论文部分内容阅读
【摘要】文章以平面几何的学习为例，对数学的学习方法进行探析，主要从平面几何知识概述、平面几何的难点以及学习过程中的问题点、对应的建议等方面进行分析和阐述。
【关键词】数学学习；平面几何；学习难点；现存问题点；对策方案
一、引言
平面几何主要考查的是学生的空间几何想象能力，在试卷中出现的一般都是证明类问题，一般设置难度不大，但对学生的想象能力与空间思维能力要求较高。在考试过程中如果学生找不准解题的核心或思维能力过差而需要解题的时间过长，会造成平面几何分数过低，影响后面做题的情况。尤其相较于函数等内容，平面几何更偏重想象与证明逻辑，想象好了就容易得分，缺乏思维的创造能力就会得分困难。
二、平面几何知识概述
（一）平面几何概念
从概念上来讲，平面几何是指欧几里得的著作《几何原本》中构建的几何学，也称为“欧几里得几何”，涵盖了平面上圆锥曲线以及直线的各种性质，包括几何结构与度量性质（包括面积、长度、角度）。虽然在学习过程中各性质都有具体的公式，但这些公式往往是由解析几何构造出来，而非公理化形式。
（二）平面几何常用知识点
一般来说，初中学习过程中包括点、线、面的关系与内容。具体来说有以下内容。
相交线与平行线：对顶角的性质；垂线的性质；平行公理；平行线的三条性质与三项判定。
三角形：中线、高线；三边关系；稳定性；内角和180度；外角性质；多边形的性质（外角和360度、内角和公式、对角线条数公式）。
全等三角形：判定方法（SSS、ASA、SAS、HL）、角平分线与判定、轴对称（轴对称图形、线段的垂直平分线、轴对称变换、等腰三角形、等边三角形等）。
勾股定理： ，其中 、 分别为直角边， 为斜边；逆定理（三角形三边满足 的话，三角形是直角三角形）。
四边形：内角和与外角和、性质与判定（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）、中位线（三角形与梯形）、辅助线。
圆：弦、直径、弧（优弧、劣弧）、半圆、圆心角性质、垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）及推论、点线与圆的位置关系的判断、切线等。
高中部分：射影定理、中线定理、垂线定理、角平分线定理等，主要作为解析几何题出现在高中试卷上，尤其圆锥曲线，以几何知识为出发点，考查计算能力。
三、平面几何的难点以及学习过程中容易出现的问题点
（一）学习平面几何时的难点
学生推导能力薄弱。早在小学，学生就已經对平面几何的相关定理有所了解，但小学的几何学习都停留在借助直观观察以及定理背诵来加以学习，而不是通过推导。所以学生在初中进一步系统学习平面几何时往往会在推导过程中产生较大难点，很容易出现学习平面几何只为了做题但一到问推导的环节却一问三不知的情况。尤其初中阶段的推导思维没有打好基础，很难在高中的深入学习中得到更好发挥。
平面几何中的知识点较为繁杂，尤其是几何题目中将三角形与圆结合到一起时，难度大幅提高。这类题目尤其考查学生在各定理之间的思维转换，并需要有连贯的思维方式。而高中阶段的平面几何比起初中来说引入了更多的平面几何知识，同时还需要学生具有较强的计算能力，比如学生需要基于向量进行更多转换，并进行各圆锥曲线的公式计算，难度骤增。
（二）学习过程中的问题点
学生缺乏兴趣与信心。兴趣是学生学习的最好老师，只有具备了兴趣才有探索知识的动力。平面几何题目具有其特性，学生一旦没有思路就会卡在开头，无从下手；而在解析几何中即使有了思路，计算能力不好也无法得高分。平面几何题目的难度之大，极容易让学生丧失学习的兴趣，更严重的还会影响到学习数学的信心。
教师不能较好地利用课堂。学生很大程度上对数学的认知是来源于课堂的，尤其是教师的教学水平、人格魅力与思维方式会直接或间接影响到学生的学习兴趣与思维方式，进而影响学习效果。现在许多教师倾向于以完成教学目标为基准开展教学活动，忽略了需要花费时间营造课堂氛围与课外知识拓展，导致教学效果不佳。
四、针对上述难点与问题点本文提出的对应建议
