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“抛物线的标准方程”是苏教版高中《数学》选修2-1的教学内容。在教学这节课时，张昌盛老师以他独特的语言魅力，为学生营造和谐、灵动的对话空间，激发学生智慧的“火花”。现在就让我们一起走进张老师灵动、智慧的课堂，共同感悟一次美妙的对话旅程。
[片段一]课前“热身”——为对话创造和谐的氛围
师：同学们，上课之前请大家先猜两个谜语，好吗？
生（众）：好！
师：谜底都是水果。第一个谜面是：草地上来了一只羊。
（同学们面面相觑，猜不出来）
师：草莓。
（生笑）
师：第二个谜语：草地上又来了一只狼。
生（众，一下子就说出了答案）：杨梅。
师：第二个谜语同学们为什么很快就能猜出来呢？
生（众）：那是因为有了第一个谜语的猜法。
师：知识之间是有联系的，而老师接着要跟大家一起学习抛物线的标准方程正是建立在过去学过的椭圆、双曲线的标准方程的基础之上的。
问题1：我们曾经学习过关于抛物线的哪些知识？
问题2：抛物线的定义是什么？
……
【赏析】一个教师能够让长期任教班级的学生喜欢你，那是一件比较容易的事情，但若让借班上课的学生在短时间内就喜欢上你，那就是一门艺术了。因此上课之前的谈话就显得十分重要了。
本节课前，张老师采用了和大家一起猜谜语的方法，这种猜谜语的谈话方式能够起到如下的效果：第一，有助于放松学生的心情，调节课堂气氛，沟通师生的情感，让学生尽快投入到学习中去。第二，让学生打开话匣子，有话可说，有话敢说。第三，与教学内容紧密衔接，使学生知道研究抛物线的方程可以用研究椭圆、双曲线的方程的方法来研究，不露痕迹地由谈话引入到新课学习中去，这是最高境界的课前谈话方式。
[片段二]智慧碰撞——在对话中散发互动气息
问题3：抛物线的轨迹是什么样子的？
（教师利用“几何画板”演示，学生观察）
教师追问（指着抛物线轨迹与直线KF的交点）：如图1，大家请看，这里有一个特殊点，谁能说一下是哪个点？
生1：是线段KF的中点。
师：很好！线段KF的中点恰好满足抛物线的定义，所以它也在轨迹上。为了突出这个点，记为点O。
师：通过上面的讨论，我们对抛物线的轨迹有了大概的了解，下面如何来研究它的方程呢？
假设定点F到定直线l的距离为p，即KF=p（p>0），试求抛物线的方程。
问题4：如何建立抛物线的方程呢？
师：前面我们学习了椭圆和双曲线，那么它们的方程是如何求解的呢？
问题4.1：我们是怎样求椭圆（双曲线）的标准方程的？有几个步骤？
生2：第一步，建立直角坐标系；第二步，设动点坐标(x，y)；第三步，找出动点满足的等量关系；第四步，将动点坐标代入等式；第五步，化简和检验。
师：（在这位学生回答的基础上加以归纳）求解曲线的方程的五步分别是：建设现(限)代化 (教师板书)。
问题4.2：在求抛物线方程时，如何建立直角坐标系？有哪几种合理的建系方法？
(学生自主探究，教师提问)
生3：如图1，以KF所在的直线为x轴，以定直线l为y轴。
生4：如图2，以KF所在的直线为x轴，以KF的垂直平分线为y轴。
生5：如图3，以KF所在的直线为x轴，以点F为坐标原点。
(教师按照学生的回答顺序，在课件中依次显示相应的图形)
■
师：下面就按这三种建系方法分别求出抛物线的方程，我们分三组按组号做相应的情形。同时，请3位同学分别求解。
(学生分别求出了三种建系方法下的方程)
(1)y2=2px-p2（p>0）
(2)y2=2px （p>0）
(3)y2=2px+p2 （p>0）
师：对于三种情况下的方程，你认为哪一种比较好？
生（众）：第二种。
师：为什么？
生6：因为第二种最简洁。
师：很好，第二种最简洁、最美观，我们就把第二种方程称为抛物线的标准方程。
……
