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【摘 要】 “数学理解”作为一种研究新动向越来越受到大家的关注，为此笔者结合自己的教学谈谈如何立足“数学理解”改进的小学数学概念教学。从教育心理的角度看，基于数学理解的概念教学就是要建立有关概念的内在心理表征并使之构成能自动转化的网络。而从教学实际来看，就是把握概念的内涵与外延，能从文字角度领会，能举实例来说明，能在实际运用中不断拓展与升华对它的本质认识。我们把概念教学从“数学理解”的角度设计为四步曲：从生活中感知—从反思中归纳—从探析中明确-从联系中定位。
【关键词】 小学数学 数学理解 概念教学 操作 反思 图式
什么是“数学理解”？教育学家布鲁纳认为：如果一个数学概念一旦成为个体心理表征网络的一部，那么数学知识就被理解了。这里所谓的“表征”包括动作、表象、书面符号、口头语言与现实情境共五个类别，正是因为学生用不同的表征方式来表达数学概念并实现这些表征方式内部的转化，所以学生就获得了数学理解。据此笔者可以打个比方，假如有学生能够准确画出一个三角形，并在头脑中建立鲜明的表象，而且能用书面符号表示它，能用口语说出他的核心特征，并能在许多图形中准确地指出哪一个是三角形，这就说明他能从不同的知觉通道实现信息的转化，从而形成三角形的认知网络，那么他就完全理解了什么是三角形。
由上可见，从教育心理的角度看，基于数学理解的概念教学就是要建立有关概念的内在心理表征并使之构成能自动转化的网络。而从教学实际来看，就是把握概念的内涵与外延，能从文字角度领会，能举实例来说明，能在实际运用中不断拓展与升华对它的本质认识。从学习的层面分析，数学概念的理解就是要在多元智能理论的基础上，发挥不同智能类型学生的特长，让他们在自己擅长的领域中首先表达对概念的理解，然后又从其它感官通道切入深化理解，最终打通这些不同渠道的理解从而实现对概念的理解。过去我们认为学生对数学概念的理解应该准确划一，而事实上不同的学习个体对概念进行内在心理表征的切入角度不全相同，正是这种差异为相互交流与探究提供了契机，也使得合作学习成为有价值的学习方式。所以基于数学理解的小学数学概念教学需要我们对传统的师生与生生关系进行重新组构，这样才能在与时俱进中实现对陈旧僵化式教学的颠覆。
一、源于生活的操作，感知概念意义
数学概念具有抽象难懂的特点，但它与学生的生活实际紧密相连，所以概念教学的首要环节应该是设置真实的生活情境，让学生从生活情境中感受概念的属性，同时要指导学生动手操作、动脑思考与动口表达，让学生在真实感知的基础上加深认识，为最终形成对概念本质的认识服务。
1. 运用合适的操作材料
教师要根据数学概念所涉及的生活实际选择操作材料，考虑材料是否适合概念教学的需求，所选操作材料必须有一定的可操作性，能在课堂上比较便捷地进行操作，并能在操作中逼近与得出相关数学概念。比如对于乘法的意义——代表几个相同加数的和，教师通过画图呈现3组苹果，每组各5个，让学生由此从加法转化为乘法，然后让学生也同样画一画4组苹果、每组3个，通过对加法的再认识逐步转化而成为乘法运算，但如果不用画图的方式，那最好用小棒来代表苹果，这样操作起来更为方便。可见，操作材料并不一定需要是真实的，也可以是虚拟的，但必须是能便捷地帮助学生达成概念。
2. 选择适宜的操作方式
操作方式的好坏与能否构建概念的意义密切相关，操作方式的选择要有助于调动学生思考的积极性，形成对概念的直观感受。操作方式不仅包括学生动手操作，还包括演示操作以及对图形的观察、比较与具体的计算。上边乘法的意义教学中，教师首先进行演示操作，然后让学生自行画图操作，充分考虑到学生操作的难度而实行由扶到放的策略，这种操作方式显然是可取的。
3. 给以足够的材料与时间
在概念教学过程中，教师要为学生提供充足的操作材料，并给以足够的操作时间，便于学生通过多方面思考达成对概念的比较全面的感知与比较充分的理解。
4. 布置恰当的操作任
操作任务的布置要考虑到学生的知识与能力水平，过高与过低的要求都会影响学生参与的积极性。操作任务必须以概念学习为中心，不能搞花架子，走形式主义。
二、立足过程的反思，形成概念定义
