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摘 要：在数学解题中，错误的出现是不可避免的。因此，对错误进行了系统分析是非常重要的。教师通过错误可以发现学生的不足，其次，错误从一个特定的角度揭示了学生掌握知识的过程。本文就数学解题中常见的错误做一个简要分析。
关键词：代换；隐含条件；概念理解
中图分类号：013 文献标识码：A
文章编号：1009-0118（2012）05-0202-01
数学解题最基本的要求是答案完美、没有错误。然而有些学生由于对概念的理解不够透彻，或者忽略了定理成立的条件，或者忽视了习题中的条件等种种原因，因而在解题过程中总是难免要发生错误。教师应该了解解题中常犯的错误，研究导致错误的原因，这样才能尽量减少错误的发生。
一、由不适当的代换所引起的错误
例1 求函数f（x）=sin2x－4sinx+9的最小值。
解：设u=sinx，于是就转化成求函数u2－4u+9的最小值，即u2－4u+9=（u－2）2+5
当u=2时，函数取到最小值5。
分析：因为u代表sinx，而∣sinx∣≤1，不可能等于2，因而函数值不可能等于5。
正确的解法是：
sin2x－4sinx+9=（sinx－2）2+5，当sinx=1时，f（x）最小，最小值等于6。
例2 若x+y+z=1，x、y、z都是实数，试证：x2+y2+z2≥1/3
证明：设x=1/3－t，y=1/3－2t，z=1/3+3t，
于是x2+y2+z2=（1/3－t）2+（1/3－2t）2+（1/3+3t）2=1/3+14t2≥1/3
分析：条件x+y+z=1与x=1/3－t，y=1/3－2t，z=1/3+3t并不等价。前一条件当x固定后，y与z还可以有无限多种取值法，而后一条件当x固定后y与z都随之唯一确定，就几何意义讲，前者代表空间一平面，而后者仅表示这个平面上的一条直线。这个证明犯了用特殊代替一般的错误。
正确的解法是：
令x=1/3+t1，y=1/3+2t2，z=1/3－（t1+t2），
于是，x2+y2+z2=（1/3+t1）2+（1/3+2t2）2+［1/3－（t1+t2）］2=1/3+t12+t22+（t1+2t2）2≥1/3
或者可采取如下证法
x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，z2+x2≥2zx
于是，x2+y2+z2≥xy+yz+zx，再将x+y+z=1两端平方得x2+y2+z2+2（xy+yz+zx）=1
因此x2+y2+z2+2（x2+y2+z2）≥x2+y2+z2+2（xy+yz+zx）=1
因而x2+y2+z2≥1/3二、忽视隐含条件所引起的错误
例1 k为何值时，实系数二次方程x2－kx+k+8=0的两个实根的平方和最小。
解：由韦达定理得：x1+x2=k，x1·x2=k+8，所以x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=k2－2（k+8）=k2－2k－16=（k－1）2－17
故知当k=1时两根的平方和最小。
分析：当k=1时，得出两实根的平方和等于-17，这显然是荒谬的。问题还是在于因为有实根，故必有Δ≥0，即k值还要接受条件Δ=k2－4（k+8）=k2－4k－32≥0的制约。由这个不等式解得k≥8或k≤-4。在由x12+x22=（k－1）2－17知，当k=-4时两根平方和最小，最小值等于8。
例2 解关于x的方程lg（a+x）=lga+lgx
解：由于lga+lgx=lgax
故得lg（a+x）=lgax
a+x=ax
即（a-1）x=a
所以当a≠1时，x=a/a-1
分析：既然方程中出现lga、lgx，这就表明a＞0，x＞0。如上述解答，那么，当a=1/2时就得到x=-1。这是不合适的。
正确的解答应是：
当0＜a≤1无解；当a＞1时，x=a/a-1
三、由于概念不清所导致的错误
例1 判定函数f（x）=（1+sin2x）/cos2x+sinxcosx-1的奇偶性。
解：f（x）=（cosx+sinx）2/［cosx（cosx+sinx）］-1
=cosx+sinx/cosx－1=tanx
因为y=tanx是奇函数，所以f（x）是奇函数。
分析：奇偶函数是对于定义域关于原点对称的函数而言的，而此题中f（x）的定义域是：{x|x∈R，x≠kπ－π/4，k∈z}，它关于原点不对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数。
上述解法中的变形不是恒等变形，因而f（x）与函数y=tanx是不同的。
例2 设点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，求证：这条直线方程可化成A（x-x0）+B（y-y0）=0。
证明：把原方程化为：y=-A/Bx-C/B，它的斜率是-A/B。此直线过点P（x0，y0），
由点斜式得：y－y0=-A/B（x-x0），
即A（x-x0）+B（y-y0）=0
分析：试题过程中只考虑到B≠0，而忽略了B=0的情况，即不是任何直线都可以写成y=kx+b的形式。因而證明是不十分严密的。
其实，因P（x0，y0）在直线上，故有Ax0+By0+C=0，于是C=－（Ax0+By0），代入Ax+By+C=0，整理即可得A（x-x0）+B（y-y0）=0。
参考文献：
\[1\]数学通报.2003,(2).
\[2\]数学(第三版)\[M\].高等教育出版社.