针对上述难点与问题点，本文提出下列对策，希望能够帮助学生更好学习。
（一）借助工具来培养想象思维能力
所谓“工具”，可以是趣味性的折纸、拼搭图形等方式，也可以是多媒体技术方式。最好的学习效果应该建立在“课堂上教师利用多媒体对学生进行展示，还可以利用软件对几何图形进行建模；课堂下学生自己通过动手来模拟图形加强对空间状态的感知与想象”这一创造性的模式之上。这样一来，学生可以最大化利用到协助性工具帮助培养自己的思维。比如帮助学生认知角的平分线时，可以利用多媒体的flash动画，课下让学生动手折纸练习（拿一矩形状纸张，在一个角处进行对折）。这样的模式可以充分调动学生的参与积极性，进而培养学习平面几何的兴趣。这一优势在学习向量时尤为明显，利用flash动画，将向量的走向以最明显的动态展示出来，让学生的思考方式更为直观。
（二）高效利用网络资源
相较于高中时间紧张，初中数学学习时间较多，为学生利用网络充足的资源进行学习提供可行性。现阶段网络学习资源较多，学生可以在条件允许的情况下，多听一些具有启发性的网络课程，借鉴老师的思考方式来丰富自己的思考方法，帮助自己更好地解题。尤其如果是碰到老师教学方式忽略学生的主体地位的情况时，更需要学生自行学习，以自身勤奋弥补课堂效果不足。
（三）用独特的思维方式学习几何
几何不同于函数等数学知识，它使得解决问题的策略能够从计算为主演变成从概念、定理与条件出发并利用一定逻辑思考能力加以解决。那么学习几何也需要着重锻炼它所考查的能力。学生可以通过练习竞赛题来培养自己的思维，尤其需要注意辅助线的强大作用。虽说平面几何考查的是学生的创造力与想象力，但这些创造性能力也是需要长久练习和经验积累得来的。 （四）探寻知识本源，拓宽知识面
解题的目的在于进一步掌握所学知识点，而不是只得出答案。日常的学习也是如此，从概念与公式一直要深入到其本质中去，确保自己掌握的不只是公式，而是自己所学内容构建起来的体系以及自己利用这个体系解决问题的能力。此外，学习过程中还应根据好奇心再自行拓展，比如平面几何中，就可以以定理为出发点，探究一些数学中的奇妙现象，梅氏线、赛瓦点等就是很好的例子。学生自己在课外多掌握一些知识点和定理，有时可以直接节省做选择题时间，帮助学生投入更多时间在更多题目上。
（五）自行思考，勤问勤学
数学是一门经常容易碰到难题的科目，尤其碰到不懂的题目时，学生务必要多思考，在自己用尽方法后再选择询问他人指导，如果自己不去思考，那么数学能力永远也得不到本质上的提高。以平面几何题目为例，如果碰到证明题，思考完怎样解题后还需要多问问自己几个问题，比如“这道题还有没有更便捷的方法？这道题考查的内容是什么？涉及的知识点我有没有不熟悉的？如果换用别的方法出现障碍怎么解决？ 这道题得到的结论是否能够对我以后的解题有所帮助？”等等。此外，学生要在课下与教师多沟通，多聊一聊关于科目的窍门等，从经验丰富的教师处学习总结能够为己所用的技巧是很有效果的。
（六）利用思维游戏锻炼自己的思维能力
不论是书籍还是网络，学生都能从中查到很多思维游戏的相关资料，其中有各种关于推理或者视觉的思维游戏，反应速度慢、推理过程长的学生在平时就可以通过玩思维游戏的方式进一步提高自己的推理能力与想象能力，利用趣味性和益处并存的方式间接锻炼到自己的平面几何能力。
五、结束语
综上，本文对初高中数学平面几何的知识点进行了总结，并对学习过程中存在的难点与问题点加以分析，针对前述问题，提出高效利用工具等措施来跨越学习障碍，让学生以平面几何的学习过程为参考进一步优化自己对数学学习的理解，切实提高自己的数学成绩。平面几何虽难，但学生只要有有正确的学习方法与长久坚持的练习，所有的问题都将迎刃而解。
【参考文献】
[1]王生峻.再议数学课堂教学如何培养学生学习兴趣——以中职数学平面解析几何教学为例[J].現代职业教育， 2016（11）：124-125.
[2]张晓兵.重视平面几何知识在高中数学中的应用——以2017年江苏高考第18题为例[J].中学数学月刊， 2018（1）：59-61.