学生围绕概念意义进行的生活化操作只能获取感性经验，要想使感性经验理性化，那就必须进行积极的自主建构，经过反思最终形成概念。
1. 用生活化语言描述操
教师设计一些梯度性的问题引导学生思考，让学生用生活化语言对操作过程的感性认识进行描述与反思，有助于形成对数学概念的多角度体验。比如在部编版《解简易方程》的教学中，为了帮助学生建立方程的概念，教材提供了一些操作图片，教师可以让学生结合图片观察，再观察教师的演示操作，然后用生活化的语言描述：杯子的重量是100克;一杯水的总重量与两个大砝码和一个小砝码的总重量相同;小砝码重50克，一个大砝码重100克;杯子与水的总重量比两个大砝码要重，比三个大砝码要轻……这些描述与方程似乎风牛马不相及，而且杂乱无章，但已经为学生从生活中抽象出方程概念提供了比较、分析的基础。
2. 用数学化语言抽象操作
生活化语言是一种原生态的经验性语言，不一定符合数学语言的要求，让学生将刚才对操作过程进行的描述与反思再进一步加工，就可能形成相对规范的数学化语言，从而为抽象出数学概念打下基础。比如经过上述语言表述，从中发现存在如下关系：杯子与水的总重量比两个大砝码要重;杯子与水的总重量比三个大砝码要轻;一杯水的总重量与两个大砝码加上一个小砝码的总重量相同。如果设水的重量为x克，那么就可以得出：100+x>100+100+50;100+x<100+100+100;100+x=100+100+50。這样就通过数学符号实现了对生活化语言的数学转换，而且这里已经出现了不等式与方程，为最终方程概念的建立打下了基础。 3. 提炼形成概念定义
数学化语言比生活化语言更接近概念实质，但是数学化语言还有待于进一步提炼与总结。上述等式“100+x=100+100+50”为学生提供了方程的范例，通过教师指导下的比较：①它100+x>100+100+50和100+x<100+100+100有什么区别？（它属于等式）②100+x=100+100+50这个等式与我们以前学过的计算等式有什么区别？（它含有未知数）。于是我们可以这样说：像100+x=100+100+50这样含有未知数的等式叫做方程。（教材原话）至此，方程的定义终于闪亮登场，而且水到渠成。
三、基于对象的探析，明确概念要义
在操作与反思阶段，数学概念是落实在过程中的，具有动态的特征，接下来我们要让学生形成静态的概念，把概念所属的对象作为重点来研究以进一步架构概念的要义，这需要关注学生的最近发展区，通过有计划的提问与举例进一步把探究引向深入：
1. 辨析
辨析一列对象是否属于概念所指的对象，有助学生明确概念的要义，从而进一步使概念的内涵逐渐丰富起来。比如让学生辨别“你认为下列几个式子中哪几个属于方程”，在多种不同的算式中，学生可能发现：有一个式子没有等号或者用的是不等号，因为不属于等式，所以不构成方程;有的等式中没有未知数，所以也不是方程;有的等式含有的未知数有两个，一个是x，一个是y，但它也属于含有未知数的等式，所以是方程。
2. 模仿
概念所属的对象有很多，都包括在概念的外延之中，让学生模仿写出更多属于概念的对象并加以辨析，有助于进一步明确概念的外延范围。
3. 变式
上述辨析过程中可能已经涉及方程的变式，比如方程也可以有超过1个的未知数，还可以是分数形式的等式，未知数可以用x来表示，还可以用a表示，甚至可以用Δ来表示……在保留概念本质属性不变的情况下尽可能更换非本质属性，变式训练的方法将使学生对概念要义的把握更为精炼而周到。
四、打造图式的网络，凸显概念功能
经过上述环节，学生会把新学到的概念与原有的心理图式进行整合，逐渐形成新的知识体系。此时，以内在图式的整合为目标，教师的任务在于帮助学生构建相关概念间的联系。
1. 构建纵向联系
概念的纵向联系指的是同一知识框架中思维内容有关联的概念间的联系。比如“任意三角形——等边三角形——等腰三角形”是以边的长度关系来区分的一组三角形的概念，而“直角——锐角——钝角”则是以角的大小来区分的三个角的概念。纵向联系的概念在教学时间上一般较近，也有较远的，比如：“三角形——四边形——多边形”，它们都从属于“线段首尾相连组成的封闭图形”。
