2.大多数学生已经具备一定的有序思考意识，这是因为在以往的学习中有过类似的经验，比如“看图数数”“做一个加（减）法表”等活动中，教师总会强调要按顺序从左往右、从上往下有序地观察;“生活中的大数”这一单元，用几个不同的数字组成不同的多位数，也是先确定最高位，有序地写出数字才不会遗漏。在解决问题时，教师可以指导学生有条有理地思考，考虑所有的可能性再解题。
3.部分学生已建立优化解题过程的意识，但对于符号的使用是数学表达和进行数学思考的形式感受不深，缺乏一定的符号意识。
三、教学重构
一位教育家说过：“要把学生引向一个地方，首先得知道他们现在在哪里。”“他们现在在哪里”指的就是学生的学习起点。通常，学生的学习起点分为两类：一是学习的逻辑起点，即按照教材学习的进度，应有的知识准备;二是学习的现实起点，即在多种学习资源的共同作用下，已具有的多于教材所提供的知识准备。数学教学应从学生的现实起点出发，对原有的经验进行解读与改造，基于学生的数学现实进行有效的预设，让学习真正发生。 以上的调查让笔者对学生的数学现实有了更准确的把握，也带给笔者新的思考与启发：本课要达到的目标除了“在尝试、展示、交流的过程中，逐步学会按一定的顺序思考和解决问题”;教师还应关注另一个目标的落实，即“在探索用不同方式表示搭配方法的过程中，初步培养学生的符号意识”。因此，在环节的安排上教师可以尝试进行以下调整，实现教学重构。
（一）活动整合：从零散到集约
片段一的操作过程中，学生在实物搭配时表面“动”起来，但因实物的“唯一性”（每种服装只有一张图片），有些学生的思维反而受到干扰，才会导致片段一第一名展示的学生两顶帽子同时搭配的情况，因而被教师认为他没有按顺序搭配。学生若能意识到要得到全部搭配方法需要有序地进行搭配，自然能够想到记录时也要有序。片段二的环节，人为地将记录后置，与片段一动手操作的活动分开，反而让学生在动手环节中的体验无法得到有效的升华。
判断课堂教学是否有效，不仅要看学生积累知识的量，更要看学生参与知识形成过程中思维的深度和广度，有多少知识是通过自己探究建构的。因此，教学时，教师可以尝试将“摆一摆，说一说”和“画一画，说一说”这两个环节进行整合。在学生进行操作前提出要求：能不能想办法把你的搭配方法记录下来？学生在操作中体验，在记录中感悟，通过“动静”结合，唤醒“有序思考”的经验，让学习过程成为自主建构的过程。
（二）资源展示：从无序到有序
开放的问题必将激起学生丰富的思考。学生基于不同的数学现实体现各种不同的思维水平，在解决问题的过程中呈现个性化、多样化的方案。教师应在巡视的过程中有意识地收集资源，在资源呈现时顺应学生的学习水平，遵循“从低级到高级”的原则，利于学生再次经历知识的发展过程。
具体教学时，教师可先展示无序的表示，引发认知冲突：怎样做才能不重复、不遗漏？在学生达成共识后，展示有序的记录，然而，学生受生活经验的定势迁移，往往会“定帽配裤”，此时教师可继续引导学生进一步思考，激起思维交锋：只能这样吗？在展示“定裤配帽”方法的交流中作出提示：可以“定帽配裤”，“定裤配帽”是否也可行？通过循循善诱，让学生明白在搭配时都是先确定其中的一类，即“确定起点”，这是有序思考的前提。如此，学生便能在问题的引领下不断超越自我，不断获得思想方法的增值。
（三）对比优化：从直观到抽象
在感受搭配的有序之后，组织展示各种不同的表征形式：（1）文字描述，（2）图形表征，（3）符号表征：数字或字母表示，（4）算式表示（视课堂生成而定）。然后让学生充分交流：这几种表示能否看得懂？是什么意思？再对不同的表示方法进行对比、优化。伴随着不同方法的分享与交流，学生经历了一个由复杂到简洁的展示过程，理解符號的使用是数学表达和进行数学思考的形式，对数学符号的表示优势有所体悟。值得一提的是，在对比时，学生始终感受这几种方法中隐藏着“共同的秘密”：先固定一种，按照顺序连线，由直观有序到抽象有序。如此，学生的思维能力可以从中得到锻炼，“有序思考”的价值再次得到彰显。
学生的学习有其内在的认知规律，教师在教学中要站在学生的立场上，遵循学生的认知规律，把握学生的数学现实，找到学生的最近发展区，在此基础上进行有效的教学设计，才能更好地促进学生理解、感悟数学思想，实现数学知识的有效建构。