【赏析】张老师并没有直接告诉学生求解抛物线的标准方程该如何建立直角坐标系，而是让学生自主探究、交流，得出了三种建立直角坐标系的方法，然后由三个学生分别求出相应的方程。这时张老师也没有告知学生第二种是我们所需要的，而是将“对于三种情况下的方程，你认为哪一种比较好？”抛给学生，让学生自己体会、感悟，学生很快说出“第二种最简洁”，此时，张老师顺水推舟地引出抛物线的标准方程。在整个教学过程中有情感的交流、思维的碰撞、观点的表达及障碍的排除。在师生散发互动气息的对话中，实现了智慧的共享和情感的交融。
[片段三]课堂留白——在等待中使对话更高效
问题5：对于开口向其他方向的抛物线，它们的标准方程又是怎样的呢？
（教师让学生独立思考）
生1：对于开口向左的抛物线，我猜它的标准方程应该是y2=-2px。
师：下面请大家验证一下生1的猜想是否正确？
（教师展示了生2的解法，并肯定了生1的猜想）
师：那么对于开口向上和开口向下的抛物线又如何呢？
（学生独立思考）
生3：我猜应该是x2=2py和 x2=-2py。
师：很好！生3的猜想是正确的！其证明请同学们课后完成。
师：下面请同学们完成下面的表格。
(学生独立完成，教师请学生叙述)
师：请同学们看这张表，想一想我们该如何记忆呢？可以相互讨论。
(同学们相互讨论着)
生4：一次项的变量是什么就说明焦点在哪个轴上，并且当一次项系数为正时可以得出焦点在正半轴上；当一次项系数为负时可以得出焦点在负半轴上。
生5：我们的讨论结果是：焦点看一次项字母，开口看正负。
……
【赏析】课堂需要含蓄，需要留下空白。留白不是什么都不干，而是从教学内容、教学时间、教学要求等出发，多角度、多层次地设置空白，引发学生积极地思考，让学生成为发现者、研究者及探索者，更好地发挥学生的主体作用。本教学片段中，张老师在每一个问题抛出后总能留出一定的时间和空间让学生自己去思考、自己去探索、自己去解决。让学生通过自己的主动活动、独立思考、与他人交流和反思等，去构建对数学的理解。激发学生的学习兴趣，让他们真正进入会学、乐学的境界。
[片段四]促进生成——在对话交流中实现共享
问题6：本节课我们主要学习了哪些知识？
生1：我们一起学习了抛物线的四种标准方程，即y2=±2px，x2=±2py，其中p为焦点到准线的距离。
生2：我们还知道了通过抛物线的标准方程可以知道焦点的位置和坐标。
生3：我们进一步巩固了求解曲线方程的方法，即建设现(限)代化。
教师追问：我们是怎么得出抛物线的标准方程的呢？
生4：通过回顾椭圆、双曲线标准方程的求解方法来求解抛物线的标准方程，建立一种最适合的坐标系，使问题求解更为简单。
问题7：本节课有哪些数学思想、方法值得我们关注呢？
生5：主要有数形结合的思想。
生6：还有分类讨论的思想。
……
【赏析】“亲其师，信其道。”张老师的和蔼、幽默赢得了学生的喜爱，让学生在课堂结尾的时候仍然保持旺盛的学习热情，全身心地投入到学习中，这种对话式的课堂结尾以问题的呈现形式，引导学生进行独立的思考，打破了以往的“教师归纳，学生看戏”的方式。学生是活生生的人，是有生命活力、发展潜能的。他们带着自己的知识和经验、兴致和需求、思考和灵动参与课堂，从而使数学课堂呈现丰富性。张老师特别善于倾听学生的发言，以自己的教学智慧支撑对话的持续开展与不断优化，让学生的自主学习和教师的参与充满创造活力。
如果把学生的大脑看做一泓平静的湖水，那么问题就犹如投入湖水中的一粒石子，可以激发学生思维的浪花。本节课中，张老师通过精心设置的问题引导学生进行探究活动。问题1、2起到了复习巩固的作用，让学生知道生活离不开数学，数学来源于生活，激发了学生进一步研究抛物线的欲望；问题3起到了过渡的作用，让学生了解“先定性，后定量”的研究方法，教师追问：“大家请看，这里有一个特殊点，谁能说一下是哪个点？”为后面最需要的一种建立坐标系方式做了暗示；问题4是本节课的重点，张老师又设置了2个子问题，从而更好地为学生自主探究开口向左的抛物线的标准方程服务；问题5是对其他三种情形的完善；问题6、7打破了以往教师小结学生听的方式，更好地发挥了学生主观能动性。（作者单位：江苏省南通市通州区石港中学）
