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【摘要】本文通过对一节探究课：探究“边边角”在部分条件下证明三角形全等进行了反思，认为探究课的设计应该适应学生的知识生成，设计的探究内容应该是学生切实可行的，并且探究课应该把探究落在实处，这样才能让探究性综合实践课发挥其培养学生核心素养的价值。
【关键词】探究性综合实践课 核心素养 小组合作模式 分类讨论思想 思维导图
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）32-0102-02
对于满足“边边角”的两个三角形在什么条件下能够全等的问题，很多老师都做过研究，本文就是在之前的研究基础上，从学生的认知出发，综合对比多种研究方式的优缺点，得到的一种新的探究方法。
一、研究背景、制定探究思路
对于“边边角”在哪些条件下能够证明两个三角形全等的问题，现在主要有两种研究方式：第一种是先按三角形的形状进行分类，再按相等的角进行分类；第二种是先按相等的角进行分类，再按三角形的形状进行分类。在各种版本的教材中，对于这个问题的处理，大多数都是在给出“SAS”这个判定定理之后，列举出“SSA”不能证明三角形全等三角形》这一反例，从而说明“SSA”不能作为三角形全等的判定定理。沪教版七年级下册，以小阅读的方式，从作图的角度对这个问题进行了探究。
在综合考量了以上探究方式之后，笔者认为，给学生设计的探究思路应该是顺应学生的知识生成的，让学生从已有学习经验中找到探究新知识的方法。所以我们选择让学生从作图出发，按照相等的角进行分类，从作图中发现问题，不断完善，完成本节课的探究。
二、激发兴趣、选择课题引入
兴趣是学习动力的来源，激起学生探究的兴趣，才能为本节课开一个好头，为此本节课首先用几何画板做了一个模型。先让学生观察“HL”定理证明两个直角三角形全等的情况，让学生明确，“HL”就是当相等的角为直角时，“边边角”成立的特例。这样学生能树立探究的信心，愉快的开始今天的探究。
之后通过拖动点C，让学生发现，此时会出现两个满足“SSA”却不全等的三角形。让学生感受到，相等的角所在的三角形的形状不唯一，就是导致“SSA”不能证明两个三角形全等的原因，所以我们可以对相等的角进行分类，进行接下来的探究。
三、合作探究、自主得到新知
有了探究的方向，学生可能还是会无所下手，所以我们还应该给学生设计可操作的探究任务，让学生把探究落在实处，去感受用已经学过的知识探究新的问题的成功。
所以引导学生回忆已经学习过的五个三角形全等的判定定理，分别是“SSS、SAS、ASA、AAS、HL”。而这些判定定理都是按照作图、猜想、推理论证的步骤探究得到的，所以我们不妨类比于此进行探究，先给每个小组布置探究作图任务。由于作图方法在之前的学习过程中已经学习过了，所以这个探究任务对学生来说是可操作的，也是可以通过小组合作完成的。
探究作图任务：已知△ABC，请作出△A'B'C'，使得A'B'=AB，A'C'=AC，∠C'=∠C.
学生通过小组合作探究，首先能得到以下两种结果：
1.相等的角为钝角的情况
此时做出来的图形是唯一的，所以猜想这两个三角形全等。
2.相等的角为锐角的锐角三角形情况
此时做出一个锐角三角形和一个钝角三角形，猜想锐角三角形是和原图形全等的，而钝角三角形与原图形是一定不全等的。
鉴于学生的探究结果并不完整，所以继续引导学生思考，当相等的角为锐角时，还应该有直角三角形和钝角三角形的情况，于是让学生再进行一次探究。
学生继续通过小组合作探究，得到以下的五种结果：
3.相等的角为锐角的直角三角形情况
这两种情况画出的三角形和原三角形都是全等的，但此时其实已经有四组相等的条件了，并且要引导学生观察发现这两种情况是不一样的：第一种情况相等的边是一组斜边一组直角边；第二种情况相等的边是两组直角边。
4.相等的角为锐角的钝角三角形情况
①此时也能作出两种图形，一种猜想和原图形是全等的，而另一种情况和原图形是一定不全等的。
②此时作出的图形是唯一的，猜想所作的三角形和原图形是全等的。
至此就把我们作图任务里的所以结果都探究出来了。接着引导学生对以上猜想全等的情况，进行理论上的论证，而这个过程实际上就是学生对全等三角形判定定理的一个直角应用了。
①相等的角为钝角
证明：如图，分别过点A、A'作AD⊥BC交BC的延长线于点D，A'D'⊥B'C'交 B'C'的延长线于点D'，
先证明：△ ADC≌△ A'D'C'（AAS）得到：AD=A'D'
再证明：Rt△ ADB≌Rt△ A'D'B'（HL）
得到：∠B=∠B'
最后证：△ ABC≌△ A'B'C'（AAS）.
②相等的角为锐角的锐角三角形
证明：如图，分别过点A、A'作AD⊥BC交BC于点D，
A'D'⊥B'C'交 B'C'于点D'，
先证明：△ADC≌△A'D'C'（AAS）得到：AD=A'D'
再证明：Rt△ADB≌Rt△A'D'B'（HL）
得到：∠B=∠B'
最后证：△ABC≌△A'B'C'（AAS）.
