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【摘 要】统计与概率教学是初中数学教学中的一个重要环节，生活中也处处出现与统计和概率的问题，也是中考中必考的内容之一。
【关键词】统计 概率
某省２０１０年中考数学试题第２１题是对“统计与概率”的考查，题目如下，我从批阅全县约１５０００份考卷的体会来对考生在该题的完卷情况作统计分析，并从中得出启示，以促进初中“统计与概率”的教育及教学。
题目：上海世博会门票价格如下表所示：
门票价格一览表：
某旅行社准备了１３００元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张。
（１）有多少种购票方案？列举所有可能结果。（２）如果从上述方案中任意选中一种方案购票，求恰好选到１１张门票的概率。
简析：本题的第（１）问有多种解决方法。综合学生的解答，列出如下三种解答方法：
方法一：枚举法，有如下６种购票方案。
方法二：设购买指定日普通票ｘ张，购买平日优惠票ｙ张，且ｘ、ｙ为正整数。所以有２００ｘ＋１００ｙ＝１３００，其正整数解有６组，故有６种购票方案，从而解决本题。
方法三：设购买指定日普通票ｘ张，ｘ为正整数，则购买平日优惠票＝１３－２ｘ张。所以有ｘ≥１１３－２ｘ≥１，解得１≤ｘ≤６，所以ｘ＝１，２，３，４，５，６，故有６种购票方案。
一、对考生完题情况的分析
对某县约１５０００份第２１题考生完题情况做个大体的数据分析：有约７０％的考生会做该题，但得满１２分的考生仅约有４０％；也就是说约３０％的学生会做此题但没能得满１２分，这部分考生在该题的得分大部分集中在６到１０分之间，这部分学生没得满分的原因可归结为两个方面：一是在解答第一问“列举所有可能结果”时，列举结果的表达方式不正确，没有体现出每一个“结果”是配对关系或说是序对关系。出现的错误列举方式比如有：１，１１；２，９；３，７；４，５；５，３；６，１（考生没有指明前一个数字表示普通票张数，后一个数字表示优惠票张数）。二是在回答第二问“求恰好选到１１张门票的概率”时，没有做必须的理由阐释，解答文字提到“选到每种方案的可能性相等”的学生几乎没有，这说明学生没有领悟到“等可能性”的意义和价值。从本题学生的得分均值来看，本题的难度约为０．７，题目不难。从本题得分分布来看，考生的成绩呈正态分布，该题有较好的信度与效度。
二、对初中“统计与概率”教学的启示
义务教育阶段“统计与概率”的教学要求与建议，《初中数学课程课标（试验稿）》作出了明确的指导。课标对该内容的处理经历了由（１－３年级）体验、感知到（４－６年级）经历、计算再到（７－９年级）初步实际运用与分析三大阶段。对于初中阶段“统计与概率”的学习，学生不仅要能读懂简单的统计图表，而且要能自己制作合理的统计图表；能运用列举法（列表，树状图）计算简单事件发生的概率，并阐述自己的理由等。本题是对课标要求的完美体现，结合本题考生的得失，有以下几点启示：
１．加强统计图表的教学。
对于统计的教学，除了课标中谈到的要求外，结合教学实际，要让学生思考为什么要作图表，作什么样的图表，怎么作图表，图表有什么特征，图表之间有无区别和联系，该选择什么样的图表等等问题。从考生答题情况来看，学生对统计图表的掌握还不到位，对图表的特征、性能等方面的理解有待进一步加深。
２．重视“简单事件发生概率”的分析。
求“简单事件发生的概率”对初中生来说是个难点，即便是高中生在碰到此类问题时也常含糊其辞说不清楚。它难并不是说学生就掌握不了，对于初中生来说完全可以去理解它，这就要求我们老师在教学中要多耐心、多创新。在试验结果的列举方式方法上，在试验结果的等可能性等方面上要多分析、细分析，要多举例子，举好例子。如投掷单只骰子，研究不同面朝上的等可能性问题；在商场里进行的投掷飞镖中礼品游戏的非等可能性问题；一个袋子中装有１０个完全相同的球，将球编号０～９，摇匀，从中任取一球的机会等可能性问题等．老师要有意识地领着学生去分析试验结果的等可能性，合理划分试验结果。对于一些常见的易混淆的问题要针对性地予以讨论：如转动一个自由转动的转盘，当转盘停止转动时，指针指向的位置会有无穷多个可能结果，它们是等可能的；用一个天平称物时的误差，这个试验的结果就有无限多个，这些结果不具有等可能性；Ａ、Ｂ两地之间的电缆有一处断点，断点会出现在Ａ、Ｂ两地之间电缆的任一点，可以认为出现在各点的可能性相同；某射手打靶试验，“中靶”与“脱靶”一般不是等可能的。要通过问题教学培养学生辨别等可能性问题的意识和能力，同时还要理解学生的思维，剖析其思维的得失，要不断开发学生的统计与概率思维，提高分析问题的能力，对现实生活中遇到的随机现象问题，要鼓励学生亲身去辨别简单事件发生的等可能性。
以上是对考生在此题中表现的不足方面所作的述评，发现了两个大的问题，小结了两点启示供大家参考。现实世界中存在着大量的随机现象，认识它们可以帮助我们更好的认识世界，做出决策。概率与统计的初步知识作为一种基本数学素养引入中小学课程体系，已经成为国内外数学课程改革的一个趋势；学会处理各种信息尤其是数字信息，具有收集、整理与分析信息的能力已经成为数字社会公民基本素养重要组成部分。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】统计 概率