作者简介：陈璐（1983— ），女，福建惠安人，小学高级教师，现担任福建省泉州实验小学校长助理，研究方向：小学数学教学。
（责编 黄健清）
【关键词】小学课堂 数学现实 教学重构
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）07A-0102-03
北师大版小学数学三年级上册《搭配中的学问》一课，主要研究在两类不同对象之间进行搭配的问题，这属于“排列与组合”中比较简单的“组合类型”问题。因这一课内容相对比较独立，且贴近生活实际，较易引起学生的兴趣，许多教师在公开研讨活动都会选择这一课作为教学内容。在一次市级学校“送教下乡”的研讨活动中，一位教师在《搭配中的学问》一课执教过程中的两个教学片段引起了笔者的思考。
一、教学片段
【片段一】摆一摆，说一说
（一）出示活动要求
同桌两人互相合作，用信封里的图片（一顶绿帽子、一顶蓝帽子、三条裤子）摆一摆，然后说一说一共有多少种搭配方法。
（二）展示与交流
生1展示：固定帽子搭配裤子，两顶帽子中一顶从左往右搭配、一顶从右往左搭配（例如帽子2搭配裤子3、帽子1搭配裤子1、帽子2搭配裤子2……如图1）。
师：他是怎么摆的？
生：看不清，感觉很复杂。
生2展示：搭配方法和第一个学生相同，但这个学生边展示边介绍。
师：这下看清楚了吗？
生：看清楚了。
生3展示：先用帽子1分别搭配三条裤子，再用帽子2分别搭配三条裤子。
师：他用了什么好方法？
生：先用一顶帽子搭配三条裤子，再换一顶帽子搭配三条裤子。
师：像这样按顺序搭配，叫做“有序搭配”，这样做才不会重复、遗漏。如果不移动图片，有什么好方法可以展示搭配的结果？
生：连线。
（师课件展示连线方法）
（三）思考
第一名上台展示的学生，他的方法是固定帽子搭配裤子，两顶帽子中一顶从左往右搭配，先搭一条裤子作为第一种搭配，然后另一顶帽子从右往左搭配，搭的第一条裤子作为第二种搭配，如此类推，完成搭配。这样摆其实也有一定的顺序，为什么教师会认为他没有按顺序搭配？学生为什么会这样摆？
图1
【片段二】画一画，说一说
（一）搭配展示讨论
师：每次都靠图片搭配，很麻烦，有什么好方法可以记录搭配的过程？
1.学生尝试用各种方法表示搭配的过程。
2.学生交流展示各自的表示方法。
3.教师展示学生不同的表示方法：文字、图形、字母等。
（二）思考
在探索“服装搭配”的情境中，先让学生“摆一摆，说一说”，再“画一画，说一说”。摆的目的是什么？不摆能不能也达到相同的目的？
二、调查分析
针对听课中产生的思考，笔者对本班58名学生进行了前测。
（一）测试题目
如果一件上衣和一件裤子可以搭配成一套衣服（如图2），可以有几种不同的搭配方法？把你的想法记录在练习纸上。
图2
（二）答题情况
参加前测的学生有58人，能找到6种搭配方法的有49人，没有找到6种搭配方法的有9人，其中正确答案为6种搭配方法，因此，正确率为84.5%。具体的搭配过程展示方法如下：
1.具体的文字描述（如图3）表示的有19人。其中有4人还列了算式：2×3=6（种）。
2.用“文字+连线”（如图4）表示的有16人，其中有2人列算式。
3.用“推理+算式”（如图5）表示的有4人。
4.画实物图连线（如图6）表示的有3人。
5.用图形表示（如图7）表示的有4人。
6.用字母或数字（如图8）表示的有3人。
7.错误的9人中，认为有2种搭配方法的有4人、有3种搭配方法的有3人、有4种搭配方法的有2人。
笔者在课堂访谈中了解到，认为有2种搭配方法的学生觉得“衣服搭配时都是一套一套的，没有意识到可以互相搭配”，他们先把其中两件搭配一套，再用其他两件搭配一套，最后还剩下一条裤子（如图9）。认为有3种或4种搭配方法的，错误的原因都在缺乏有序思考，导致遗漏。
（三）结果分析
1.大多数学生在生活中具备一定的搭配經验，但对于生活中存在的搭配现象，学生很少用数学的眼光去观察与分析，也缺乏用数学的方法去解决问题。生活中搭配服装的经验甚至对部分学生产生负迁移，例如有4名学生受自身衣服搭配的经验误导，认为只有2种搭配方法。