□责任编辑 周瑜芽
E-mail: jxjyzyy@163.com
[片段一]课前“热身”——为对话创造和谐的氛围
师：同学们，上课之前请大家先猜两个谜语，好吗？
生（众）：好！
师：谜底都是水果。第一个谜面是：草地上来了一只羊。
（同学们面面相觑，猜不出来）
师：草莓。
（生笑）
师：第二个谜语：草地上又来了一只狼。
生（众，一下子就说出了答案）：杨梅。
师：第二个谜语同学们为什么很快就能猜出来呢？
生（众）：那是因为有了第一个谜语的猜法。
师：知识之间是有联系的，而老师接着要跟大家一起学习抛物线的标准方程正是建立在过去学过的椭圆、双曲线的标准方程的基础之上的。
问题1：我们曾经学习过关于抛物线的哪些知识？
问题2：抛物线的定义是什么？
……
【赏析】一个教师能够让长期任教班级的学生喜欢你，那是一件比较容易的事情，但若让借班上课的学生在短时间内就喜欢上你，那就是一门艺术了。因此上课之前的谈话就显得十分重要了。
本节课前，张老师采用了和大家一起猜谜语的方法，这种猜谜语的谈话方式能够起到如下的效果：第一，有助于放松学生的心情，调节课堂气氛，沟通师生的情感，让学生尽快投入到学习中去。第二，让学生打开话匣子，有话可说，有话敢说。第三，与教学内容紧密衔接，使学生知道研究抛物线的方程可以用研究椭圆、双曲线的方程的方法来研究，不露痕迹地由谈话引入到新课学习中去，这是最高境界的课前谈话方式。
[片段二]智慧碰撞——在对话中散发互动气息
问题3：抛物线的轨迹是什么样子的？
（教师利用“几何画板”演示，学生观察）
教师追问（指着抛物线轨迹与直线KF的交点）：如图1，大家请看，这里有一个特殊点，谁能说一下是哪个点？
生1：是线段KF的中点。
师：很好！线段KF的中点恰好满足抛物线的定义，所以它也在轨迹上。为了突出这个点，记为点O。
师：通过上面的讨论，我们对抛物线的轨迹有了大概的了解，下面如何来研究它的方程呢？
假设定点F到定直线l的距离为p，即KF=p（p>0），试求抛物线的方程。
问题4：如何建立抛物线的方程呢？
师：前面我们学习了椭圆和双曲线，那么它们的方程是如何求解的呢？
问题4.1：我们是怎样求椭圆（双曲线）的标准方程的？有几个步骤？
生2：第一步，建立直角坐标系；第二步，设动点坐标(x，y)；第三步，找出动点满足的等量关系；第四步，将动点坐标代入等式；第五步，化简和检验。
师：（在这位学生回答的基础上加以归纳）求解曲线的方程的五步分别是：建设现(限)代化 (教师板书)。
问题4.2：在求抛物线方程时，如何建立直角坐标系？有哪几种合理的建系方法？
(学生自主探究，教师提问)
生3：如图1，以KF所在的直线为x轴，以定直线l为y轴。
生4：如图2，以KF所在的直线为x轴，以KF的垂直平分线为y轴。
生5：如图3，以KF所在的直线为x轴，以点F为坐标原点。
(教师按照学生的回答顺序，在课件中依次显示相应的图形)
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师：下面就按这三种建系方法分别求出抛物线的方程，我们分三组按组号做相应的情形。同时，请3位同学分别求解。
(学生分别求出了三种建系方法下的方程)
(1)y2=2px-p2（p>0）
(2)y2=2px （p>0）
(3)y2=2px+p2 （p>0）
师：对于三种情况下的方程，你认为哪一种比较好？
生（众）：第二种。
师：为什么？
生6：因为第二种最简洁。
师：很好，第二种最简洁、最美观，我们就把第二种方程称为抛物线的标准方程。
……
【赏析】张老师并没有直接告诉学生求解抛物线的标准方程该如何建立直角坐标系，而是让学生自主探究、交流，得出了三种建立直角坐标系的方法，然后由三个学生分别求出相应的方程。这时张老师也没有告知学生第二种是我们所需要的，而是将“对于三种情况下的方程，你认为哪一种比较好？”抛给学生，让学生自己体会、感悟，学生很快说出“第二种最简洁”，此时，张老师顺水推舟地引出抛物线的标准方程。在整个教学过程中有情感的交流、思维的碰撞、观点的表达及障碍的排除。在师生散发互动气息的对话中，实现了智慧的共享和情感的交融。