构建概念的纵向联系时需要注意联系在形式的区别，否则就可能出现内涵与处延的失误，比如从属于三角形的概念有：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、任意三角形、等腰三角形、正三角形。前三个概念是三角形按角分的结果，而后边三个则是按边长来分的三角形的概念。我们不能把三角形分成上述六类，因为有重叠，另外正三角形只是等腰三角形的一个特例，不能认为他们是互为独立的两个概念。所以我们可以用思维导图表示如下：
2. 拓展横向联系
橫向联系是新概念与不同知识框架内的其它概念间的联系。比如“除法、分数、比”这三个概念，除法代表一种运算，分数代表一个数，而比则是比较两个量的特殊算式，他们不但在数学逻辑上完全不同，而且在具体应用场合也不全相同，但是他们有着重要的联系：比值与分数值在计算时运用的就是除法。所以除法所具有的性质在分数与比中也存在，比如商不变的性质，再比如“被除法与除数交换位置后所得商与原来的商互为倒数”这对分数、比来说也存着同样的对应关系、再比如“数学中没有除法分配律，但是如果把被除数拆成两数之和，那么除法的运算结果等于这两个数分别除以除数所得商之和。这些都可以在分数与比中进行类似拓展。
经过上述纵横联系，概念在头脑中形成的图式就形成了网络，而网络中的概念图式是有序的，它们在数学知识大厦中各就各位、各司其职，便于学习者进行理解、记忆与提取。
综上所述，我们把概念教学从“数学理解”的角度分成四步，其过程可以简要概括为“从生活中感知-从反思中归纳-从探析中明确-从联系中定位”，这四步要解决达到的结果是“见识过了——说得出了——明白了——找得到了。”假如把数学概念体系看作一个平面直角坐标系，每一个数学概念作为坐标系中的一个点，它的属性包括他所在的象限、所对应的纵坐标与横坐标等，如何找到这个特殊的点呢？“见过了”就会有印象，但往往不知道怎么去找，“说得出”可能也认得出，但还是不知道他的位置，“明白了”所在位置的特征也只是获取了寻找这个点的线索，“找得到了”才是真正有价值的结果。
尽管“数学理解”可以为小学数学概念教学注入新鲜血液，然后真正要实现教学的自由、和谐与高效，还需要教师不断深入学习基础数学教学理论，才能引领学生站得更稳、走得更远。
参考文献
[1] 李士琦.数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001.
[2] 林武. 数学概念教学的误区分析及对策研究[J].教育评论.2014（08）.
[3] 王瑞霖，綦春霞，李孝诚 .数学活动理论探求与实践反思[J].数学通报.2012（07） .
【关键词】 小学数学 数学理解 概念教学 操作 反思 图式
什么是“数学理解”？教育学家布鲁纳认为：如果一个数学概念一旦成为个体心理表征网络的一部，那么数学知识就被理解了。这里所谓的“表征”包括动作、表象、书面符号、口头语言与现实情境共五个类别，正是因为学生用不同的表征方式来表达数学概念并实现这些表征方式内部的转化，所以学生就获得了数学理解。据此笔者可以打个比方，假如有学生能够准确画出一个三角形，并在头脑中建立鲜明的表象，而且能用书面符号表示它，能用口语说出他的核心特征，并能在许多图形中准确地指出哪一个是三角形，这就说明他能从不同的知觉通道实现信息的转化，从而形成三角形的认知网络，那么他就完全理解了什么是三角形。
由上可见，从教育心理的角度看，基于数学理解的概念教学就是要建立有关概念的内在心理表征并使之构成能自动转化的网络。而从教学实际来看，就是把握概念的内涵与外延，能从文字角度领会，能举实例来说明，能在实际运用中不断拓展与升华对它的本质认识。从学习的层面分析，数学概念的理解就是要在多元智能理论的基础上，发挥不同智能类型学生的特长，让他们在自己擅长的领域中首先表达对概念的理解，然后又从其它感官通道切入深化理解，最终打通这些不同渠道的理解从而实现对概念的理解。过去我们认为学生对数学概念的理解应该准确划一，而事实上不同的学习个体对概念进行内在心理表征的切入角度不全相同，正是这种差异为相互交流与探究提供了契机，也使得合作学习成为有价值的学习方式。所以基于数学理解的小学数学概念教学需要我们对传统的师生与生生关系进行重新组构，这样才能在与时俱进中实现对陈旧僵化式教学的颠覆。
一、源于生活的操作，感知概念意义