2.大多数学生已经具备一定的有序思考意识，这是因为在以往的学习中有过类似的经验，比如“看图数数”“做一个加（减）法表”等活动中，教师总会强调要按顺序从左往右、从上往下有序地观察;“生活中的大数”这一单元，用几个不同的数字组成不同的多位数，也是先确定最高位，有序地写出数字才不会遗漏。在解决问题时，教师可以指导学生有条有理地思考，考虑所有的可能性再解题。
3.部分学生已建立优化解题过程的意识，但对于符号的使用是数学表达和进行数学思考的形式感受不深，缺乏一定的符号意识。
三、教学重构
一位教育家说过：“要把学生引向一个地方，首先得知道他们现在在哪里。”“他们现在在哪里”指的就是学生的学习起点。通常，学生的学习起点分为两类：一是学习的逻辑起点，即按照教材学习的进度，应有的知识准备;二是学习的现实起点，即在多种学习资源的共同作用下，已具有的多于教材所提供的知识准备。数学教学应从学生的现实起点出发，对原有的经验进行解读与改造，基于学生的数学现实进行有效的预设，让学习真正发生。 以上的调查让笔者对学生的数学现实有了更准确的把握，也带给笔者新的思考与启发：本课要达到的目标除了“在尝试、展示、交流的过程中，逐步学会按一定的顺序思考和解决问题”;教师还应关注另一个目标的落实，即“在探索用不同方式表示搭配方法的过程中，初步培养学生的符号意识”。因此，在环节的安排上教师可以尝试进行以下调整，实现教学重构。
（一）活动整合：从零散到集约
片段一的操作过程中，学生在实物搭配时表面“动”起来，但因实物的“唯一性”（每种服装只有一张图片），有些学生的思维反而受到干扰，才会导致片段一第一名展示的学生两顶帽子同时搭配的情况，因而被教师认为他没有按顺序搭配。学生若能意识到要得到全部搭配方法需要有序地进行搭配，自然能够想到记录时也要有序。片段二的环节，人为地将记录后置，与片段一动手操作的活动分开，反而让学生在动手环节中的体验无法得到有效的升华。
判断课堂教学是否有效，不仅要看学生积累知识的量，更要看学生参与知识形成过程中思维的深度和广度，有多少知识是通过自己探究建构的。因此，教学时，教师可以尝试将“摆一摆，说一说”和“画一画，说一说”这两个环节进行整合。在学生进行操作前提出要求：能不能想办法把你的搭配方法记录下来？学生在操作中体验，在记录中感悟，通过“动静”结合，唤醒“有序思考”的经验，让学习过程成为自主建构的过程。
（二）资源展示：从无序到有序
开放的问题必将激起学生丰富的思考。学生基于不同的数学现实体现各种不同的思维水平，在解决问题的过程中呈现个性化、多样化的方案。教师应在巡视的过程中有意识地收集资源，在资源呈现时顺应学生的学习水平，遵循“从低级到高级”的原则，利于学生再次经历知识的发展过程。
具体教学时，教师可先展示无序的表示，引发认知冲突：怎样做才能不重复、不遗漏？在学生达成共识后，展示有序的记录，然而，学生受生活经验的定势迁移，往往会“定帽配裤”，此时教师可继续引导学生进一步思考，激起思维交锋：只能这样吗？在展示“定裤配帽”方法的交流中作出提示：可以“定帽配裤”，“定裤配帽”是否也可行？通过循循善诱，让学生明白在搭配时都是先确定其中的一类，即“确定起点”，这是有序思考的前提。如此，学生便能在问题的引领下不断超越自我，不断获得思想方法的增值。
（三）对比优化：从直观到抽象
在感受搭配的有序之后，组织展示各种不同的表征形式：（1）文字描述，（2）图形表征，（3）符号表征：数字或字母表示，（4）算式表示（视课堂生成而定）。然后让学生充分交流：这几种表示能否看得懂？是什么意思？再对不同的表示方法进行对比、优化。伴随着不同方法的分享与交流，学生经历了一个由复杂到简洁的展示过程，理解符號的使用是数学表达和进行数学思考的形式，对数学符号的表示优势有所体悟。值得一提的是，在对比时，学生始终感受这几种方法中隐藏着“共同的秘密”：先固定一种，按照顺序连线，由直观有序到抽象有序。如此，学生的思维能力可以从中得到锻炼，“有序思考”的价值再次得到彰显。
学生的学习有其内在的认知规律，教师在教学中要站在学生的立场上，遵循学生的认知规律，把握学生的数学现实，找到学生的最近发展区，在此基础上进行有效的教学设计，才能更好地促进学生理解、感悟数学思想，实现数学知识的有效建构。
作者简介：陈璐（1983— ），女，福建惠安人，小学高级教师，现担任福建省泉州实验小学校长助理，研究方向：小学数学教学。
（责编 黄健清）