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轻绳连接物体加速度关系问题，在高中物理竞赛中属于基本入门内容，近年来在自主招生试题中也已有体现，而在安徽省六校教育研究会2013年高二素质测试中，在所提供的这类题目的参考答案还出了点错误.
题1（安徽省六校教育研究会2013年高二素质测试） 如图1所示，竖直光滑的杆子上套有一滑块A，滑块通过细绳绕过光滑滑轮连接物块B，B又通过一轻质弹簧连接物块C，C静止在地面上.开始用手托住A，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，现将A由静止释放，当速度达到最大时，C也刚好同时离开地面，此时B还没有到达滑轮位置.已知：mA=1.2 kg，mB=1 kg，mC=1 kg，滑轮与杆子的水平距离L=0.8 m.试求：
（1）A下降多大距离时速度最大；
（2）弹簧的劲度系数；
（3）A、B的最大速度是多少？
参考答案（1）如图2，开始对B分析
kx1=mBg，
C离开地面时kx2=mCg，
此时绳子张力T=（mB mC）g=20 N，
Tcosθ=mAg，cosθ=0.6l，θ=53°，
h=Lcotθ=0.6 m.
（2）Δx=x1 x2=L1sinθ-L=0.2 m，
x1=x2=0.1 m，
k=100 N/m.
（3）对系统
Ep=mBg（x1 x2） Ep-mAgh mA12v2A mB12v2B，
vB=vAcosθ，的圆形轨道上运动.然后再通过反推力发动机使人造卫星变速从圆形轨道进入离月球近月点15 km远月点100 km的椭圆轨道上环绕.之后将进入落月制动阶段，嫦娥三号探测器再次开启反推力发动机，历时720秒使其从近月点15 km远月点100 km的椭圆轨道上，沿抛物线走400 km左右的路程使其速度由1.7 km/s减为零，在距月球100 m高处通过反推力发动机实现短暂悬停，扫描月球表面地形，避开障碍物寻找着陆点落至月面比较平坦的虹湾区，如果月面有大坑，需要挪个地方它会自行平移，等照相机告诉它月面情况了才会降落，这个过程嫦娥三号在月球的另一面，地面控制中心无法正常指挥完成，需完全依靠嫦娥三号探测器携带的自主导航系统控制，完成降低高度、确定着陆点、实施软着陆等一系列关键动作，当嫦娥三号卫星在100 m高处完成悬停观察确定好落地点后，在反推力发动机的作用下将继续下落，直到离月面3 m高处再次悬停，此时关掉发动机，探测器自由下落，嫦娥三号探测器实现软着陆.由于探测器具有弹性缓冲机构，几条腿都有弹性，落月时不至于摔坏.着陆后的嫦娥三号探测器在月球将工作三个月，完成五项科学考察.
若嫦娥三号探测器在环月轨道上环绕月球运动的近月点15 km，远月点100 km可近似看成离月球平均高度为60 km的圆形轨道，若地球的质量是月球质量的81倍，地球半径为6400 km，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，月球的半径为1740 km，那么嫦娥三号在此轨道上的环绕速度是多大？
解析设地球质量和半径为M、R，月球质量和半径为m、r，卫星距月球表面的高度为h，地球第一宇宙速度为v1，嫦娥三号的速度为v2，
在地球表面卫星：GM1R2=v211R，
v1=GM1R，
嫦娥三号卫星：Gm1（h r）2=v221r h，
v2=GM1r h=mR1M（h r）=1.66 km/s.
假若嫦娥三号卫星距月面3 m高处自由下落的时间t=1.9 s，月球半径为r=1740 km，则月球的第一宇宙速度为多少？
解析设月球表面重力加速度为g0，
卫星下落时有h=g0t212，
月球第一宇宙速度有
GMm1r2=mg0=mv201r，
v0=g0r=2hr1t=1.71 km/s.
综上所述，卫星从发射到进入预定轨道、工作轨道、再到回收，要经过若干次变轨，要实现轨道半径变大需通过推力发动机对卫星做正功使速度变大来完成，调速的过程是短暂的，调速后卫星再进入新的轨道.要使轨道半径变小需依靠反推力发动机做负功实现.在变轨过程中若不加干预，卫星会在既定轨道上长期运行下去，只有在稳定轨道上运行的卫星，其运动规律才能用万有引力定律和开普勒三定律来诠释.vA=21513 m/s，
vB=21515 m/s.