[3]白雪峰，王敬如.用数学内在动力培养学生的理性思维能力——以一道平面几何问题的证明与拓展为例[J].中国数学教育（初中版），2015（04）：53-57.
【关键词】数学学习；平面几何；学习难点；现存问题点；对策方案
一、引言
平面几何主要考查的是学生的空间几何想象能力，在试卷中出现的一般都是证明类问题，一般设置难度不大，但对学生的想象能力与空间思维能力要求较高。在考试过程中如果学生找不准解题的核心或思维能力过差而需要解题的时间过长，会造成平面几何分数过低，影响后面做题的情况。尤其相较于函数等内容，平面几何更偏重想象与证明逻辑，想象好了就容易得分，缺乏思维的创造能力就会得分困难。
二、平面几何知识概述
（一）平面几何概念
从概念上来讲，平面几何是指欧几里得的著作《几何原本》中构建的几何学，也称为“欧几里得几何”，涵盖了平面上圆锥曲线以及直线的各种性质，包括几何结构与度量性质（包括面积、长度、角度）。虽然在学习过程中各性质都有具体的公式，但这些公式往往是由解析几何构造出来，而非公理化形式。
（二）平面几何常用知识点
一般来说，初中学习过程中包括点、线、面的关系与内容。具体来说有以下内容。
相交线与平行线：对顶角的性质；垂线的性质；平行公理；平行线的三条性质与三项判定。
三角形：中线、高线；三边关系；稳定性；内角和180度；外角性质；多边形的性质（外角和360度、内角和公式、对角线条数公式）。
全等三角形：判定方法（SSS、ASA、SAS、HL）、角平分线与判定、轴对称（轴对称图形、线段的垂直平分线、轴对称变换、等腰三角形、等边三角形等）。
勾股定理： ，其中 、 分别为直角边， 为斜边；逆定理（三角形三边满足 的话，三角形是直角三角形）。
四边形：内角和与外角和、性质与判定（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）、中位线（三角形与梯形）、辅助线。
圆：弦、直径、弧（优弧、劣弧）、半圆、圆心角性质、垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）及推论、点线与圆的位置关系的判断、切线等。
高中部分：射影定理、中线定理、垂线定理、角平分线定理等，主要作为解析几何题出现在高中试卷上，尤其圆锥曲线，以几何知识为出发点，考查计算能力。
三、平面几何的难点以及学习过程中容易出现的问题点
（一）学习平面几何时的难点
学生推导能力薄弱。早在小学，学生就已經对平面几何的相关定理有所了解，但小学的几何学习都停留在借助直观观察以及定理背诵来加以学习，而不是通过推导。所以学生在初中进一步系统学习平面几何时往往会在推导过程中产生较大难点，很容易出现学习平面几何只为了做题但一到问推导的环节却一问三不知的情况。尤其初中阶段的推导思维没有打好基础，很难在高中的深入学习中得到更好发挥。
平面几何中的知识点较为繁杂，尤其是几何题目中将三角形与圆结合到一起时，难度大幅提高。这类题目尤其考查学生在各定理之间的思维转换，并需要有连贯的思维方式。而高中阶段的平面几何比起初中来说引入了更多的平面几何知识，同时还需要学生具有较强的计算能力，比如学生需要基于向量进行更多转换，并进行各圆锥曲线的公式计算，难度骤增。
（二）学习过程中的问题点
学生缺乏兴趣与信心。兴趣是学生学习的最好老师，只有具备了兴趣才有探索知识的动力。平面几何题目具有其特性，学生一旦没有思路就会卡在开头，无从下手；而在解析几何中即使有了思路，计算能力不好也无法得高分。平面几何题目的难度之大，极容易让学生丧失学习的兴趣，更严重的还会影响到学习数学的信心。
教师不能较好地利用课堂。学生很大程度上对数学的认知是来源于课堂的，尤其是教师的教学水平、人格魅力与思维方式会直接或间接影响到学生的学习兴趣与思维方式，进而影响学习效果。现在许多教师倾向于以完成教学目标为基准开展教学活动，忽略了需要花费时间营造课堂氛围与课外知识拓展，导致教学效果不佳。
四、针对上述难点与问题点本文提出的对应建议
针对上述难点与问题点，本文提出下列对策，希望能够帮助学生更好学习。
