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摘要：本文讨论用离散傅立叶变换（DFT）方法来求系统h（n）的逆系统。本文一共选取3个系统，一个是最小相位系统，一个是非最小相位系统，一个是在消声室中对实际房间测试得到的房间脉冲响应函数h（n）系统。3次测量过程中可以看出，当系统h是最小相位函数时，能够通过DFT反卷积正确求出逆系统hinv，并且很好地恢复出输入信号。
关键词：离散傅立叶变换；反卷积；最小相位系统；非最小相位系统
一.绪论
一般的通信系统中已知输入激励信号x（n）和系统函数h（n），可以求输出函数y（n），即：
y（n）=x（n）*h（n） （1）
但是，对于数字信号处理中，在进行系统识别和信号恢复问题时，需要用反卷积方法求解。当重建系统的激励信号时，需要完成如下的反卷积运算：
x（n）=y（n）（1/*）h（n） （2）
1/*表示反卷积。如何求反卷积，我们用离散傅立叶变换（DFT）方法来求系统的反卷积，过程如下为：首先对h（n）进行傅立叶变换，即：（3）（4）（5）
这里hinv（n）为逆系统函数。
最后，对y（n）和hinv（n）来求卷积恢复原始的信号，即：（6）
通过这个过程恢复原始输入信号。
为了验证这个方法的可行性，取了三种系统函数，分别是最小相位系统函数，非最小相位系统函数和在消声室测试得的系统函数。
本文的论文结构如下，首先讨论了系统为最小相位系统函数时，对原始语音信号的恢复情况；其次使用了系统为简单的非最小相位系统函数时，对原始语音信号的恢复情况；最后讨论当系统为在消声室中测试得到的系统函数h（n）时，对原始语音的恢复情况。
二、当系统函数是最小相位系统
本次取的最小相位系统为：
h（11）=20×0.5n×u（n） （7）
其中，u（n）是系统中的单位阶跃函数，n≥0有效，对其进行Z变换，即：（8）（9）
对Hinv（z）进行逆z变换，计算得到h（n）的反向逆滤波器系统函：
下面画出其对应的h系统函数、经过曲后求得hinv逆系统函数，根据公式求得逆系统函数hinv1的波形图比较，系统函数h和hinv卷积后的波形图和系统函数h和hinv1卷积后的波形图以及输入信号x和经过反卷积后求得xi比较波形图。
（1）系统函数h、经过ifft逆系统函数hinv以及根据公式求得逆系统函数hinv1的波形图。
图1最小相位系统h、经过ifft求的逆系统hinv以及根据表达式自求得hinv1逆系统。从图中可以看出对最小相位系统，经过ifft得到的hinv和自求的hinv1系统是一致的。
（2）系统h和经过曲求的逆系统hinv卷积以及系统h和根据表达式自求得hinv1逆系统的卷积。
图2最小相位系统h和经过ifft求的逆系统hinv卷积以及系统h和根据表达式自求得hinv1逆系统的卷积。
从图2中可以看出：（10）（11）
满足用im求逆系统的条件。
（3）原始输入信号x和经过ifft后求得的输入信号xi1的波形图以及根据给定的表达式求的hinv1逆系统后得到的输入信号xi2。
图3经过最小相位系统的原始输入信号x，经过ifft求得逆系统hinv得到xi1，根据自求的逆系统hinv1得到的xi2波形比较
图4经过最小相位系统的原始输入信号x，经过ifft得到的xil，根据自求逆系统hinv1得到的xi2波形比较。
从上述波形可以看出通过ifft求的逆系统得到的输入信号，以及自求的逆系统得到的输入信号波形是完全一致的。
三、系统为简单的非最小相位系统
本次取的非最小相位系统为：
h（n）=2.5δ（n）-1.5×0.5nu（n） （12）
其中，u（n）是单位阶跃函数，n≥0，其Z变换为：（13）
极点都在单位圆内，此系统是稳定因果系统，但其反向滤波器（14）
其极点在单位圆外，所以该系统的反向滤波系统不是最小相位系统，对Hinv（z）系统求反傅立叶变换，即ifft变换后，有两种解结果。对Hinv（z）有两种可能的收敛域：|z|<1.25和|z|>1.25。
对收敛域为|z|<1.25，其相应的脉冲响应为：对n<0，
