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摘 要:在数学解题中,错误的出现是不可避免的。因此,对错误进行了系统分析是非常重要的。教师通过错误可以发现学生的不足,其次,错误从一个特定的角度揭示了学生掌握知识的过程。本文就数学解题中常见的错误做一个简要分析。
关键词:代换;隐含条件;概念理解
中图分类号:013 文献标识码:A
文章编号:1009-0118(2012)05-0202-01
数学解题最基本的要求是答案完美、没有错误。然而有些学生由于对概念的理解不够透彻,或者忽略了定理成立的条件,或者忽视了习题中的条件等种种原因,因而在解题过程中总是难免要发生错误。教师应该了解解题中常犯的错误,研究导致错误的原因,这样才能尽量减少错误的发生。
一、由不适当的代换所引起的错误
例1 求函数f(x)=sin2x-4sinx+9的最小值。
解:设u=sinx,于是就转化成求函数u2-4u+9的最小值,即u2-4u+9=(u-2)2+5
当u=2时,函数取到最小值5。
分析:因为u代表sinx,而∣sinx∣≤1,不可能等于2,因而函数值不可能等于5。
正确的解法是:
sin2x-4sinx+9=(sinx-2)2+5,当sinx=1时,f(x)最小,最小值等于6。
例2 若x+y+z=1,x、y、z都是实数,试证:x2+y2+z2≥1/3
证明:设x=1/3-t,y=1/3-2t,z=1/3+3t,
于是x2+y2+z2=(1/3-t)2+(1/3-2t)2+(1/3+3t)2=1/3+14t2≥1/3
分析:条件x+y+z=1与x=1/3-t,y=1/3-2t,z=1/3+3t并不等价。前一条件当x固定后,y与z还可以有无限多种取值法,而后一条件当x固定后y与z都随之唯一确定,就几何意义讲,前者代表空间一平面,而后者仅表示这个平面上的一条直线。这个证明犯了用特殊代替一般的错误。
正确的解法是:
令x=1/3+t1,y=1/3+2t2,z=1/3-(t1+t2),
于是,x2+y2+z2=(1/3+t1)2+(1/3+2t2)2+[1/3-(t1+t2)]2=1/3+t12+t22+(t1+2t2)2≥1/3
或者可采取如下证法
x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2zx
于是,x2+y2+z2≥xy+yz+zx,再将x+y+z=1两端平方得x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=1
因此x2+y2+z2+2(x2+y2+z2)≥x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=1
因而x2+y2+z2≥1/3二、忽视隐含条件所引起的错误
例1 k为何值时,实系数二次方程x2-kx+k+8=0的两个实根的平方和最小。
解:由韦达定理得:x1+x2=k,x1·x2=k+8,所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=k2-2(k+8)=k2-2k-16=(k-1)2-17
故知当k=1时两根的平方和最小。
分析:当k=1时,得出两实根的平方和等于-17,这显然是荒谬的。问题还是在于因为有实根,故必有Δ≥0,即k值还要接受条件Δ=k2-4(k+8)=k2-4k-32≥0的制约。由这个不等式解得k≥8或k≤-4。在由x12+x22=(k-1)2-17知,当k=-4时两根平方和最小,最小值等于8。
例2 解关于x的方程lg(a+x)=lga+lgx
解:由于lga+lgx=lgax
故得lg(a+x)=lgax
a+x=ax
即(a-1)x=a
所以当a≠1时,x=a/a-1
分析:既然方程中出现lga、lgx,这就表明a>0,x>0。如上述解答,那么,当a=1/2时就得到x=-1。这是不合适的。
正确的解答应是:
当0<a≤1无解;当a>1时,x=a/a-1
三、由于概念不清所导致的错误
例1 判定函数f(x)=(1+sin2x)/cos2x+sinxcosx-1的奇偶性。
解:f(x)=(cosx+sinx)2/[cosx(cosx+sinx)]-1
=cosx+sinx/cosx-1=tanx
因为y=tanx是奇函数,所以f(x)是奇函数。
分析:奇偶函数是对于定义域关于原点对称的函数而言的,而此题中f(x)的定义域是:{x|x∈R,x≠kπ-π/4,k∈z},它关于原点不对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
上述解法中的变形不是恒等变形,因而f(x)与函数y=tanx是不同的。
例2 设点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,求证:这条直线方程可化成A(x-x0)+B(y-y0)=0。
证明:把原方程化为:y=-A/Bx-C/B,它的斜率是-A/B。此直线过点P(x0,y0),
由点斜式得:y-y0=-A/B(x-x0),
即A(x-x0)+B(y-y0)=0
分析:试题过程中只考虑到B≠0,而忽略了B=0的情况,即不是任何直线都可以写成y=kx+b的形式。因而證明是不十分严密的。
其实,因P(x0,y0)在直线上,故有Ax0+By0+C=0,于是C=-(Ax0+By0),代入Ax+By+C=0,整理即可得A(x-x0)+B(y-y0)=0。
参考文献:
\[1\]数学通报.2003,(2).
\[2\]数学(第三版)\[M\].高等教育出版社.