（一）借助工具来培养想象思维能力
所谓“工具”，可以是趣味性的折纸、拼搭图形等方式，也可以是多媒体技术方式。最好的学习效果应该建立在“课堂上教师利用多媒体对学生进行展示，还可以利用软件对几何图形进行建模；课堂下学生自己通过动手来模拟图形加强对空间状态的感知与想象”这一创造性的模式之上。这样一来，学生可以最大化利用到协助性工具帮助培养自己的思维。比如帮助学生认知角的平分线时，可以利用多媒体的flash动画，课下让学生动手折纸练习（拿一矩形状纸张，在一个角处进行对折）。这样的模式可以充分调动学生的参与积极性，进而培养学习平面几何的兴趣。这一优势在学习向量时尤为明显，利用flash动画，将向量的走向以最明显的动态展示出来，让学生的思考方式更为直观。
（二）高效利用网络资源
相较于高中时间紧张，初中数学学习时间较多，为学生利用网络充足的资源进行学习提供可行性。现阶段网络学习资源较多，学生可以在条件允许的情况下，多听一些具有启发性的网络课程，借鉴老师的思考方式来丰富自己的思考方法，帮助自己更好地解题。尤其如果是碰到老师教学方式忽略学生的主体地位的情况时，更需要学生自行学习，以自身勤奋弥补课堂效果不足。
（三）用独特的思维方式学习几何
几何不同于函数等数学知识，它使得解决问题的策略能够从计算为主演变成从概念、定理与条件出发并利用一定逻辑思考能力加以解决。那么学习几何也需要着重锻炼它所考查的能力。学生可以通过练习竞赛题来培养自己的思维，尤其需要注意辅助线的强大作用。虽说平面几何考查的是学生的创造力与想象力，但这些创造性能力也是需要长久练习和经验积累得来的。 （四）探寻知识本源，拓宽知识面
解题的目的在于进一步掌握所学知识点，而不是只得出答案。日常的学习也是如此，从概念与公式一直要深入到其本质中去，确保自己掌握的不只是公式，而是自己所学内容构建起来的体系以及自己利用这个体系解决问题的能力。此外，学习过程中还应根据好奇心再自行拓展，比如平面几何中，就可以以定理为出发点，探究一些数学中的奇妙现象，梅氏线、赛瓦点等就是很好的例子。学生自己在课外多掌握一些知识点和定理，有时可以直接节省做选择题时间，帮助学生投入更多时间在更多题目上。
（五）自行思考，勤问勤学
数学是一门经常容易碰到难题的科目，尤其碰到不懂的题目时，学生务必要多思考，在自己用尽方法后再选择询问他人指导，如果自己不去思考，那么数学能力永远也得不到本质上的提高。以平面几何题目为例，如果碰到证明题，思考完怎样解题后还需要多问问自己几个问题，比如“这道题还有没有更便捷的方法？这道题考查的内容是什么？涉及的知识点我有没有不熟悉的？如果换用别的方法出现障碍怎么解决？ 这道题得到的结论是否能够对我以后的解题有所帮助？”等等。此外，学生要在课下与教师多沟通，多聊一聊关于科目的窍门等，从经验丰富的教师处学习总结能够为己所用的技巧是很有效果的。
（六）利用思维游戏锻炼自己的思维能力
不论是书籍还是网络，学生都能从中查到很多思维游戏的相关资料，其中有各种关于推理或者视觉的思维游戏，反应速度慢、推理过程长的学生在平时就可以通过玩思维游戏的方式进一步提高自己的推理能力与想象能力，利用趣味性和益处并存的方式间接锻炼到自己的平面几何能力。
五、结束语
综上，本文对初高中数学平面几何的知识点进行了总结，并对学习过程中存在的难点与问题点加以分析，针对前述问题，提出高效利用工具等措施来跨越学习障碍，让学生以平面几何的学习过程为参考进一步优化自己对数学学习的理解，切实提高自己的数学成绩。平面几何虽难，但学生只要有有正确的学习方法与长久坚持的练习，所有的问题都将迎刃而解。
【参考文献】
[1]王生峻.再议数学课堂教学如何培养学生学习兴趣——以中职数学平面解析几何教学为例[J].現代职业教育， 2016（11）：124-125.
[2]张晓兵.重视平面几何知识在高中数学中的应用——以2017年江苏高考第18题为例[J].中学数学月刊， 2018（1）：59-61.
[3]白雪峰，王敬如.用数学内在动力培养学生的理性思维能力——以一道平面几何问题的证明与拓展为例[J].中国数学教育（初中版），2015（04）：53-57.