hil（n）=0.4×δ（n）0.6×（1.25）nu（-n-1） （15）
收敛域包含单位圆，所以该系统为稳定非因果系统。
对收敛域为|z|>1.25，其相应的脉冲响应为：对n>0，
h2（n）=0.4δ（n）+0.6×（1-25）nu（n） （16）
收敛域不包含单位圆，所以该系统为非稳定的因果系统。
因此，如果保证其稳定性，则要求是非因果性，取：
hinv1（n）=0.4×δ（n）0.6×（1.25）nu（一n-1） （17）
由于hinv1取的阶数范围是0-L，所以对hinv1右移了L位，其中L为系统的阶数。即有：
hinv1（n）=hinv1（n-L） （18）
下面画出其对应的h系统函数、经过ifft后的hinv反滤波器系统函数，根据公式求得逆系统函数hinv1函数的波形图比较，h和经过ifft得到hinv的卷积后波形图，h和自求的hinv1卷积后的波形图，以及输入信号x和经过反卷积后的xi比较波形图。 （1）对应的h系统函数、经过ifft后的hinv反系统函数，根据公式自求得逆系统函数hinv1函数的波形图比较。
图5非最小相位系统h、经过ifft求的逆系统hinv以及根据表达式自求得hinv1逆系统。从图中可以看出经过曲求的逆系统hinv以及根据表达式自求得hinv1逆系统不一样。这是由于对非最小相位系统求出的反卷积系统不是唯一的，这样对于非最小相位系统直接通过ifft求出的逆系统hinv不正确。
（2）系统h和经过ifft求的逆系统hinv卷积以及系统h和根据表达式自求得hinv1逆系统。
图6非最小相位系统h和经过ifft求的逆系统hinv卷积以。系统h和根据表达式自求得hinv1逆系统。
从图中可以看出经过ifft得到的逆系统h不满月h×hi≠δ（n），也即不适合用ifft来求逆系统，而根据表达式求得hinv1逆系统由于人为右移了L位，满足：（19）
为什么经过ifft得到的逆系统h不满足h×hi≠δ（n），但在频域上是满足的。
在算法上，先对该系统进行频域变换，然后再求频域的倒数，再对频域的倒数进行im，如果该系统是非最小相位的系统，ifft求出的hinv的解不一定正确。所以，经过ifft得到的逆系统hinv不满足。
（3）原始输入信号x和经过ifft后求的的输入信号xi1以及经过自求的逆系统后得到xi2的波形图比较
图7经过非最小相位系统的原始输入信号x，经过im得到逆系统hinv的xi1，根据自求的逆系统hinv1得到的xi2波形比较。
图8经过非最小相位系统的原始输入信号x，经过im得到的xi1，根据自求的逆系统hinv1得到的xi2波形比较。
从上面的波形图可以看出，通过ifft求的逆系统hinv得到的输入信号xil不如自求逆系统得到输入信号xi2相似。但是，自求逆系统得到的输入信号xi2和原始输入信号x还是略微有些差别，这主要由于自求得的hinv1右移了L位，所以恢复原始信号时要左移L位。即：
x12=x12（n+L） （20）
得到的波形图如下图9所示。
图9原始输入信号x和经过ifft得到的xil波形比较，以及原始输入信号x和自求逆系统hinv1得到的xi2经过左移L位后波形比较
xi2信号经过左移L位后，得到信号和原始输入信号是重叠的，没有差别。
四、房间脉冲响应测量得到的系统函数
此时的h为在消声室测试得到的房间脉冲响应函数，在这儿不考虑噪声影响。由于不能精确写出h的表达式，所以不能自求出反向系统hinv1。
（1）对应的h系统函数、经过im后的hinv反系统函数，h和hinv卷积后函数的波。
图10房间脉冲响应h，经过im得到的反向系统hinv以及h和hinv的卷积波形图
图11原始输入信号x和经过曲求的房间脉冲响应逆系统后得到的xi1波形比较。
图12原始输入信号x和经过曲求的房间脉冲响应逆系统后得到的xi1波形比较。
从上面图可以看出原始输入信号x和通过ifft求的房间脉冲响应逆系统得到的xi1的波形的幅度和相似度相差很大。虽然能够再现原始输入信号声音，但是失真比较大。
五、结语