某省２０１０年中考数学试题第２１题是对“统计与概率”的考查，题目如下，我从批阅全县约１５０００份考卷的体会来对考生在该题的完卷情况作统计分析，并从中得出启示，以促进初中“统计与概率”的教育及教学。
题目：上海世博会门票价格如下表所示：
门票价格一览表：
某旅行社准备了１３００元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张。
（１）有多少种购票方案？列举所有可能结果。（２）如果从上述方案中任意选中一种方案购票，求恰好选到１１张门票的概率。
简析：本题的第（１）问有多种解决方法。综合学生的解答，列出如下三种解答方法：
方法一：枚举法，有如下６种购票方案。
方法二：设购买指定日普通票ｘ张，购买平日优惠票ｙ张，且ｘ、ｙ为正整数。所以有２００ｘ＋１００ｙ＝１３００，其正整数解有６组，故有６种购票方案，从而解决本题。
方法三：设购买指定日普通票ｘ张，ｘ为正整数，则购买平日优惠票＝１３－２ｘ张。所以有ｘ≥１１３－２ｘ≥１，解得１≤ｘ≤６，所以ｘ＝１，２，３，４，５，６，故有６种购票方案。
一、对考生完题情况的分析
对某县约１５０００份第２１题考生完题情况做个大体的数据分析：有约７０％的考生会做该题，但得满１２分的考生仅约有４０％；也就是说约３０％的学生会做此题但没能得满１２分，这部分考生在该题的得分大部分集中在６到１０分之间，这部分学生没得满分的原因可归结为两个方面：一是在解答第一问“列举所有可能结果”时，列举结果的表达方式不正确，没有体现出每一个“结果”是配对关系或说是序对关系。出现的错误列举方式比如有：１，１１；２，９；３，７；４，５；５，３；６，１（考生没有指明前一个数字表示普通票张数，后一个数字表示优惠票张数）。二是在回答第二问“求恰好选到１１张门票的概率”时，没有做必须的理由阐释，解答文字提到“选到每种方案的可能性相等”的学生几乎没有，这说明学生没有领悟到“等可能性”的意义和价值。从本题学生的得分均值来看，本题的难度约为０．７，题目不难。从本题得分分布来看，考生的成绩呈正态分布，该题有较好的信度与效度。
二、对初中“统计与概率”教学的启示
义务教育阶段“统计与概率”的教学要求与建议，《初中数学课程课标（试验稿）》作出了明确的指导。课标对该内容的处理经历了由（１－３年级）体验、感知到（４－６年级）经历、计算再到（７－９年级）初步实际运用与分析三大阶段。对于初中阶段“统计与概率”的学习，学生不仅要能读懂简单的统计图表，而且要能自己制作合理的统计图表；能运用列举法（列表，树状图）计算简单事件发生的概率，并阐述自己的理由等。本题是对课标要求的完美体现，结合本题考生的得失，有以下几点启示：
１．加强统计图表的教学。
对于统计的教学，除了课标中谈到的要求外，结合教学实际，要让学生思考为什么要作图表，作什么样的图表，怎么作图表，图表有什么特征，图表之间有无区别和联系，该选择什么样的图表等等问题。从考生答题情况来看，学生对统计图表的掌握还不到位，对图表的特征、性能等方面的理解有待进一步加深。
２．重视“简单事件发生概率”的分析。
求“简单事件发生的概率”对初中生来说是个难点，即便是高中生在碰到此类问题时也常含糊其辞说不清楚。它难并不是说学生就掌握不了，对于初中生来说完全可以去理解它，这就要求我们老师在教学中要多耐心、多创新。在试验结果的列举方式方法上，在试验结果的等可能性等方面上要多分析、细分析，要多举例子，举好例子。如投掷单只骰子，研究不同面朝上的等可能性问题；在商场里进行的投掷飞镖中礼品游戏的非等可能性问题；一个袋子中装有１０个完全相同的球，将球编号０～９，摇匀，从中任取一球的机会等可能性问题等．老师要有意识地领着学生去分析试验结果的等可能性，合理划分试验结果。对于一些常见的易混淆的问题要针对性地予以讨论：如转动一个自由转动的转盘，当转盘停止转动时，指针指向的位置会有无穷多个可能结果，它们是等可能的；用一个天平称物时的误差，这个试验的结果就有无限多个，这些结果不具有等可能性；Ａ、Ｂ两地之间的电缆有一处断点，断点会出现在Ａ、Ｂ两地之间电缆的任一点，可以认为出现在各点的可能性相同；某射手打靶试验，“中靶”与“脱靶”一般不是等可能的。要通过问题教学培养学生辨别等可能性问题的意识和能力，同时还要理解学生的思维，剖析其思维的得失，要不断开发学生的统计与概率思维，提高分析问题的能力，对现实生活中遇到的随机现象问题，要鼓励学生亲身去辨别简单事件发生的等可能性。
以上是对考生在此题中表现的不足方面所作的述评，发现了两个大的问题，小结了两点启示供大家参考。现实世界中存在着大量的随机现象，认识它们可以帮助我们更好的认识世界，做出决策。概率与统计的初步知识作为一种基本数学素养引入中小学课程体系，已经成为国内外数学课程改革的一个趋势；学会处理各种信息尤其是数字信息，具有收集、整理与分析信息的能力已经成为数字社会公民基本素养重要组成部分。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文