另附关于本题答案的说明：B的速度呈单调递增和递减变化，当B的速度最大时处于受力平衡状态，此时B上升0.2 m，绳子拉力为20 N，而A下降0.6 m，刚好呈现绳子拉力的分力與A的重力平衡，加速度等于零，速度最大.所以本题的刚好能够使A、B的加速度同时为零.（本题的数据限制了学生从求导的角度去证明加速度是否能够同时为零.）
质疑：A、B的加速度同时为零？
下面以2011清华自主招生试题为例，探究以上的问题.
题2（2011年清华自主招生试题） 如图3，水平高台上有一小车，水平地面上有一拖车，两车之间用一根不可伸长的绳跨过定滑轮相连.拖车从滑轮正下方以恒定速度沿直线运动，则在拖车行进的过程中，小车的加速度
A.逐渐减小B.逐渐增大
C.先减小后增大D.先增大后减小
分析速度v1=vcosθ，
加速度a=dv11dt=d（vcosθ1dt=-vsinθdθ1dt，
几何关系x=hcotθ，
v=dx1dt=hd（cotθ）1dt=-11sin2θ·dθ1dt
或dθ1dt=-vsin2θ1h，
得a=v2sin3θ1h. 可见，v、h为定值，显然θ减小时，a减小.
讨论：dθ1dt=-vsin2θ1h=-vsinθ1h1sinθ=-v⊥1r=ω，
负号表示θ不断地减小.这个结论在下面的的一道竞赛模拟题中，可以得到更充分的印证.
题3（竞赛模拟题）质量分别为m1、m2的两个小环A﹑B各套在两根固定的竖直光滑杆上，两杆间的距离为L，如图5所示，一根绳子穿过B环，一端连在A环上，另一端连在B环所穿过的杆的杆顶.B环在竖直向下外力F的作用下，以速度v0匀速向下运动.试求：（1）当两环间的绳与竖直杆的夹角为θ时F的值；（2）B环从θ1=37°运动到θ2=53°的过程中F力做的功.
解析设m1=2m，m2=m，v0=12gd111.
下面只就A、B的速度及加速度关系作一讨论.
速度关系v0=v0cosθ vcosθ，
或v=1-cosθ1cosθv0，
a=dv1dt=d（1-cosθ1cosθv0）1dt
=v0sinθcosθ （1-cosθ）sinθ1cos2θ·dθ1dt
=v0sinθ1cos2θ·dθ1dt，
其中dθ1dt=v⊥1r=（v v0）sinθ1L1sinθ=v0sin2θ1Lcosθ，
所以a=v201dtan3θ.
理论拓展分析轻绳连接物体加速度关系，在极坐标中有着更为清晰的物理意义.
极坐标系中，r→=ri→，
v→=dr→1dt=d1dt（r→i）=dr1dti→ rdθ1dtj→，
这里di→1dt=dθ1dtj→，dj→1dt=-dθ1dti→，
a→=dv→1dt=d1dt（dr1dti→） d1dt（rdθ1dtj→），
d1dt（dr1dti→）=d2r1dt2i→ dr1dtdθ1dtj→，
d1dt（rdθ1dtj→）=dr1dtdθ1dtj→ rd2θ1dt2j→-r（dθ1dt）2i→，
a→=dv→1dt=（d2r1dt2-r（dθ1dt）2）i→ （rd2θ1dt2 2dr1dtdθ1dt）j→，
径向加速度ar=d2r1dt2-r（dθ1dt）2，
横向加速度aθ=rd2θ1dt2 2dr1dtdθ1dt.
由于在极坐标中，径向速度和横向速度的方向都随时间而变，所以虽然径向速度vr就等于矢径r的时间变化率dr1dt，但径向加速度则并不等于径向的时间率dv1dt，还有由于横向速度的方向改变所引起的另一项（-r（dθ1dt2），它也是径向的.
由以上分析，题1中A、B的加速度同时为零的疑问，也就能得到清晰而正确的回答：
vB=vAcosθ，
dvB1dt=d（vAcosθ）1dt=dvA1dtcosθ vA（-sinθ）dθ1dt，
dθ1dt=-v⊥1r=-vAsinθ1L1sinθ =-vAsin2θ1L，
负号表示θ不断地减小.
aB=d（vAcosθ）1dt=aAcosθ v2A1Lsin3θ，
或aAcosθ=aB-v2A1Lsin3θ.