其他几种情况的辅助线做法和证明过程也是一样的。
引导学生对辅助线的作法进行总结：都是对着相等的角在第三组边（没有对应相等的边）上作高。而之所以要作高，实际上就是为了构造直角三角形，因为在前面用几何画板已经演示过了，只有垂直的时候所做出来的图形才是唯一的。
我们从“HL”的情况出发对一般情况进行了探究，而论证的过程中又化归到了“HL”的核心图形，这就是数学里面从特殊到一般，又化归为特殊的数学思想。
至此我们对本节课的探究结果进行一个归纳：
结论1：两个三角形满足“边边角”，当相等的角为直角或者钝角时，这两个三角形全等。
结论2：两个三角形满足“边边角”，当相等的角为锐角，且另一对应相等的边所对的角为同一类型的角时，这两个三角形全等。
三、思维导图、碰撞思维火花
本节课我们采用思维导图的方式进行小结，先让学生自己尝试着画思维导图，这样能很快的发现学生的障碍在哪里，还有哪些需要完善的地方，之后在学生所画的思维导图的基础上进行完善和总结：
四、深入思考、感悟获得提升
在数学核心素养被提出来之后，很多老师都有过这样的困惑，如何在平时的教学中培养学生的数学核心素养呢？观望我们目前的教学模式，大多数还是以老师的教为主，学生被动的接受知识。为了应试，很多老师也不注重知识的生成，只注重大量的做题，所以学生对很多知识都是知其然而不知其所以然，更不谈数学思维了。
所以本节课的设计，就是试图改变这种情况，希望学生通过本节课的学习，能够学会探究学习的方法，在今后的学习过程中，会用已有的数学知识和技能方法去探究新的知识。当然这种情况也不是一节课、两节课能够改变的，本节课也还存在着很多的问题，但我们认为，只要老师愿意去学习、去思考、去改变、去进步，我们的教学就一定能发生相应的变化，我们的孩子才能最终获得数学核心素养的培养，发挥数学教学的作用。
参考文献：
[1]陈德前.满足“SSA”的两个三角形全等吗？[J].中学生数理化：初中学生版，2014（7/8）9-10.
[2]陶家友.“错误”岂能“錯过”，“跌宕起伏”成就精彩[J].中学数学：初中版，2012（6）73-74.
[3]徐成祥.追根溯源找错因 实验探究出真知——以“满足‘边边角’的两个三角形何时全等”数学活动为例[J].中学数学参考：初中版，2015（5中旬）14-16.
[4]东尼·博赞.叶刚.思维导图系列丛书.中信出版社.2009.
【关键词】探究性综合实践课 核心素养 小组合作模式 分类讨论思想 思维导图
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）32-0102-02
对于满足“边边角”的两个三角形在什么条件下能够全等的问题，很多老师都做过研究，本文就是在之前的研究基础上，从学生的认知出发，综合对比多种研究方式的优缺点，得到的一种新的探究方法。
一、研究背景、制定探究思路
对于“边边角”在哪些条件下能够证明两个三角形全等的问题，现在主要有两种研究方式：第一种是先按三角形的形状进行分类，再按相等的角进行分类；第二种是先按相等的角进行分类，再按三角形的形状进行分类。在各种版本的教材中，对于这个问题的处理，大多数都是在给出“SAS”这个判定定理之后，列举出“SSA”不能证明三角形全等三角形》这一反例，从而说明“SSA”不能作为三角形全等的判定定理。沪教版七年级下册，以小阅读的方式，从作图的角度对这个问题进行了探究。
在综合考量了以上探究方式之后，笔者认为，给学生设计的探究思路应该是顺应学生的知识生成的，让学生从已有学习经验中找到探究新知识的方法。所以我们选择让学生从作图出发，按照相等的角进行分类，从作图中发现问题，不断完善，完成本节课的探究。
二、激发兴趣、选择课题引入
兴趣是学习动力的来源，激起学生探究的兴趣，才能为本节课开一个好头，为此本节课首先用几何画板做了一个模型。先让学生观察“HL”定理证明两个直角三角形全等的情况，让学生明确，“HL”就是当相等的角为直角时，“边边角”成立的特例。这样学生能树立探究的信心，愉快的开始今天的探究。
之后通过拖动点C，让学生发现，此时会出现两个满足“SSA”却不全等的三角形。让学生感受到，相等的角所在的三角形的形状不唯一，就是导致“SSA”不能证明两个三角形全等的原因，所以我们可以对相等的角进行分类，进行接下来的探究。
三、合作探究、自主得到新知
有了探究的方向，学生可能还是会无所下手，所以我们还应该给学生设计可操作的探究任务，让学生把探究落在实处，去感受用已经学过的知识探究新的问题的成功。
所以引导学生回忆已经学习过的五个三角形全等的判定定理，分别是“SSS、SAS、ASA、AAS、HL”。而这些判定定理都是按照作图、猜想、推理论证的步骤探究得到的，所以我们不妨类比于此进行探究，先给每个小组布置探究作图任务。由于作图方法在之前的学习过程中已经学习过了，所以这个探究任务对学生来说是可操作的，也是可以通过小组合作完成的。
探究作图任务：已知△ABC，请作出△A'B'C'，使得A'B'=AB，A'C'=AC，∠C'=∠C.