数学概念具有抽象难懂的特点，但它与学生的生活实际紧密相连，所以概念教学的首要环节应该是设置真实的生活情境，让学生从生活情境中感受概念的属性，同时要指导学生动手操作、动脑思考与动口表达，让学生在真实感知的基础上加深认识，为最终形成对概念本质的认识服务。
1. 运用合适的操作材料
教师要根据数学概念所涉及的生活实际选择操作材料，考虑材料是否适合概念教学的需求，所选操作材料必须有一定的可操作性，能在课堂上比较便捷地进行操作，并能在操作中逼近与得出相关数学概念。比如对于乘法的意义——代表几个相同加数的和，教师通过画图呈现3组苹果，每组各5个，让学生由此从加法转化为乘法，然后让学生也同样画一画4组苹果、每组3个，通过对加法的再认识逐步转化而成为乘法运算，但如果不用画图的方式，那最好用小棒来代表苹果，这样操作起来更为方便。可见，操作材料并不一定需要是真实的，也可以是虚拟的，但必须是能便捷地帮助学生达成概念。
2. 选择适宜的操作方式
操作方式的好坏与能否构建概念的意义密切相关，操作方式的选择要有助于调动学生思考的积极性，形成对概念的直观感受。操作方式不仅包括学生动手操作，还包括演示操作以及对图形的观察、比较与具体的计算。上边乘法的意义教学中，教师首先进行演示操作，然后让学生自行画图操作，充分考虑到学生操作的难度而实行由扶到放的策略，这种操作方式显然是可取的。
3. 给以足够的材料与时间
在概念教学过程中，教师要为学生提供充足的操作材料，并给以足够的操作时间，便于学生通过多方面思考达成对概念的比较全面的感知与比较充分的理解。
4. 布置恰当的操作任
操作任务的布置要考虑到学生的知识与能力水平，过高与过低的要求都会影响学生参与的积极性。操作任务必须以概念学习为中心，不能搞花架子，走形式主义。
二、立足过程的反思，形成概念定义
学生围绕概念意义进行的生活化操作只能获取感性经验，要想使感性经验理性化，那就必须进行积极的自主建构，经过反思最终形成概念。
1. 用生活化语言描述操
教师设计一些梯度性的问题引导学生思考，让学生用生活化语言对操作过程的感性认识进行描述与反思，有助于形成对数学概念的多角度体验。比如在部编版《解简易方程》的教学中，为了帮助学生建立方程的概念，教材提供了一些操作图片，教师可以让学生结合图片观察，再观察教师的演示操作，然后用生活化的语言描述：杯子的重量是100克;一杯水的总重量与两个大砝码和一个小砝码的总重量相同;小砝码重50克，一个大砝码重100克;杯子与水的总重量比两个大砝码要重，比三个大砝码要轻……这些描述与方程似乎风牛马不相及，而且杂乱无章，但已经为学生从生活中抽象出方程概念提供了比较、分析的基础。
2. 用数学化语言抽象操作
生活化语言是一种原生态的经验性语言，不一定符合数学语言的要求，让学生将刚才对操作过程进行的描述与反思再进一步加工，就可能形成相对规范的数学化语言，从而为抽象出数学概念打下基础。比如经过上述语言表述，从中发现存在如下关系：杯子与水的总重量比两个大砝码要重;杯子与水的总重量比三个大砝码要轻;一杯水的总重量与两个大砝码加上一个小砝码的总重量相同。如果设水的重量为x克，那么就可以得出：100+x>100+100+50;100+x<100+100+100;100+x=100+100+50。這样就通过数学符号实现了对生活化语言的数学转换，而且这里已经出现了不等式与方程，为最终方程概念的建立打下了基础。 3. 提炼形成概念定义
数学化语言比生活化语言更接近概念实质，但是数学化语言还有待于进一步提炼与总结。上述等式“100+x=100+100+50”为学生提供了方程的范例，通过教师指导下的比较：①它100+x>100+100+50和100+x<100+100+100有什么区别？（它属于等式）②100+x=100+100+50这个等式与我们以前学过的计算等式有什么区别？（它含有未知数）。于是我们可以这样说：像100+x=100+100+50这样含有未知数的等式叫做方程。（教材原话）至此，方程的定义终于闪亮登场，而且水到渠成。
三、基于对象的探析，明确概念要义
在操作与反思阶段，数学概念是落实在过程中的，具有动态的特征，接下来我们要让学生形成静态的概念，把概念所属的对象作为重点来研究以进一步架构概念的要义，这需要关注学生的最近发展区，通过有计划的提问与举例进一步把探究引向深入：
1. 辨析