上式第一项为径向速度大小的改变引起的，第二项为横向速度的方向改变引起的，也是径向的.所以，A、B的加速度不會同时为零.112′limΔt→0limn→∞
题1（安徽省六校教育研究会2013年高二素质测试） 如图1所示，竖直光滑的杆子上套有一滑块A，滑块通过细绳绕过光滑滑轮连接物块B，B又通过一轻质弹簧连接物块C，C静止在地面上.开始用手托住A，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，现将A由静止释放，当速度达到最大时，C也刚好同时离开地面，此时B还没有到达滑轮位置.已知：mA=1.2 kg，mB=1 kg，mC=1 kg，滑轮与杆子的水平距离L=0.8 m.试求：
（1）A下降多大距离时速度最大；
（2）弹簧的劲度系数；
（3）A、B的最大速度是多少？
参考答案（1）如图2，开始对B分析
kx1=mBg，
C离开地面时kx2=mCg，
此时绳子张力T=（mB mC）g=20 N，
Tcosθ=mAg，cosθ=0.6l，θ=53°，
h=Lcotθ=0.6 m.
（2）Δx=x1 x2=L1sinθ-L=0.2 m，
x1=x2=0.1 m，
k=100 N/m.
（3）对系统
Ep=mBg（x1 x2） Ep-mAgh mA12v2A mB12v2B，
vB=vAcosθ，的圆形轨道上运动.然后再通过反推力发动机使人造卫星变速从圆形轨道进入离月球近月点15 km远月点100 km的椭圆轨道上环绕.之后将进入落月制动阶段，嫦娥三号探测器再次开启反推力发动机，历时720秒使其从近月点15 km远月点100 km的椭圆轨道上，沿抛物线走400 km左右的路程使其速度由1.7 km/s减为零，在距月球100 m高处通过反推力发动机实现短暂悬停，扫描月球表面地形，避开障碍物寻找着陆点落至月面比较平坦的虹湾区，如果月面有大坑，需要挪个地方它会自行平移，等照相机告诉它月面情况了才会降落，这个过程嫦娥三号在月球的另一面，地面控制中心无法正常指挥完成，需完全依靠嫦娥三号探测器携带的自主导航系统控制，完成降低高度、确定着陆点、实施软着陆等一系列关键动作，当嫦娥三号卫星在100 m高处完成悬停观察确定好落地点后，在反推力发动机的作用下将继续下落，直到离月面3 m高处再次悬停，此时关掉发动机，探测器自由下落，嫦娥三号探测器实现软着陆.由于探测器具有弹性缓冲机构，几条腿都有弹性，落月时不至于摔坏.着陆后的嫦娥三号探测器在月球将工作三个月，完成五项科学考察.
若嫦娥三号探测器在环月轨道上环绕月球运动的近月点15 km，远月点100 km可近似看成离月球平均高度为60 km的圆形轨道，若地球的质量是月球质量的81倍，地球半径为6400 km，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，月球的半径为1740 km，那么嫦娥三号在此轨道上的环绕速度是多大？
解析设地球质量和半径为M、R，月球质量和半径为m、r，卫星距月球表面的高度为h，地球第一宇宙速度为v1，嫦娥三号的速度为v2，
在地球表面卫星：GM1R2=v211R，
v1=GM1R，
嫦娥三号卫星：Gm1（h r）2=v221r h，
v2=GM1r h=mR1M（h r）=1.66 km/s.
假若嫦娥三号卫星距月面3 m高处自由下落的时间t=1.9 s，月球半径为r=1740 km，则月球的第一宇宙速度为多少？
解析设月球表面重力加速度为g0，
卫星下落时有h=g0t212，
月球第一宇宙速度有
GMm1r2=mg0=mv201r，
v0=g0r=2hr1t=1.71 km/s.
综上所述，卫星从发射到进入预定轨道、工作轨道、再到回收，要经过若干次变轨，要实现轨道半径变大需通过推力发动机对卫星做正功使速度变大来完成，调速的过程是短暂的，调速后卫星再进入新的轨道.要使轨道半径变小需依靠反推力发动机做负功实现.在变轨过程中若不加干预，卫星会在既定轨道上长期运行下去，只有在稳定轨道上运行的卫星，其运动规律才能用万有引力定律和开普勒三定律来诠释.vA=21513 m/s，
vB=21515 m/s.