学生通过小组合作探究，首先能得到以下两种结果：
1.相等的角为钝角的情况
此时做出来的图形是唯一的，所以猜想这两个三角形全等。
2.相等的角为锐角的锐角三角形情况
此时做出一个锐角三角形和一个钝角三角形，猜想锐角三角形是和原图形全等的，而钝角三角形与原图形是一定不全等的。
鉴于学生的探究结果并不完整，所以继续引导学生思考，当相等的角为锐角时，还应该有直角三角形和钝角三角形的情况，于是让学生再进行一次探究。
学生继续通过小组合作探究，得到以下的五种结果：
3.相等的角为锐角的直角三角形情况
这两种情况画出的三角形和原三角形都是全等的，但此时其实已经有四组相等的条件了，并且要引导学生观察发现这两种情况是不一样的：第一种情况相等的边是一组斜边一组直角边；第二种情况相等的边是两组直角边。
4.相等的角为锐角的钝角三角形情况
①此时也能作出两种图形，一种猜想和原图形是全等的，而另一种情况和原图形是一定不全等的。
②此时作出的图形是唯一的，猜想所作的三角形和原图形是全等的。
至此就把我们作图任务里的所以结果都探究出来了。接着引导学生对以上猜想全等的情况，进行理论上的论证，而这个过程实际上就是学生对全等三角形判定定理的一个直角应用了。
①相等的角为钝角
证明：如图，分别过点A、A'作AD⊥BC交BC的延长线于点D，A'D'⊥B'C'交 B'C'的延长线于点D'，
先证明：△ ADC≌△ A'D'C'（AAS）得到：AD=A'D'
再证明：Rt△ ADB≌Rt△ A'D'B'（HL）
得到：∠B=∠B'
最后证：△ ABC≌△ A'B'C'（AAS）.
②相等的角为锐角的锐角三角形
证明：如图，分别过点A、A'作AD⊥BC交BC于点D，
A'D'⊥B'C'交 B'C'于点D'，
先证明：△ADC≌△A'D'C'（AAS）得到：AD=A'D'
再证明：Rt△ADB≌Rt△A'D'B'（HL）
得到：∠B=∠B'
最后证：△ABC≌△A'B'C'（AAS）.
其他几种情况的辅助线做法和证明过程也是一样的。
引导学生对辅助线的作法进行总结：都是对着相等的角在第三组边（没有对应相等的边）上作高。而之所以要作高，实际上就是为了构造直角三角形，因为在前面用几何画板已经演示过了，只有垂直的时候所做出来的图形才是唯一的。
我们从“HL”的情况出发对一般情况进行了探究，而论证的过程中又化归到了“HL”的核心图形，这就是数学里面从特殊到一般，又化归为特殊的数学思想。
至此我们对本节课的探究结果进行一个归纳：
结论1：两个三角形满足“边边角”，当相等的角为直角或者钝角时，这两个三角形全等。
结论2：两个三角形满足“边边角”，当相等的角为锐角，且另一对应相等的边所对的角为同一类型的角时，这两个三角形全等。
三、思维导图、碰撞思维火花
本节课我们采用思维导图的方式进行小结，先让学生自己尝试着画思维导图，这样能很快的发现学生的障碍在哪里，还有哪些需要完善的地方，之后在学生所画的思维导图的基础上进行完善和总结：
四、深入思考、感悟获得提升
在数学核心素养被提出来之后，很多老师都有过这样的困惑，如何在平时的教学中培养学生的数学核心素养呢？观望我们目前的教学模式，大多数还是以老师的教为主，学生被动的接受知识。为了应试，很多老师也不注重知识的生成，只注重大量的做题，所以学生对很多知识都是知其然而不知其所以然，更不谈数学思维了。
所以本节课的设计，就是试图改变这种情况，希望学生通过本节课的学习，能够学会探究学习的方法，在今后的学习过程中，会用已有的数学知识和技能方法去探究新的知识。当然这种情况也不是一节课、两节课能够改变的，本节课也还存在着很多的问题，但我们认为，只要老师愿意去学习、去思考、去改变、去进步，我们的教学就一定能发生相应的变化，我们的孩子才能最终获得数学核心素养的培养，发挥数学教学的作用。
参考文献：
[1]陈德前.满足“SSA”的两个三角形全等吗？[J].中学生数理化：初中学生版，2014（7/8）9-10.
[2]陶家友.“错误”岂能“錯过”，“跌宕起伏”成就精彩[J].中学数学：初中版，2012（6）73-74.
[3]徐成祥.追根溯源找错因 实验探究出真知——以“满足‘边边角’的两个三角形何时全等”数学活动为例[J].中学数学参考：初中版，2015（5中旬）14-16.
[4]东尼·博赞.叶刚.思维导图系列丛书.中信出版社.2009.