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广东中山桂山中学 528463
摘要:不等式的证明,已经成为数学竞赛的热点内容之一. 很多文章都阐述了证明不等式的方法,且那些方法都非常巧妙,但笔者另辟蹊径,利用Jensen不等式来证明不等式.
关键词:Jensen不等式;证明
在利用Jensen不等式来证明不等式之前,我们先由数学分析引入如下两个定理.
定理1 二阶可导函数f(x)为区间I上的凸(凹)函数的充要条件是f ″(x)≥0(f ″(x)≤0).
定理2 (Jensen不等式)若f(x)为[a,b]上的凸函数,对任意xi∈[a,b],λi>0(i=1,2,…,n),且λi=1,
则f
xiλi≤λif(xi).
特别地,当λi=时,f
xi≤·f(xi).
下面利用Jensen不等式证明不等式.
[⇩]证明整式不等式
例1 设xk>0(k=1,2,…,n),x1+x2+…+xn=1,p∈N*,p≥2.
求证:x+x+…+x≥n1-p.
证明 设函数f(x)=xp(00,所以,f(x)在(0,1)上为凸函数.
由Jensen不等式f
[⇩]证明分式不等式
例2 设a1,a2,…,an>0,n≥2,且a1+a2+…+an=1.
求证:++…+≥.
证明 设f(x)=(00,所以f(x)在(0,1)上为凸函数.
由Jensen不等式 f
例3 若ai>0(i=1,2,…,n,n≥2),且ai=s(s为正数).
求证:≥(其中k为常数,且k为正整数).
证明 设f(x)=(00,所以f(x)在(0,s)上为凸函数.
由Jensen不等式f
由例3同理可证例4.
例4 若0 求证:≥(其中k为常数,且k为正整数).
例5 (第47届波兰数学奥林匹克第二轮)设a,b,c>0,且a+b+c=1.
求证:++≤.
证明 设f(x)=(0 因为0 由Jensen不等式得f
≥(f(a)+f(b)+f(c)),
例6 (第二届北方数学奥林匹克)已知正数a,b,c满足a+b+c=3.
求证:++≤5.
证明方法同例5,证明略.
[⇩]证明无理不等式
例7 设xk>0(k=1,2,…,n),且x1+x2+…+xn=1.
求证:++…+≥n.
证明 设f(x)=(0 所以f ′(x)=,
f ″(x)=,
因为00,所以f(x)在(0,1)上为凸函数.
由Jensen不等式
例8 设ai>0(i=1,2,…,n)且ai=1.
求证:
1+≥(n+1)n.
证明 原不等式等价于
ln
1+≥nln(1+n).
设f(x)=ln
1+(0 所以f ′(x)=,
f ″(x)=,
因为00,所以f(x)在(0,1)上为凸函数.
由Jensen不等式
1+≥nln(1+n)成立,从而原不等式成立.
例9 (Klamkin不等式)设ai>0(i=1,2,…,n)且ai=1.
+n,从而原不等式成立.
例10 若x,y,z是正数,且x+y+z=1.
例11 设ai>0(i=1,2,…,n)且ai=1.
求证:≥
例12 设ai>0(i=1,2,…,n)且ai=1, k∈N*.
求证:aik
+≥nk
不等式,然后构造函数,并判断函数的凸凹性,最后用Jensen不等式证明.
从上述例题可以看出,利用Jensen不等式证明不等式,思路清晰,技巧性少,便于操作,显然是证明不等式的一种较好的方法.
摘要:不等式的证明,已经成为数学竞赛的热点内容之一. 很多文章都阐述了证明不等式的方法,且那些方法都非常巧妙,但笔者另辟蹊径,利用Jensen不等式来证明不等式.
关键词:Jensen不等式;证明
在利用Jensen不等式来证明不等式之前,我们先由数学分析引入如下两个定理.
定理1 二阶可导函数f(x)为区间I上的凸(凹)函数的充要条件是f ″(x)≥0(f ″(x)≤0).
定理2 (Jensen不等式)若f(x)为[a,b]上的凸函数,对任意xi∈[a,b],λi>0(i=1,2,…,n),且λi=1,
则f
xiλi≤λif(xi).
特别地,当λi=时,f
xi≤·f(xi).
下面利用Jensen不等式证明不等式.
[⇩]证明整式不等式
例1 设xk>0(k=1,2,…,n),x1+x2+…+xn=1,p∈N*,p≥2.
求证:x+x+…+x≥n1-p.
证明 设函数f(x)=xp(0
由Jensen不等式f
[⇩]证明分式不等式
例2 设a1,a2,…,an>0,n≥2,且a1+a2+…+an=1.
求证:++…+≥.
证明 设f(x)=(0
由Jensen不等式 f
例3 若ai>0(i=1,2,…,n,n≥2),且ai=s(s为正数).
求证:≥(其中k为常数,且k为正整数).
证明 设f(x)=(0
由Jensen不等式f
由例3同理可证例4.
例4 若0
例5 (第47届波兰数学奥林匹克第二轮)设a,b,c>0,且a+b+c=1.
求证:++≤.
证明 设f(x)=(0
≥(f(a)+f(b)+f(c)),
例6 (第二届北方数学奥林匹克)已知正数a,b,c满足a+b+c=3.
求证:++≤5.
证明方法同例5,证明略.
[⇩]证明无理不等式
例7 设xk>0(k=1,2,…,n),且x1+x2+…+xn=1.
求证:++…+≥n.
证明 设f(x)=(0
f ″(x)=,
因为0
由Jensen不等式
例8 设ai>0(i=1,2,…,n)且ai=1.
求证:
1+≥(n+1)n.
证明 原不等式等价于
ln
1+≥nln(1+n).
设f(x)=ln
1+(0
f ″(x)=,
因为0
由Jensen不等式
1+≥nln(1+n)成立,从而原不等式成立.
例9 (Klamkin不等式)设ai>0(i=1,2,…,n)且ai=1.
+n,从而原不等式成立.
例10 若x,y,z是正数,且x+y+z=1.
例11 设ai>0(i=1,2,…,n)且ai=1.
求证:≥
例12 设ai>0(i=1,2,…,n)且ai=1, k∈N*.
求证:aik
+≥nk
不等式,然后构造函数,并判断函数的凸凹性,最后用Jensen不等式证明.
从上述例题可以看出,利用Jensen不等式证明不等式,思路清晰,技巧性少,便于操作,显然是证明不等式的一种较好的方法.