从上述的3次测量过程中可以看出，当系统h是最小相位函数的时候，能够通过逆向ifft正确求出逆系统hinv，很好地恢复出输入信号。由于测的房间脉冲响应h系统不满足h×hi≠δ（n），即h是非最小相位系统。所以，通过反卷积方法求原始信号不适合。
关键词：离散傅立叶变换；反卷积；最小相位系统；非最小相位系统
一.绪论
一般的通信系统中已知输入激励信号x（n）和系统函数h（n），可以求输出函数y（n），即：
y（n）=x（n）*h（n） （1）
但是，对于数字信号处理中，在进行系统识别和信号恢复问题时，需要用反卷积方法求解。当重建系统的激励信号时，需要完成如下的反卷积运算：
x（n）=y（n）（1/*）h（n） （2）
1/*表示反卷积。如何求反卷积，我们用离散傅立叶变换（DFT）方法来求系统的反卷积，过程如下为：首先对h（n）进行傅立叶变换，即：（3）（4）（5）
这里hinv（n）为逆系统函数。
最后，对y（n）和hinv（n）来求卷积恢复原始的信号，即：（6）
通过这个过程恢复原始输入信号。
为了验证这个方法的可行性，取了三种系统函数，分别是最小相位系统函数，非最小相位系统函数和在消声室测试得的系统函数。
本文的论文结构如下，首先讨论了系统为最小相位系统函数时，对原始语音信号的恢复情况；其次使用了系统为简单的非最小相位系统函数时，对原始语音信号的恢复情况；最后讨论当系统为在消声室中测试得到的系统函数h（n）时，对原始语音的恢复情况。
二、当系统函数是最小相位系统
本次取的最小相位系统为：
h（11）=20×0.5n×u（n） （7）
其中，u（n）是系统中的单位阶跃函数，n≥0有效，对其进行Z变换，即：（8）（9）
对Hinv（z）进行逆z变换，计算得到h（n）的反向逆滤波器系统函：
下面画出其对应的h系统函数、经过曲后求得hinv逆系统函数，根据公式求得逆系统函数hinv1的波形图比较，系统函数h和hinv卷积后的波形图和系统函数h和hinv1卷积后的波形图以及输入信号x和经过反卷积后求得xi比较波形图。
（1）系统函数h、经过ifft逆系统函数hinv以及根据公式求得逆系统函数hinv1的波形图。
图1最小相位系统h、经过ifft求的逆系统hinv以及根据表达式自求得hinv1逆系统。从图中可以看出对最小相位系统，经过ifft得到的hinv和自求的hinv1系统是一致的。
（2）系统h和经过曲求的逆系统hinv卷积以及系统h和根据表达式自求得hinv1逆系统的卷积。
图2最小相位系统h和经过ifft求的逆系统hinv卷积以及系统h和根据表达式自求得hinv1逆系统的卷积。
从图2中可以看出：（10）（11）
满足用im求逆系统的条件。
（3）原始输入信号x和经过ifft后求得的输入信号xi1的波形图以及根据给定的表达式求的hinv1逆系统后得到的输入信号xi2。
图3经过最小相位系统的原始输入信号x，经过ifft求得逆系统hinv得到xi1，根据自求的逆系统hinv1得到的xi2波形比较
图4经过最小相位系统的原始输入信号x，经过ifft得到的xil，根据自求逆系统hinv1得到的xi2波形比较。
从上述波形可以看出通过ifft求的逆系统得到的输入信号，以及自求的逆系统得到的输入信号波形是完全一致的。
三、系统为简单的非最小相位系统
本次取的非最小相位系统为：
h（n）=2.5δ（n）-1.5×0.5nu（n） （12）
其中，u（n）是单位阶跃函数，n≥0，其Z变换为：（13）
极点都在单位圆内，此系统是稳定因果系统，但其反向滤波器（14）
其极点在单位圆外，所以该系统的反向滤波系统不是最小相位系统，对Hinv（z）系统求反傅立叶变换，即ifft变换后，有两种解结果。对Hinv（z）有两种可能的收敛域：|z|<1.25和|z|>1.25。
对收敛域为|z|<1.25，其相应的脉冲响应为：对n<0，
hil（n）=0.4×δ（n）0.6×（1.25）nu（-n-1） （15）
收敛域包含单位圆，所以该系统为稳定非因果系统。
对收敛域为|z|>1.25，其相应的脉冲响应为：对n>0，
