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带电粒子在电磁复合场的三维空间的运动问题,从本质上讲也就是引入了电场力和洛仑兹力后的力学问题。由于解答这类问题要涉及力学、电磁学等很多方面的知识,因此它属于高中物理的一个难点问题。
下面结合几个具体实例来谈谈这类问题的分析方法。
1、直线运动类型
例题1:(2002年广东)在图1中虚线所示的区域存在匀强电场和匀强磁场,取坐标如图。一带电粒子沿x轴正方向进入此区域,在穿过此区域的过程中运动方向始终不发生偏转。不计重力的影响,电场强度E和磁感强度B的方向可能是
A.E和B都沿x轴方向
B.E沿y轴正向,B沿z轴正向
C.E沿z轴正向,B沿y轴正向
D.E、B都沿z 轴方向
解析:带电粒子沿x轴正方向,在三维空间图中标出电场力、洛仑兹力,然后进行思考。
若E和B都沿x轴正方向,在如图2所示,不受洛仑兹力,电场力在x轴上,可判断A正确。
若E沿y轴正向,对正电粒子,如图3所示,合外力可能为零;对负电粒子,只是电场力与洛仑兹力反向,合外力也可能为零。故B正确。
若E沿z轴正向,对正电粒子,如图4所示,合力不为零且与速度不共线,粒子必然发生偏转;当负电粒子也必发生偏转。故C错。
若E、B都沿z轴方向,对正电粒子,如图5所示,合力不为零,且与速度不共线,粒子必发生偏转;当负电粒子也必发生偏转,故D错。
例题2:(2003北京卷)如图6所示,在Oxyz坐标系所在的空间中,可能存在匀强电场或匀强磁场,也可能两者都存在或都不存在。但如果两者都存在,已知磁场平行于xoy平面。现有一质量为m带正电q的点电荷沿z轴正方向射入此空间中,发现它做速度为v0的匀速直线运动。若不计重力,试写出电场和磁场的分布有哪几种可能性。
要求:对每一种可能性,都要说出其中电场强度、磁感应强度的方向和大小,以及它们之间可能存在的关系。不要求推导或说明理由。
解析:要保证点电荷做匀速直线运动,电场强度E和磁感应强度B分别有以下几种可能:
(1)E=0,B=0。
(2)E=0,B≠0。B的方向与z轴的正方向平行或反平行,B的大小可任意,如图7所示。
(3)E≠0,B≠0。磁场方向可在平行于xOy平面的任何方向。电场E的方向平行于xOy平面,并与B的方向垂直。当迎着z轴方向看时,由B的方向顺时针转90°后就是E的方向,如图8所示(图中只画了一种情况)。E和B的大小可取满足关系式E/B=v0的任何值。
例题3:(2005年全国卷II)在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系O-xyz(z轴正方向竖直向上),如图9所示。已知电场方向沿z轴正方向,场强大小为E;磁场方向沿y轴正方向,磁感应强度的大小为B;重力加速度为g。问一质量为m,带电量为+q的从原点出发的质点能否在坐标轴(x,y,z)上以速度v做匀速运动?若能,m,q,E,B,v及g应满足怎样的关系?若不能,说明理由。
解析:在三维空间图中标出重力和电场力,再进行以下分析:
(1)假设质点在x轴上做匀速运动,如果洛仑兹力沿z轴正方向(当v沿x轴正方向),满足qvB+qE=mg时,或洛仑兹力沿z轴负方向(当v沿x轴负方向),满足qE=qvB+mg时,都可以做匀速运动,如图10所示。
(2)假设质点在y轴上做匀速运动,则洛仑兹力为零,当qE=mg时,如图11所示,可做匀速运动。
(3)假设质点在z轴上做匀速运动,则它受到的洛仑兹力平行于x轴,而电场力和重力都平行于z轴,三力的合力不可能为零,如图12所示,故质点不可能在z轴上做匀速运动。
例题4:在某地上空同时存在着匀强电场和匀强磁场,一个重力为G的带正电小球,在该区域内沿水平方向向右做直线运动,如图13所示。关于场的分布情况可能是:
A.电场方向和磁场方向重合
B.电场指向纸内,磁场指向纸外,均与v垂直
C.电场竖直向上,磁场垂直纸面向里
D.电场水平向右,磁场垂直纸面向里
解析:从题目给出的正视图,通过空间想象构想出问题的空间情景,然后再从合适的角度画出侧视图或正视图,以准确反映矢量之间的关系。
对A选项,从左侧视图画出侧视图,如图14,可以知道这种情况满足要求;对B选项,由于题目没有要求垂直纸面向外或向内,从左侧视图,在图15所示的情况下,只要电场力,磁场力的合力平衡重力,粒子可以做直线运动;对C选项,从正前方视图,画出图16,可以做直线运动;对D选项,从正前方视图,画出图17,由于粒子在水平方向将做加速运动,粒子在竖直方向受力不可能平衡,不能做直线运动。答案是ABC。
从上述例题的分析可以看出,考虑重力的情况中涉及到的矢量(速度、电场强度、磁感应强度以及重力、电场力、洛仑兹力等)的空间关系要复杂一些,不过两种情况的分析思路与方法大致是相同的。
2、匀速圆周运动类型
例题5:如图18所示,在地面上方的真空室内有相互正义的匀强电场和匀强磁场,匀强电场的方向指向y轴的负方向,场强E=4.0×10-3伏/米,匀强磁场的方向指向x轴的正方向,磁感应强度B=0.40特,现有一质量为m的带电微粒,以200米/秒的速度,由坐标原点沿y轴正方向射入真空室后立即做匀速圆周运动。从微粒由O点射入开始计时,求经时间 秒时,微粒所处位置的坐标。(g取10米/秒2)。
解析:微粒进入电磁复合场后,微粒做匀速圆运动,微粒应带负电,在竖直方向上电场力与重力平衡,有 ,其运动轨迹在yoz平面,空间图如图19所示,平面图如图20所示。
由 ,所以, ,
在t时间内转过的角度:,代入数据得,
坐标,,
例题6:在如图21所示的直角坐标系中,坐标原点O处固定有正点电荷,另有平行于y轴的匀强磁场.一个质量为m、带电量+q的微粒,恰能以y轴上点为圆心作匀速圆周运动,其轨迹平面与x O z平面平行,角速度为,旋转方向如图中箭头所示。试求匀强磁场的磁感应强度大小和方向?
解析:
如图22所示,设轨迹半径为R.,圆周上一点和坐标原点连线与y轴夹角为θ。带电微粒受重力、库仑力、洛仑兹力的合力为向心力。由牛顿第二定律:
,,其中,
由各式消去F电和R、θ得:,方向沿y负方向
3、类平抛运动类型
例题7:如图23所示,在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz(x轴正方向向右,y轴正方向竖直向上)。匀强磁场方向与oxy平面平行,且与x轴的夹角为600,重力加速度为g。一个质量为m、电荷量为q的带正电的质点沿平行于z轴正方向以速度v0做匀速直线运动。
(1)求电场强度的最小值Emin,及对应的磁感应强度B;
(2)若电场强度为最小值Emin,当带电质点通过y轴上的P点(0,h,0)时,撤去匀强磁场,求带电质点落在oxz平面内的位置。
解析:
(1)为使质点匀速运动,磁场力与电场力的合力F跟重力等大反向。
迎着v0方向视图画出质点受力草图,分析知道,电场力最小时(电场强度也最小),电场力方向与磁场力垂直,即場强方向与磁场方向一致,如图24所示。
由平衡条件:,
所以,电场强度的最小值Emin:
对应的磁感应强度为:
(2)撤消磁场后,质点在重力与电场力的合力F作用下,在由初速度v0与合力F构成的平面内,做类平抛运动。画出空间关系图,如图25所示,在v0与F构成的平面内。
由牛顿第二定律和运动学公式:
, ,
所以,,
故,落点的坐标:(,0,)
从以上例题的分析解答中我们可以发现,解答此类问题需要一定的空间思维能力,有时需要直接在三维空间图中分析思考;有时则应该在看懂立体示意图的基础上,借助于几何图形和自己所做的有关标识,以及进行必要的空间视图角度转换而画出的正视图、侧视图或俯视图,进行分析、推理以及计算,而分析的步骤仍然与解答动力学问题基本相同。