辨析一列对象是否属于概念所指的对象，有助学生明确概念的要义，从而进一步使概念的内涵逐渐丰富起来。比如让学生辨别“你认为下列几个式子中哪几个属于方程”，在多种不同的算式中，学生可能发现：有一个式子没有等号或者用的是不等号，因为不属于等式，所以不构成方程;有的等式中没有未知数，所以也不是方程;有的等式含有的未知数有两个，一个是x，一个是y，但它也属于含有未知数的等式，所以是方程。
2. 模仿
概念所属的对象有很多，都包括在概念的外延之中，让学生模仿写出更多属于概念的对象并加以辨析，有助于进一步明确概念的外延范围。
3. 变式
上述辨析过程中可能已经涉及方程的变式，比如方程也可以有超过1个的未知数，还可以是分数形式的等式，未知数可以用x来表示，还可以用a表示，甚至可以用Δ来表示……在保留概念本质属性不变的情况下尽可能更换非本质属性，变式训练的方法将使学生对概念要义的把握更为精炼而周到。
四、打造图式的网络，凸显概念功能
经过上述环节，学生会把新学到的概念与原有的心理图式进行整合，逐渐形成新的知识体系。此时，以内在图式的整合为目标，教师的任务在于帮助学生构建相关概念间的联系。
1. 构建纵向联系
概念的纵向联系指的是同一知识框架中思维内容有关联的概念间的联系。比如“任意三角形——等边三角形——等腰三角形”是以边的长度关系来区分的一组三角形的概念，而“直角——锐角——钝角”则是以角的大小来区分的三个角的概念。纵向联系的概念在教学时间上一般较近，也有较远的，比如：“三角形——四边形——多边形”，它们都从属于“线段首尾相连组成的封闭图形”。
构建概念的纵向联系时需要注意联系在形式的区别，否则就可能出现内涵与处延的失误，比如从属于三角形的概念有：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、任意三角形、等腰三角形、正三角形。前三个概念是三角形按角分的结果，而后边三个则是按边长来分的三角形的概念。我们不能把三角形分成上述六类，因为有重叠，另外正三角形只是等腰三角形的一个特例，不能认为他们是互为独立的两个概念。所以我们可以用思维导图表示如下：
2. 拓展横向联系
橫向联系是新概念与不同知识框架内的其它概念间的联系。比如“除法、分数、比”这三个概念，除法代表一种运算，分数代表一个数，而比则是比较两个量的特殊算式，他们不但在数学逻辑上完全不同，而且在具体应用场合也不全相同，但是他们有着重要的联系：比值与分数值在计算时运用的就是除法。所以除法所具有的性质在分数与比中也存在，比如商不变的性质，再比如“被除法与除数交换位置后所得商与原来的商互为倒数”这对分数、比来说也存着同样的对应关系、再比如“数学中没有除法分配律，但是如果把被除数拆成两数之和，那么除法的运算结果等于这两个数分别除以除数所得商之和。这些都可以在分数与比中进行类似拓展。
经过上述纵横联系，概念在头脑中形成的图式就形成了网络，而网络中的概念图式是有序的，它们在数学知识大厦中各就各位、各司其职，便于学习者进行理解、记忆与提取。
综上所述，我们把概念教学从“数学理解”的角度分成四步，其过程可以简要概括为“从生活中感知-从反思中归纳-从探析中明确-从联系中定位”，这四步要解决达到的结果是“见识过了——说得出了——明白了——找得到了。”假如把数学概念体系看作一个平面直角坐标系，每一个数学概念作为坐标系中的一个点，它的属性包括他所在的象限、所对应的纵坐标与横坐标等，如何找到这个特殊的点呢？“见过了”就会有印象，但往往不知道怎么去找，“说得出”可能也认得出，但还是不知道他的位置，“明白了”所在位置的特征也只是获取了寻找这个点的线索，“找得到了”才是真正有价值的结果。
尽管“数学理解”可以为小学数学概念教学注入新鲜血液，然后真正要实现教学的自由、和谐与高效，还需要教师不断深入学习基础数学教学理论，才能引领学生站得更稳、走得更远。
参考文献
[1] 李士琦.数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001.
[2] 林武. 数学概念教学的误区分析及对策研究[J].教育评论.2014（08）.
[3] 王瑞霖，綦春霞，李孝诚 .数学活动理论探求与实践反思[J].数学通报.2012（07） .