另附关于本题答案的说明：B的速度呈单调递增和递减变化，当B的速度最大时处于受力平衡状态，此时B上升0.2 m，绳子拉力为20 N，而A下降0.6 m，刚好呈现绳子拉力的分力與A的重力平衡，加速度等于零，速度最大.所以本题的刚好能够使A、B的加速度同时为零.（本题的数据限制了学生从求导的角度去证明加速度是否能够同时为零.）
质疑：A、B的加速度同时为零？
下面以2011清华自主招生试题为例，探究以上的问题.
题2（2011年清华自主招生试题） 如图3，水平高台上有一小车，水平地面上有一拖车，两车之间用一根不可伸长的绳跨过定滑轮相连.拖车从滑轮正下方以恒定速度沿直线运动，则在拖车行进的过程中，小车的加速度
A.逐渐减小B.逐渐增大
C.先减小后增大D.先增大后减小
分析速度v1=vcosθ，
加速度a=dv11dt=d（vcosθ1dt=-vsinθdθ1dt，
几何关系x=hcotθ，
v=dx1dt=hd（cotθ）1dt=-11sin2θ·dθ1dt
或dθ1dt=-vsin2θ1h，
得a=v2sin3θ1h. 可见，v、h为定值，显然θ减小时，a减小.
讨论：dθ1dt=-vsin2θ1h=-vsinθ1h1sinθ=-v⊥1r=ω，
负号表示θ不断地减小.这个结论在下面的的一道竞赛模拟题中，可以得到更充分的印证.
题3（竞赛模拟题）质量分别为m1、m2的两个小环A﹑B各套在两根固定的竖直光滑杆上，两杆间的距离为L，如图5所示，一根绳子穿过B环，一端连在A环上，另一端连在B环所穿过的杆的杆顶.B环在竖直向下外力F的作用下，以速度v0匀速向下运动.试求：（1）当两环间的绳与竖直杆的夹角为θ时F的值；（2）B环从θ1=37°运动到θ2=53°的过程中F力做的功.
解析设m1=2m，m2=m，v0=12gd111.
下面只就A、B的速度及加速度关系作一讨论.
速度关系v0=v0cosθ vcosθ，
或v=1-cosθ1cosθv0，
a=dv1dt=d（1-cosθ1cosθv0）1dt
=v0sinθcosθ （1-cosθ）sinθ1cos2θ·dθ1dt
=v0sinθ1cos2θ·dθ1dt，
其中dθ1dt=v⊥1r=（v v0）sinθ1L1sinθ=v0sin2θ1Lcosθ，
所以a=v201dtan3θ.
理论拓展分析轻绳连接物体加速度关系，在极坐标中有着更为清晰的物理意义.
极坐标系中，r→=ri→，
v→=dr→1dt=d1dt（r→i）=dr1dti→ rdθ1dtj→，
这里di→1dt=dθ1dtj→，dj→1dt=-dθ1dti→，
a→=dv→1dt=d1dt（dr1dti→） d1dt（rdθ1dtj→），
d1dt（dr1dti→）=d2r1dt2i→ dr1dtdθ1dtj→，
d1dt（rdθ1dtj→）=dr1dtdθ1dtj→ rd2θ1dt2j→-r（dθ1dt）2i→，
a→=dv→1dt=（d2r1dt2-r（dθ1dt）2）i→ （rd2θ1dt2 2dr1dtdθ1dt）j→，
径向加速度ar=d2r1dt2-r（dθ1dt）2，
横向加速度aθ=rd2θ1dt2 2dr1dtdθ1dt.
由于在极坐标中，径向速度和横向速度的方向都随时间而变，所以虽然径向速度vr就等于矢径r的时间变化率dr1dt，但径向加速度则并不等于径向的时间率dv1dt，还有由于横向速度的方向改变所引起的另一项（-r（dθ1dt2），它也是径向的.
由以上分析，题1中A、B的加速度同时为零的疑问，也就能得到清晰而正确的回答：
vB=vAcosθ，
dvB1dt=d（vAcosθ）1dt=dvA1dtcosθ vA（-sinθ）dθ1dt，
dθ1dt=-v⊥1r=-vAsinθ1L1sinθ =-vAsin2θ1L，
负号表示θ不断地减小.
aB=d（vAcosθ）1dt=aAcosθ v2A1Lsin3θ，
或aAcosθ=aB-v2A1Lsin3θ.
上式第一项为径向速度大小的改变引起的，第二项为横向速度的方向改变引起的，也是径向的.所以，A、B的加速度不會同时为零.112′limΔt→0limn→∞