关键词:代换;隐含条件;概念理解
中图分类号:013 文献标识码:A
文章编号:1009-0118(2012)05-0202-01
数学解题最基本的要求是答案完美、没有错误。然而有些学生由于对概念的理解不够透彻,或者忽略了定理成立的条件,或者忽视了习题中的条件等种种原因,因而在解题过程中总是难免要发生错误。教师应该了解解题中常犯的错误,研究导致错误的原因,这样才能尽量减少错误的发生。
一、由不适当的代换所引起的错误
例1 求函数f(x)=sin2x-4sinx+9的最小值。
解:设u=sinx,于是就转化成求函数u2-4u+9的最小值,即u2-4u+9=(u-2)2+5
当u=2时,函数取到最小值5。
分析:因为u代表sinx,而∣sinx∣≤1,不可能等于2,因而函数值不可能等于5。
正确的解法是:
sin2x-4sinx+9=(sinx-2)2+5,当sinx=1时,f(x)最小,最小值等于6。
例2 若x+y+z=1,x、y、z都是实数,试证:x2+y2+z2≥1/3
证明:设x=1/3-t,y=1/3-2t,z=1/3+3t,
于是x2+y2+z2=(1/3-t)2+(1/3-2t)2+(1/3+3t)2=1/3+14t2≥1/3
分析:条件x+y+z=1与x=1/3-t,y=1/3-2t,z=1/3+3t并不等价。前一条件当x固定后,y与z还可以有无限多种取值法,而后一条件当x固定后y与z都随之唯一确定,就几何意义讲,前者代表空间一平面,而后者仅表示这个平面上的一条直线。这个证明犯了用特殊代替一般的错误。
正确的解法是:
令x=1/3+t1,y=1/3+2t2,z=1/3-(t1+t2),
于是,x2+y2+z2=(1/3+t1)2+(1/3+2t2)2+[1/3-(t1+t2)]2=1/3+t12+t22+(t1+2t2)2≥1/3
或者可采取如下证法
x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2zx
于是,x2+y2+z2≥xy+yz+zx,再将x+y+z=1两端平方得x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=1
因此x2+y2+z2+2(x2+y2+z2)≥x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=1
因而x2+y2+z2≥1/3二、忽视隐含条件所引起的错误
例1 k为何值时,实系数二次方程x2-kx+k+8=0的两个实根的平方和最小。
解:由韦达定理得:x1+x2=k,x1·x2=k+8,所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=k2-2(k+8)=k2-2k-16=(k-1)2-17
故知当k=1时两根的平方和最小。
分析:当k=1时,得出两实根的平方和等于-17,这显然是荒谬的。问题还是在于因为有实根,故必有Δ≥0,即k值还要接受条件Δ=k2-4(k+8)=k2-4k-32≥0的制约。由这个不等式解得k≥8或k≤-4。在由x12+x22=(k-1)2-17知,当k=-4时两根平方和最小,最小值等于8。
例2 解关于x的方程lg(a+x)=lga+lgx
解:由于lga+lgx=lgax
故得lg(a+x)=lgax
a+x=ax
即(a-1)x=a
所以当a≠1时,x=a/a-1
分析:既然方程中出现lga、lgx,这就表明a>0,x>0。如上述解答,那么,当a=1/2时就得到x=-1。这是不合适的。
正确的解答应是:
当0<a≤1无解;当a>1时,x=a/a-1
三、由于概念不清所导致的错误
例1 判定函数f(x)=(1+sin2x)/cos2x+sinxcosx-1的奇偶性。
解:f(x)=(cosx+sinx)2/[cosx(cosx+sinx)]-1
=cosx+sinx/cosx-1=tanx
因为y=tanx是奇函数,所以f(x)是奇函数。
分析:奇偶函数是对于定义域关于原点对称的函数而言的,而此题中f(x)的定义域是:{x|x∈R,x≠kπ-π/4,k∈z},它关于原点不对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
上述解法中的变形不是恒等变形,因而f(x)与函数y=tanx是不同的。
例2 设点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,求证:这条直线方程可化成A(x-x0)+B(y-y0)=0。
证明:把原方程化为:y=-A/Bx-C/B,它的斜率是-A/B。此直线过点P(x0,y0),
由点斜式得:y-y0=-A/B(x-x0),
即A(x-x0)+B(y-y0)=0
分析:试题过程中只考虑到B≠0,而忽略了B=0的情况,即不是任何直线都可以写成y=kx+b的形式。因而證明是不十分严密的。
其实,因P(x0,y0)在直线上,故有Ax0+By0+C=0,于是C=-(Ax0+By0),代入Ax+By+C=0,整理即可得A(x-x0)+B(y-y0)=0。
参考文献:
\[1\]数学通报.2003,(2).
\[2\]数学(第三版)\[M\].高等教育出版社.