论文部分内容阅读
摘要：圆锥曲线是解析几何中的重点，也是高中数学教学过程中的重点章节之一，在教学过程和高考试卷中都占有很大的比例。在历年高考的命题中都是热点和重点之一。圆锥曲线的定义在初高中数学乃至高等数学中，都有广泛的应用。本论文首先对圆锥曲线的统一定义进行归納总结概述;其次给出了利用圆锥曲线统一定义巧解题的一些方法以及解题过程，然后对利用圆锥曲线统一定义巧解题中所涉及到的数形结合思想作了归纳和总结。
一、圆锥曲线的统一定义（又叫做第二定义）
圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）统一定义：平面内一个动点M与一个定点F的距离与一条定直线L（点F不在直线L上）的距离之比等于一个常数e;当01时，动点M的轨迹是双曲线。
圆锥曲线的统一定义，是圆锥曲线定义概念的重要组成部分，揭示了圆锥曲线之间的内在联系，使焦点，离心率，和准线等构成一个统一的整体，学习好圆锥曲线的统一定义，不仅是研究圆锥曲线图像与性质的基础，而且在许多高中数学问题的解题过程中，具有不可磨灭的特殊作用。圆锥曲线第二定义在求最值的形式一般是：的最小值，同时求取得最小值时相应的P点的坐标。这个问题转化的本质就是将（其中点A是曲线（椭圆，双曲线或抛物线）内一定点（异于焦点）的一定点，是曲线上的一个动点，是曲线的一个焦点，是曲线的离心率）。
二、巧用圆锥曲线统一定义解最值问题
例1 已知A（1，2），F为椭圆+ 的右焦点，P为椭圆上的动点，当∣PA∣+∣PF∣取最小值时，求P点的坐标.
思路分析：已知e=，而∣PF∣恰好是椭圆上的点到椭圆相应准线的距离。
解：∵椭圆方程为+=1，∴a=5，b=4，c=3∴ e=.又∵A（1，2）是椭圆内部的点，椭圆的右准线方程为L：x=，过点P作PQ⊥L于点Q，由椭圆的第二定义知： =e=，即：PQ=∣PF∣，
∴ ∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+∣PQ∣，当且仅当P、A、Q三点共线时，∣PA∣+∣PQ∣有最小值，过A作AA′⊥L，与椭圆的交点即为所求，显然yp=2，代入椭圆方程可求xp=，
∴当∣PA∣+∣PF∣取最小值时，点P的坐标为（，2）.
【评注】在涉及椭圆上的点与焦点有关的距离时，一定明确椭圆的第二定义及其相应的变形式子。
例2：已知点，，在双曲线上求一点，使的值最小。
解：∵，，∴，e=，设到与焦点相应的准线的距离为，则即在双曲线上求点，使到定点的距离与到准线的距离和最小，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时点纵坐标为，∴所求的点为
例3：如果双曲线上一点P到双曲线右准线的距离等于，求点到右焦点的距离。
即点到右焦点的距离为。
如上题如何求P到左焦点的距离解：， ∴， ∴
方法二：双曲线左支上的点离右准线的距离的最小值，故点为双曲线右支上的点，∴P到左准线的距离
由双曲线的第二定义
注：通过一题多解巩固双曲线中焦点与准线的“对应”关系。
例 4. 已知点B（ 3，2 ），F为抛物线 的焦点，点P在抛物线上移动，当|PB| + |PF| 的值最小时，点P的坐标为？ 若将题中的（ 3，2 ）改成（ 2，3 ）呢？
解： 如图所示， 点B（ 3，2 ）在抛物线内，过点 P 作抛物线的准线 L∶x=-1的垂线，垂足为 Q ，则 |PF |= |PQ| 只需求出|PB| +| PQ| 的最小值。 由图可知当 M ， P ， Q 三点共线时，|PB| +| PQ |最小，此时P点的纵坐标为 2 。
代入 得 x=2 ，点 P（2，2）。
若将题中的B（3，2）改成（2，3），显然点B（2，3）在抛物线外， 当 B ， P ， F 三 点 共 线 时 ，|PM| + |PQ| 最 小 ，
评析： 利用抛物线的性质， 抛物线上的点到焦点的距离就是到准线的距离， 再通过作图，得到的| BM| +| PF| 最小值， 是典型的几何法。
三、问题小结