[片段三]课堂留白——在等待中使对话更高效
问题5：对于开口向其他方向的抛物线，它们的标准方程又是怎样的呢？
（教师让学生独立思考）
生1：对于开口向左的抛物线，我猜它的标准方程应该是y2=-2px。
师：下面请大家验证一下生1的猜想是否正确？
（教师展示了生2的解法，并肯定了生1的猜想）
师：那么对于开口向上和开口向下的抛物线又如何呢？
（学生独立思考）
生3：我猜应该是x2=2py和 x2=-2py。
师：很好！生3的猜想是正确的！其证明请同学们课后完成。
师：下面请同学们完成下面的表格。
(学生独立完成，教师请学生叙述)
师：请同学们看这张表，想一想我们该如何记忆呢？可以相互讨论。
(同学们相互讨论着)
生4：一次项的变量是什么就说明焦点在哪个轴上，并且当一次项系数为正时可以得出焦点在正半轴上；当一次项系数为负时可以得出焦点在负半轴上。
生5：我们的讨论结果是：焦点看一次项字母，开口看正负。
……
【赏析】课堂需要含蓄，需要留下空白。留白不是什么都不干，而是从教学内容、教学时间、教学要求等出发，多角度、多层次地设置空白，引发学生积极地思考，让学生成为发现者、研究者及探索者，更好地发挥学生的主体作用。本教学片段中，张老师在每一个问题抛出后总能留出一定的时间和空间让学生自己去思考、自己去探索、自己去解决。让学生通过自己的主动活动、独立思考、与他人交流和反思等，去构建对数学的理解。激发学生的学习兴趣，让他们真正进入会学、乐学的境界。
[片段四]促进生成——在对话交流中实现共享
问题6：本节课我们主要学习了哪些知识？
生1：我们一起学习了抛物线的四种标准方程，即y2=±2px，x2=±2py，其中p为焦点到准线的距离。
生2：我们还知道了通过抛物线的标准方程可以知道焦点的位置和坐标。
生3：我们进一步巩固了求解曲线方程的方法，即建设现(限)代化。
教师追问：我们是怎么得出抛物线的标准方程的呢？
生4：通过回顾椭圆、双曲线标准方程的求解方法来求解抛物线的标准方程，建立一种最适合的坐标系，使问题求解更为简单。
问题7：本节课有哪些数学思想、方法值得我们关注呢？
生5：主要有数形结合的思想。
生6：还有分类讨论的思想。
……
【赏析】“亲其师，信其道。”张老师的和蔼、幽默赢得了学生的喜爱，让学生在课堂结尾的时候仍然保持旺盛的学习热情，全身心地投入到学习中，这种对话式的课堂结尾以问题的呈现形式，引导学生进行独立的思考，打破了以往的“教师归纳，学生看戏”的方式。学生是活生生的人，是有生命活力、发展潜能的。他们带着自己的知识和经验、兴致和需求、思考和灵动参与课堂，从而使数学课堂呈现丰富性。张老师特别善于倾听学生的发言，以自己的教学智慧支撑对话的持续开展与不断优化，让学生的自主学习和教师的参与充满创造活力。
如果把学生的大脑看做一泓平静的湖水，那么问题就犹如投入湖水中的一粒石子，可以激发学生思维的浪花。本节课中，张老师通过精心设置的问题引导学生进行探究活动。问题1、2起到了复习巩固的作用，让学生知道生活离不开数学，数学来源于生活，激发了学生进一步研究抛物线的欲望；问题3起到了过渡的作用，让学生了解“先定性，后定量”的研究方法，教师追问：“大家请看，这里有一个特殊点，谁能说一下是哪个点？”为后面最需要的一种建立坐标系方式做了暗示；问题4是本节课的重点，张老师又设置了2个子问题，从而更好地为学生自主探究开口向左的抛物线的标准方程服务；问题5是对其他三种情形的完善；问题6、7打破了以往教师小结学生听的方式，更好地发挥了学生主观能动性。（作者单位：江苏省南通市通州区石港中学）
□责任编辑 周瑜芽
E-mail: jxjyzyy@163.com