h2（n）=0.4δ（n）+0.6×（1-25）nu（n） （16）
收敛域不包含单位圆，所以该系统为非稳定的因果系统。
因此，如果保证其稳定性，则要求是非因果性，取：
hinv1（n）=0.4×δ（n）0.6×（1.25）nu（一n-1） （17）
由于hinv1取的阶数范围是0-L，所以对hinv1右移了L位，其中L为系统的阶数。即有：
hinv1（n）=hinv1（n-L） （18）
下面画出其对应的h系统函数、经过ifft后的hinv反滤波器系统函数，根据公式求得逆系统函数hinv1函数的波形图比较，h和经过ifft得到hinv的卷积后波形图，h和自求的hinv1卷积后的波形图，以及输入信号x和经过反卷积后的xi比较波形图。 （1）对应的h系统函数、经过ifft后的hinv反系统函数，根据公式自求得逆系统函数hinv1函数的波形图比较。
图5非最小相位系统h、经过ifft求的逆系统hinv以及根据表达式自求得hinv1逆系统。从图中可以看出经过曲求的逆系统hinv以及根据表达式自求得hinv1逆系统不一样。这是由于对非最小相位系统求出的反卷积系统不是唯一的，这样对于非最小相位系统直接通过ifft求出的逆系统hinv不正确。
（2）系统h和经过ifft求的逆系统hinv卷积以及系统h和根据表达式自求得hinv1逆系统。
图6非最小相位系统h和经过ifft求的逆系统hinv卷积以。系统h和根据表达式自求得hinv1逆系统。
从图中可以看出经过ifft得到的逆系统h不满月h×hi≠δ（n），也即不适合用ifft来求逆系统，而根据表达式求得hinv1逆系统由于人为右移了L位，满足：（19）
为什么经过ifft得到的逆系统h不满足h×hi≠δ（n），但在频域上是满足的。
在算法上，先对该系统进行频域变换，然后再求频域的倒数，再对频域的倒数进行im，如果该系统是非最小相位的系统，ifft求出的hinv的解不一定正确。所以，经过ifft得到的逆系统hinv不满足。
（3）原始输入信号x和经过ifft后求的的输入信号xi1以及经过自求的逆系统后得到xi2的波形图比较
图7经过非最小相位系统的原始输入信号x，经过im得到逆系统hinv的xi1，根据自求的逆系统hinv1得到的xi2波形比较。
图8经过非最小相位系统的原始输入信号x，经过im得到的xi1，根据自求的逆系统hinv1得到的xi2波形比较。
从上面的波形图可以看出，通过ifft求的逆系统hinv得到的输入信号xil不如自求逆系统得到输入信号xi2相似。但是，自求逆系统得到的输入信号xi2和原始输入信号x还是略微有些差别，这主要由于自求得的hinv1右移了L位，所以恢复原始信号时要左移L位。即：
x12=x12（n+L） （20）
得到的波形图如下图9所示。
图9原始输入信号x和经过ifft得到的xil波形比较，以及原始输入信号x和自求逆系统hinv1得到的xi2经过左移L位后波形比较
xi2信号经过左移L位后，得到信号和原始输入信号是重叠的，没有差别。
四、房间脉冲响应测量得到的系统函数
此时的h为在消声室测试得到的房间脉冲响应函数，在这儿不考虑噪声影响。由于不能精确写出h的表达式，所以不能自求出反向系统hinv1。
（1）对应的h系统函数、经过im后的hinv反系统函数，h和hinv卷积后函数的波。
图10房间脉冲响应h，经过im得到的反向系统hinv以及h和hinv的卷积波形图
图11原始输入信号x和经过曲求的房间脉冲响应逆系统后得到的xi1波形比较。
图12原始输入信号x和经过曲求的房间脉冲响应逆系统后得到的xi1波形比较。
从上面图可以看出原始输入信号x和通过ifft求的房间脉冲响应逆系统得到的xi1的波形的幅度和相似度相差很大。虽然能够再现原始输入信号声音，但是失真比较大。
五、结语
从上述的3次测量过程中可以看出，当系统h是最小相位函数的时候，能够通过逆向ifft正确求出逆系统hinv，很好地恢复出输入信号。由于测的房间脉冲响应h系统不满足h×hi≠δ（n），即h是非最小相位系统。所以，通过反卷积方法求原始信号不适合。