下面结合几个具体实例来谈谈这类问题的分析方法。
1、直线运动类型
例题1:(2002年广东)在图1中虚线所示的区域存在匀强电场和匀强磁场,取坐标如图。一带电粒子沿x轴正方向进入此区域,在穿过此区域的过程中运动方向始终不发生偏转。不计重力的影响,电场强度E和磁感强度B的方向可能是
A.E和B都沿x轴方向
B.E沿y轴正向,B沿z轴正向
C.E沿z轴正向,B沿y轴正向
D.E、B都沿z 轴方向
解析:带电粒子沿x轴正方向,在三维空间图中标出电场力、洛仑兹力,然后进行思考。
若E和B都沿x轴正方向,在如图2所示,不受洛仑兹力,电场力在x轴上,可判断A正确。
若E沿y轴正向,对正电粒子,如图3所示,合外力可能为零;对负电粒子,只是电场力与洛仑兹力反向,合外力也可能为零。故B正确。
若E沿z轴正向,对正电粒子,如图4所示,合力不为零且与速度不共线,粒子必然发生偏转;当负电粒子也必发生偏转。故C错。
若E、B都沿z轴方向,对正电粒子,如图5所示,合力不为零,且与速度不共线,粒子必发生偏转;当负电粒子也必发生偏转,故D错。
例题2:(2003北京卷)如图6所示,在Oxyz坐标系所在的空间中,可能存在匀强电场或匀强磁场,也可能两者都存在或都不存在。但如果两者都存在,已知磁场平行于xoy平面。现有一质量为m带正电q的点电荷沿z轴正方向射入此空间中,发现它做速度为v0的匀速直线运动。若不计重力,试写出电场和磁场的分布有哪几种可能性。
要求:对每一种可能性,都要说出其中电场强度、磁感应强度的方向和大小,以及它们之间可能存在的关系。不要求推导或说明理由。
解析:要保证点电荷做匀速直线运动,电场强度E和磁感应强度B分别有以下几种可能:
(1)E=0,B=0。
(2)E=0,B≠0。B的方向与z轴的正方向平行或反平行,B的大小可任意,如图7所示。
(3)E≠0,B≠0。磁场方向可在平行于xOy平面的任何方向。电场E的方向平行于xOy平面,并与B的方向垂直。当迎着z轴方向看时,由B的方向顺时针转90°后就是E的方向,如图8所示(图中只画了一种情况)。E和B的大小可取满足关系式E/B=v0的任何值。
例题3:(2005年全国卷II)在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系O-xyz(z轴正方向竖直向上),如图9所示。已知电场方向沿z轴正方向,场强大小为E;磁场方向沿y轴正方向,磁感应强度的大小为B;重力加速度为g。问一质量为m,带电量为+q的从原点出发的质点能否在坐标轴(x,y,z)上以速度v做匀速运动?若能,m,q,E,B,v及g应满足怎样的关系?若不能,说明理由。
解析:在三维空间图中标出重力和电场力,再进行以下分析:
(1)假设质点在x轴上做匀速运动,如果洛仑兹力沿z轴正方向(当v沿x轴正方向),满足qvB+qE=mg时,或洛仑兹力沿z轴负方向(当v沿x轴负方向),满足qE=qvB+mg时,都可以做匀速运动,如图10所示。
(2)假设质点在y轴上做匀速运动,则洛仑兹力为零,当qE=mg时,如图11所示,可做匀速运动。
(3)假设质点在z轴上做匀速运动,则它受到的洛仑兹力平行于x轴,而电场力和重力都平行于z轴,三力的合力不可能为零,如图12所示,故质点不可能在z轴上做匀速运动。
例题4:在某地上空同时存在着匀强电场和匀强磁场,一个重力为G的带正电小球,在该区域内沿水平方向向右做直线运动,如图13所示。关于场的分布情况可能是:
A.电场方向和磁场方向重合
B.电场指向纸内,磁场指向纸外,均与v垂直
C.电场竖直向上,磁场垂直纸面向里