从上述例题可以看出，圆锥曲线的统一定义（第二定义）既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些最值问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，则可通过“数”与“形”的结合，充分利用图形的直观性，与圆锥曲线的统一定义结合起来求解。它的基本特点是解题思路比较简单， 规律性较强，因此在解决问题时会事半功倍。
一、圆锥曲线的统一定义（又叫做第二定义）
圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）统一定义：平面内一个动点M与一个定点F的距离与一条定直线L（点F不在直线L上）的距离之比等于一个常数e;当0
圆锥曲线的统一定义，是圆锥曲线定义概念的重要组成部分，揭示了圆锥曲线之间的内在联系，使焦点，离心率，和准线等构成一个统一的整体，学习好圆锥曲线的统一定义，不仅是研究圆锥曲线图像与性质的基础，而且在许多高中数学问题的解题过程中，具有不可磨灭的特殊作用。圆锥曲线第二定义在求最值的形式一般是：的最小值，同时求取得最小值时相应的P点的坐标。这个问题转化的本质就是将（其中点A是曲线（椭圆，双曲线或抛物线）内一定点（异于焦点）的一定点，是曲线上的一个动点，是曲线的一个焦点，是曲线的离心率）。
二、巧用圆锥曲线统一定义解最值问题
例1 已知A（1，2），F为椭圆+ 的右焦点，P为椭圆上的动点，当∣PA∣+∣PF∣取最小值时，求P点的坐标.
思路分析：已知e=，而∣PF∣恰好是椭圆上的点到椭圆相应准线的距离。
解：∵椭圆方程为+=1，∴a=5，b=4，c=3∴ e=.又∵A（1，2）是椭圆内部的点，椭圆的右准线方程为L：x=，过点P作PQ⊥L于点Q，由椭圆的第二定义知： =e=，即：PQ=∣PF∣，
∴ ∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+∣PQ∣，当且仅当P、A、Q三点共线时，∣PA∣+∣PQ∣有最小值，过A作AA′⊥L，与椭圆的交点即为所求，显然yp=2，代入椭圆方程可求xp=，
∴当∣PA∣+∣PF∣取最小值时，点P的坐标为（，2）.
【评注】在涉及椭圆上的点与焦点有关的距离时，一定明确椭圆的第二定义及其相应的变形式子。
例2：已知点，，在双曲线上求一点，使的值最小。
解：∵，，∴，e=，设到与焦点相应的准线的距离为，则即在双曲线上求点，使到定点的距离与到准线的距离和最小，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时点纵坐标为，∴所求的点为
例3：如果双曲线上一点P到双曲线右准线的距离等于，求点到右焦点的距离。
即点到右焦点的距离为。
如上题如何求P到左焦点的距离解：， ∴， ∴
方法二：双曲线左支上的点离右准线的距离的最小值，故点为双曲线右支上的点，∴P到左准线的距离
由双曲线的第二定义
注：通过一题多解巩固双曲线中焦点与准线的“对应”关系。
例 4. 已知点B（ 3，2 ），F为抛物线 的焦点，点P在抛物线上移动，当|PB| + |PF| 的值最小时，点P的坐标为？ 若将题中的（ 3，2 ）改成（ 2，3 ）呢？
解： 如图所示， 点B（ 3，2 ）在抛物线内，过点 P 作抛物线的准线 L∶x=-1的垂线，垂足为 Q ，则 |PF |= |PQ| 只需求出|PB| +| PQ| 的最小值。 由图可知当 M ， P ， Q 三点共线时，|PB| +| PQ |最小，此时P点的纵坐标为 2 。
代入 得 x=2 ，点 P（2，2）。
若将题中的B（3，2）改成（2，3），显然点B（2，3）在抛物线外， 当 B ， P ， F 三 点 共 线 时 ，|PM| + |PQ| 最 小 ，
评析： 利用抛物线的性质， 抛物线上的点到焦点的距离就是到准线的距离， 再通过作图，得到的| BM| +| PF| 最小值， 是典型的几何法。
三、问题小结
从上述例题可以看出，圆锥曲线的统一定义（第二定义）既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些最值问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，则可通过“数”与“形”的结合，充分利用图形的直观性，与圆锥曲线的统一定义结合起来求解。它的基本特点是解题思路比较简单， 规律性较强，因此在解决问题时会事半功倍。