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以往设计习题课教学,大多是首先分析题意,阐述思路,然后,板书解答过程。这样的处理,极易束缚学生的思维,养成对教师的过分依赖。本人在讲授习题“两交点间的距离与圆半径的关系”时,采用探究式教学,意在让学生真正“动”起来,培养学生的科学精神和思维习惯。
T:请同学按要求操作,观察猜想,并说明理由。
如图,两个半径分别为r1、r2(r1>r2)
的⊙O1与⊙O2外切于P,将三角板的直角
顶点放在P点,再将三角板绕点P旋转,
使三角板的两直角边中的一边PA与⊙O1
相交于A,另一边PB与⊙O2相交于B(转动中直角边与两圆都不相切)。
问题:在转动过程中,线段AB的长与半径r1、r2之间有什么关系?
请回答并证明你的结论。
(学生动手,转动三角板,并观察变化。)
S1:我发现:当PA旋转到与⊙O2相切时,AB变成了⊙O2的直径。这时AB=2r2;当PB旋 转到与⊙O1相切时,AB变成了⊙O1的直径。
这时AB=2r1,所以我认为,2r2 S2:我想他的结论成立。如果AB刚好同时与两圆相切时,
连接O1A,O2B,O1O2,过O2作O2C⊥O1A于C,
则O1O2=r1+r2 , O1C=O1A-O2B= r1-r2
AB= = 2 ,
因为r1>r2,所以2r2 (学生从极端位置入手,提出猜想并利用特殊位置进行“合情”推理。)
S3:我还发现,这个三角板不能越过连心线,否则交点在同一个圆上。
(学生经过一番尝试和思考,虽然感觉到这个结论在一般情况下是对的,但未能提供更有益的信息。)
T:同学们,我现在变换一下条件:把题中“不等的两圆”改为“半径为r的两个等圆”,请重复操作过程,观察AB与r之间的关系,并说明理由。
S4:我的结论:AB=2r。
理由是PA与⊙O2相切时,AB变为⊙O2的直径,AB=2r。
当PB与⊙O1相切时, AB变为⊙O1的直径,AB=2r。
(重复操作过程,类比获取结论)
S5:我观察到:当AB刚好同时与两圆
相切时,图中A、B、O2、O1四点构成一个
矩形,且O1O2=2r,∴AB=2r。
S6:我受到刚才同学的发言的启发,猜测:四边形ABO1O2在一般情况下(旋转过程中)总是一个平行四边形。如果理由充足,那么AB=O1O2=2r。
(学生思维,由特殊上升到一般,问题有了突破性进展)
S7:是平行四边形,
∵∠O1=180°-2∠O1PA,
∠O2 =180°-2∠O2 PB
∴∠O1+∠O2
= 360°-2(∠O1PA+∠O2PB)=360°-2×90°=180°,
∴O1A∥O2BO1A=O2B=r
∴ABO2O1是平行四边形。这样,旋转过程中,总有AB=2r。
T:太好了!我们知道了两个等圆外切时,两交点间的距离AB与r之间的关系,并且找到了解决这一问题的途径。那么,我们又怎样去解决最初的问题呢?
S8:刚才证明O1A∥O2B时,∠APB=90°
是关键条件,我认为此时,仍有O1A∥O2B,
但四边形ABO2O1不是平行四边形,是梯形。
(动中求静,O1A∥O2B。)
S9:根据梯形作辅助线的方法,我把AB当作三角形的边来讨论。
过B作BM∥O1O2交O1A于M,此时BM把梯形分为△ABM和ABO2O1,
∴BM=O1O2=r1+ r2 ,AM = r1-r2 ,
由三角形三边关系知:BM-AM (把本题中2r2 T:非常好!同学们猜想了结论,并找到了论证的途径。回顾刚才实践与发现的过程,说明了“从特殊到一般”是数学探究活动中重要的思维方法。同时,在运动中发现不变因素(∠APB=90°),寻找问题特征(O1A∥O2B),恰当转化图形(把梯形分为平行四边形和三角形),构成数学模型(构建△ABM中边的不等关系:BM-AM (把实践——探索的学习过程上升到理性高度 ,帮助学生积累学习经验,总结发现方法)。
教学思考:
探究教学的重心或出发点在于学生,探究是学生的探索,教只是为学生服务,而不是要学服从教。本堂课感受最深的有以下几点:
(1)重视学生对信息的收集和处理。因为研究特殊情况,提出假设,推理论证,是认识客观事物规律,获得新知识的重要方法,所以,教学中让学生动手,操作观察,从特殊或极端位置出发,搜集信息,并从特殊(等圆)情况,发现一般(不等圆)规律,从而形成合理的验证过程。
(2)重视学生对理解的表达和倾听。学生先独立探究,形成个人体验,然后,交流自己对问题的理解和疑问,通过讨论评价,吸收他人经验,调整自己的思路,这样既有利于探究进程的正常发展,又充分利用了有限的课堂学习时间。
(3)重视教师对过程的关注和引导。学生的探究活动不可能完全回归“数学原发现过程”。因此,教师密切关注学习过程,在学生找不到更有益的证据之际,适时引领。不作解决问题的直接提示,而是以问题引导,把一般情况特殊化,让学生在等圆中找到突破口,建立一般情况下的数学模型,达到“问题解决”。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
T:请同学按要求操作,观察猜想,并说明理由。
如图,两个半径分别为r1、r2(r1>r2)
的⊙O1与⊙O2外切于P,将三角板的直角
顶点放在P点,再将三角板绕点P旋转,
使三角板的两直角边中的一边PA与⊙O1
相交于A,另一边PB与⊙O2相交于B(转动中直角边与两圆都不相切)。
问题:在转动过程中,线段AB的长与半径r1、r2之间有什么关系?