D.电场水平向右,磁场垂直纸面向里
解析:从题目给出的正视图,通过空间想象构想出问题的空间情景,然后再从合适的角度画出侧视图或正视图,以准确反映矢量之间的关系。
对A选项,从左侧视图画出侧视图,如图14,可以知道这种情况满足要求;对B选项,由于题目没有要求垂直纸面向外或向内,从左侧视图,在图15所示的情况下,只要电场力,磁场力的合力平衡重力,粒子可以做直线运动;对C选项,从正前方视图,画出图16,可以做直线运动;对D选项,从正前方视图,画出图17,由于粒子在水平方向将做加速运动,粒子在竖直方向受力不可能平衡,不能做直线运动。答案是ABC。
从上述例题的分析可以看出,考虑重力的情况中涉及到的矢量(速度、电场强度、磁感应强度以及重力、电场力、洛仑兹力等)的空间关系要复杂一些,不过两种情况的分析思路与方法大致是相同的。
2、匀速圆周运动类型
例题5:如图18所示,在地面上方的真空室内有相互正义的匀强电场和匀强磁场,匀强电场的方向指向y轴的负方向,场强E=4.0×10-3伏/米,匀强磁场的方向指向x轴的正方向,磁感应强度B=0.40特,现有一质量为m的带电微粒,以200米/秒的速度,由坐标原点沿y轴正方向射入真空室后立即做匀速圆周运动。从微粒由O点射入开始计时,求经时间 秒时,微粒所处位置的坐标。(g取10米/秒2)。
解析:微粒进入电磁复合场后,微粒做匀速圆运动,微粒应带负电,在竖直方向上电场力与重力平衡,有 ,其运动轨迹在yoz平面,空间图如图19所示,平面图如图20所示。
由 ,所以, ,
在t时间内转过的角度:,代入数据得,
坐标,,
例题6:在如图21所示的直角坐标系中,坐标原点O处固定有正点电荷,另有平行于y轴的匀强磁场.一个质量为m、带电量+q的微粒,恰能以y轴上点为圆心作匀速圆周运动,其轨迹平面与x O z平面平行,角速度为,旋转方向如图中箭头所示。试求匀强磁场的磁感应强度大小和方向?
解析:
如图22所示,设轨迹半径为R.,圆周上一点和坐标原点连线与y轴夹角为θ。带电微粒受重力、库仑力、洛仑兹力的合力为向心力。由牛顿第二定律:
,,其中,
由各式消去F电和R、θ得:,方向沿y负方向
3、类平抛运动类型
例题7:如图23所示,在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz(x轴正方向向右,y轴正方向竖直向上)。匀强磁场方向与oxy平面平行,且与x轴的夹角为600,重力加速度为g。一个质量为m、电荷量为q的带正电的质点沿平行于z轴正方向以速度v0做匀速直线运动。
(1)求电场强度的最小值Emin,及对应的磁感应强度B;
(2)若电场强度为最小值Emin,当带电质点通过y轴上的P点(0,h,0)时,撤去匀强磁场,求带电质点落在oxz平面内的位置。
解析:
(1)为使质点匀速运动,磁场力与电场力的合力F跟重力等大反向。
迎着v0方向视图画出质点受力草图,分析知道,电场力最小时(电场强度也最小),电场力方向与磁场力垂直,即場强方向与磁场方向一致,如图24所示。
由平衡条件:,
所以,电场强度的最小值Emin:
对应的磁感应强度为:
(2)撤消磁场后,质点在重力与电场力的合力F作用下,在由初速度v0与合力F构成的平面内,做类平抛运动。画出空间关系图,如图25所示,在v0与F构成的平面内。
由牛顿第二定律和运动学公式:
, ,
所以,,
故,落点的坐标:(,0,)
从以上例题的分析解答中我们可以发现,解答此类问题需要一定的空间思维能力,有时需要直接在三维空间图中分析思考;有时则应该在看懂立体示意图的基础上,借助于几何图形和自己所做的有关标识,以及进行必要的空间视图角度转换而画出的正视图、侧视图或俯视图,进行分析、推理以及计算,而分析的步骤仍然与解答动力学问题基本相同。