关键词：代换；隐含条件；概念理解
中图分类号：013 文献标识码：A
文章编号：1009-0118（2012）05-0202-01
数学解题最基本的要求是答案完美、没有错误。然而有些学生由于对概念的理解不够透彻，或者忽略了定理成立的条件，或者忽视了习题中的条件等种种原因，因而在解题过程中总是难免要发生错误。教师应该了解解题中常犯的错误，研究导致错误的原因，这样才能尽量减少错误的发生。
一、由不适当的代换所引起的错误
例1 求函数f（x）=sin2x－4sinx+9的最小值。
解：设u=sinx，于是就转化成求函数u2－4u+9的最小值，即u2－4u+9=（u－2）2+5
当u=2时，函数取到最小值5。
分析：因为u代表sinx，而∣sinx∣≤1，不可能等于2，因而函数值不可能等于5。
正确的解法是：
sin2x－4sinx+9=（sinx－2）2+5，当sinx=1时，f（x）最小，最小值等于6。
例2 若x+y+z=1，x、y、z都是实数，试证：x2+y2+z2≥1/3
证明：设x=1/3－t，y=1/3－2t，z=1/3+3t，
于是x2+y2+z2=（1/3－t）2+（1/3－2t）2+（1/3+3t）2=1/3+14t2≥1/3
分析：条件x+y+z=1与x=1/3－t，y=1/3－2t，z=1/3+3t并不等价。前一条件当x固定后，y与z还可以有无限多种取值法，而后一条件当x固定后y与z都随之唯一确定，就几何意义讲，前者代表空间一平面，而后者仅表示这个平面上的一条直线。这个证明犯了用特殊代替一般的错误。
正确的解法是：
令x=1/3+t1，y=1/3+2t2，z=1/3－（t1+t2），
于是，x2+y2+z2=（1/3+t1）2+（1/3+2t2）2+［1/3－（t1+t2）］2=1/3+t12+t22+（t1+2t2）2≥1/3
或者可采取如下证法
x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，z2+x2≥2zx
于是，x2+y2+z2≥xy+yz+zx，再将x+y+z=1两端平方得x2+y2+z2+2（xy+yz+zx）=1
因此x2+y2+z2+2（x2+y2+z2）≥x2+y2+z2+2（xy+yz+zx）=1
因而x2+y2+z2≥1/3二、忽视隐含条件所引起的错误
例1 k为何值时，实系数二次方程x2－kx+k+8=0的两个实根的平方和最小。
解：由韦达定理得：x1+x2=k，x1·x2=k+8，所以x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=k2－2（k+8）=k2－2k－16=（k－1）2－17
故知当k=1时两根的平方和最小。
分析：当k=1时，得出两实根的平方和等于-17，这显然是荒谬的。问题还是在于因为有实根，故必有Δ≥0，即k值还要接受条件Δ=k2－4（k+8）=k2－4k－32≥0的制约。由这个不等式解得k≥8或k≤-4。在由x12+x22=（k－1）2－17知，当k=-4时两根平方和最小，最小值等于8。
例2 解关于x的方程lg（a+x）=lga+lgx
解：由于lga+lgx=lgax
故得lg（a+x）=lgax
a+x=ax
即（a-1）x=a
所以当a≠1时，x=a/a-1
分析：既然方程中出现lga、lgx，这就表明a＞0，x＞0。如上述解答，那么，当a=1/2时就得到x=-1。这是不合适的。
正确的解答应是：
当0＜a≤1无解；当a＞1时，x=a/a-1
三、由于概念不清所导致的错误
例1 判定函数f（x）=（1+sin2x）/cos2x+sinxcosx-1的奇偶性。
解：f（x）=（cosx+sinx）2/［cosx（cosx+sinx）］-1
=cosx+sinx/cosx－1=tanx
因为y=tanx是奇函数，所以f（x）是奇函数。
分析：奇偶函数是对于定义域关于原点对称的函数而言的，而此题中f（x）的定义域是：{x|x∈R，x≠kπ－π/4，k∈z}，它关于原点不对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数。
上述解法中的变形不是恒等变形，因而f（x）与函数y=tanx是不同的。
例2 设点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，求证：这条直线方程可化成A（x-x0）+B（y-y0）=0。
证明：把原方程化为：y=-A/Bx-C/B，它的斜率是-A/B。此直线过点P（x0，y0），
由点斜式得：y－y0=-A/B（x-x0），
即A（x-x0）+B（y-y0）=0
分析：试题过程中只考虑到B≠0，而忽略了B=0的情况，即不是任何直线都可以写成y=kx+b的形式。因而證明是不十分严密的。
其实，因P（x0，y0）在直线上，故有Ax0+By0+C=0，于是C=－（Ax0+By0），代入Ax+By+C=0，整理即可得A（x-x0）+B（y-y0）=0。
参考文献：
\[1\]数学通报.2003,(2).
\[2\]数学(第三版)\[M\].高等教育出版社.