请回答并证明你的结论。
(学生动手,转动三角板,并观察变化。)
S1:我发现:当PA旋转到与⊙O2相切时,AB变成了⊙O2的直径。这时AB=2r2;当PB旋 转到与⊙O1相切时,AB变成了⊙O1的直径。
这时AB=2r1,所以我认为,2r2
连接O1A,O2B,O1O2,过O2作O2C⊥O1A于C,
则O1O2=r1+r2 , O1C=O1A-O2B= r1-r2
AB= = 2 ,
因为r1>r2,所以2r2
S3:我还发现,这个三角板不能越过连心线,否则交点在同一个圆上。
(学生经过一番尝试和思考,虽然感觉到这个结论在一般情况下是对的,但未能提供更有益的信息。)
T:同学们,我现在变换一下条件:把题中“不等的两圆”改为“半径为r的两个等圆”,请重复操作过程,观察AB与r之间的关系,并说明理由。
S4:我的结论:AB=2r。
理由是PA与⊙O2相切时,AB变为⊙O2的直径,AB=2r。
当PB与⊙O1相切时, AB变为⊙O1的直径,AB=2r。
(重复操作过程,类比获取结论)
S5:我观察到:当AB刚好同时与两圆
相切时,图中A、B、O2、O1四点构成一个
矩形,且O1O2=2r,∴AB=2r。
S6:我受到刚才同学的发言的启发,猜测:四边形ABO1O2在一般情况下(旋转过程中)总是一个平行四边形。如果理由充足,那么AB=O1O2=2r。
(学生思维,由特殊上升到一般,问题有了突破性进展)
S7:是平行四边形,
∵∠O1=180°-2∠O1PA,
∠O2 =180°-2∠O2 PB
∴∠O1+∠O2
= 360°-2(∠O1PA+∠O2PB)=360°-2×90°=180°,
∴O1A∥O2BO1A=O2B=r
∴ABO2O1是平行四边形。这样,旋转过程中,总有AB=2r。
T:太好了!我们知道了两个等圆外切时,两交点间的距离AB与r之间的关系,并且找到了解决这一问题的途径。那么,我们又怎样去解决最初的问题呢?
S8:刚才证明O1A∥O2B时,∠APB=90°
是关键条件,我认为此时,仍有O1A∥O2B,
但四边形ABO2O1不是平行四边形,是梯形。
(动中求静,O1A∥O2B。)
S9:根据梯形作辅助线的方法,我把AB当作三角形的边来讨论。
过B作BM∥O1O2交O1A于M,此时BM把梯形分为△ABM和ABO2O1,
∴BM=O1O2=r1+ r2 ,AM = r1-r2 ,
由三角形三边关系知:BM-AM
教学思考:
探究教学的重心或出发点在于学生,探究是学生的探索,教只是为学生服务,而不是要学服从教。本堂课感受最深的有以下几点:
(1)重视学生对信息的收集和处理。因为研究特殊情况,提出假设,推理论证,是认识客观事物规律,获得新知识的重要方法,所以,教学中让学生动手,操作观察,从特殊或极端位置出发,搜集信息,并从特殊(等圆)情况,发现一般(不等圆)规律,从而形成合理的验证过程。
(2)重视学生对理解的表达和倾听。学生先独立探究,形成个人体验,然后,交流自己对问题的理解和疑问,通过讨论评价,吸收他人经验,调整自己的思路,这样既有利于探究进程的正常发展,又充分利用了有限的课堂学习时间。
(3)重视教师对过程的关注和引导。学生的探究活动不可能完全回归“数学原发现过程”。因此,教师密切关注学习过程,在学生找不到更有益的证据之际,适时引领。不作解决问题的直接提示,而是以问题引导,把一般情况特殊化,让学生在等圆中找到突破口,建立一般情况下的数学模型,达到“问题解决”。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文